Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Готовимся решать задачу 19, начальные задачи – 2

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Статья содержит несложные подготовительные задачи.

Задача 1. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Определим произведение данных чисел: 990. Если умножить это число еще раз на 11 – получим пятизначное число, а если на 9 – 8910. Это число четырехзначное, цифры его различны. Большее подобрать не удастся.

Ответ: 8910.

 

Задача 2.  Натуральные числа a_1 \ldots a_{49}, таковы, что a_1+a_2+\ldots+a_{49}=540. Найти наибольшее значение НОД всех этих чисел.

Так как у чисел есть общий делитель, то

    \[k_1\cdot d+k_2\cdot d+\ldots +k_{49)\cdot d=nd=540\]

То есть d – делитель числа 540.

Если даже все наши натуральные числа равны 1, то их сумма не меньше 49. Тогда

    \[49d\leqslant 540\]

    \[d\leqslant 11,02\]

Ближайший делитель числа 540, меньший 11 – это 10.

Ответ: 10.

 

Задача 3. Найдите все пары шестизначных чисел, которые при записи друг за другом образуют двенадцатизначное число, которое делится на произведение двух исходных чисел.

    \[1000000a+b\vdots {ab}\]

А это означает, что b\vdots a. Причем, так как числа оба шестизначные, результатом деления будет число от 1 до 9. Делителями 1000000 в этих пределах будут являться 1, 2, 4, 5 и 8.

    \[b=ka\]

    \[\frac{1000000a+b}{ab}=\frac{1000000a+ka}{a\cdot ka}\]

То есть 1000000+k \vdots a.

Если k=1, 1000001 – не делится ни на какие числа k \in {1, 2, 4, 5, 8}.

Если k=2, 1000002=500001\cdot 2 – делится на шестизначное число,  a=166667.

Если k=4, 1000004=250001\cdot 4 – если одно из чисел 250001, то оно не делится на шестизначное.

Если k=5, 1000005=333335\cdot 3 – если одно из чисел 333335, то оно не делится на шестизначное.

Если k=8, 1000008=125001\cdot 5=2\cdot 500004 – делится на 250002 и 125001.

Ответ: a=166667 и a=333334.

Задача 4. Школьник должен был умножить однозначное число  на трехзначное, а потом разделить результат на трехзначное (при этом результат получался натуральным числом). Однако он не заметил знак умножения и принял пару однозначное и трехзначное число за четырехзначное. Поэтому результат деления оказался в пять раз больше истинного.  Найдите все три исходные числа.

Школьник работал с числом 1000x+y – если первое x, а второе – y. Если третье число – k, то

    \[\frac{1000x+y}{k}=5\frac{xy}{k}\]

Тогда

    \[1000x+y=5xy\]

    \[y=\frac{1000x}{5x-1}=200+\frac{200}{5x-1}\]

Делителями числа 200 являются 1, 2, 4, 8. Если 5x-1=4, то x=1. Следовательно, y=250. Тогда k=125 или k=250.

Ответ: 1, 250, 250, или 1, 250, 125.

 

Задача 5. На листке бумаги написан набор натуральных чисел. Все числа различные, и каждое из них не превосходит 2018. Известно, что никакое из написанных  чисел и никакая сумма нескольких из них не делится на 13. Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе?

Наименьший остаток при делении на 13 – 1. Поэтому в наборе не может быть более 12 чисел – ведь сумма остатков тоже не должна делиться на 13.

Ответ: 12.

 

Задача 6. Решите в натуральных числах уравнение:

    \[\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{25}\]

В ответ записать максимальное m.

Приводим к общему знаменателю:

    \[\frac{m+n}{n m}=\frac{1}{25}\]

    \[25m+25n=mn\]

    \[m=\frac{25n}{n-25}=\frac{25n-625+625}{n-25}=25+\frac{625}{n-25}\]

Наибольшее n=650.

Ответ: 650.

Задача 7. Сколько существует различных семизначных чисел, кратных 11, десятичная запись которых содержит цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причем все цифры в десятичной записи различны.

Согласно признаку делимости на 11, разность сумм цифр, стоящих на нечетных местах, и на четных, должна быть равна 0 или кратна 11.

Сумма 1+2+3+4+5+6+7=28.

Пусть сумма цифр на нечетных местах x, а сумма цифр на четных – y. Поэтому x-y=0 или \mid x-y\mid =22. Решаем систему

    \[\begin{Bmatrix}{ x+y=28}\\{ x-y=-22}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ 2x=6}\\{ y=25}\end{matrix}\]

Либо

    \[\begin{Bmatrix}{ 2y=6}\\{ x=25}\end{matrix}\]

Не может так получиться, что сумма трех цифр равна 3. Поэтому x=y=14.

На нечетных местах 4 цифры, а на четных – 3. Если одна из этих трех – 7, то на других четных могут стоять 2 и 5, 1 и 6, 3 и 4. Если 7 на нечетном месте, то 6 уже не может стоять на нечетном месте. Если 6 на четном месте, то с ней на других четных местах могут стоять 5 и 3 (и только). Расставить отобранные числа на четных местах можно 3! способами, на нечетных – 4! способами – для каждого набора подобранных цифр. А наборов – 4: 7; 2; 5, 7; 1; 6, 7; 3; 4, 6; 5; 3. Поэтому всего таких семизначных чисел 4\cdot 3!\cdot 4!=576.

Ответ: 576.

 

Задача 8. Найдите количество таких пар натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения чисел a и b на 34.

Запишем условие задачи:

    \[10^ka+b=ab+34\]

    \[a=\frac{34-b}{10^k-b}>1\]

    \[34-b\geqslant 10^k-b\]

Последнее возможно лишь при k=1.

    \[a=\frac{34-b}{10-b}\]

Если b=1, то a=\frac{11}{3}.

Если b=2, то a=4 – подходит.

Если b=3, то a=\frac{31}{7}.

Если b=5, то a=5 – подходит.

Если b=6, то a=7– подходит.

Если b=7, то a=9– подходит.

Если b=8, то a=13– подходит.

Если b=9, то a=25– подходит.

Количество решений – 6.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *