Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Статья содержит несложные подготовительные задачи.
Задача 1. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.
Определим произведение данных чисел: 990. Если умножить это число еще раз на 11 – получим пятизначное число, а если на 9 – 8910. Это число четырехзначное, цифры его различны. Большее подобрать не удастся.
Ответ: 8910.
Задача 2. Натуральные числа , таковы, что
. Найти наибольшее значение НОД всех этих чисел.
Так как у чисел есть общий делитель, то
То есть – делитель числа 540.
Если даже все наши натуральные числа равны 1, то их сумма не меньше 49. Тогда
Ближайший делитель числа 540, меньший 11 – это 10.
Ответ: 10.
Задача 3. Найдите все пары шестизначных чисел, которые при записи друг за другом образуют двенадцатизначное число, которое делится на произведение двух исходных чисел.
А это означает, что . Причем, так как числа оба шестизначные, результатом деления будет число от 1 до 9. Делителями 1000000 в этих пределах будут являться 1, 2, 4, 5 и 8.
То есть .
Если , 1000001 – не делится ни на какие числа
.
Если ,
– делится на шестизначное число,
.
Если ,
– если одно из чисел 250001, то оно не делится на шестизначное.
Если ,
– если одно из чисел 333335, то оно не делится на шестизначное.
Если ,
– делится на 250002 и 125001.
Ответ: и
.
Задача 4. Школьник должен был умножить однозначное число на трехзначное, а потом разделить результат на трехзначное (при этом результат получался натуральным числом). Однако он не заметил знак умножения и принял пару однозначное и трехзначное число за четырехзначное. Поэтому результат деления оказался в пять раз больше истинного. Найдите все три исходные числа.
Школьник работал с числом – если первое
, а второе –
. Если третье число –
, то
Тогда
Делителями числа 200 являются 1, 2, 4, 8. Если , то
. Следовательно,
. Тогда
или
.
Ответ: 1, 250, 250, или 1, 250, 125.
Задача 5. На листке бумаги написан набор натуральных чисел. Все числа различные, и каждое из них не превосходит 2018. Известно, что никакое из написанных чисел и никакая сумма нескольких из них не делится на 13. Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе?
Наименьший остаток при делении на 13 – 1. Поэтому в наборе не может быть более 12 чисел – ведь сумма остатков тоже не должна делиться на 13.
Ответ: 12.
Задача 6. Решите в натуральных числах уравнение:
В ответ записать максимальное .
Приводим к общему знаменателю:
Наибольшее .
Ответ: 650.
Задача 7. Сколько существует различных семизначных чисел, кратных 11, десятичная запись которых содержит цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причем все цифры в десятичной записи различны.
Согласно признаку делимости на 11, разность сумм цифр, стоящих на нечетных местах, и на четных, должна быть равна 0 или кратна 11.
Сумма .
Пусть сумма цифр на нечетных местах , а сумма цифр на четных –
. Поэтому
или
. Решаем систему
Либо
Не может так получиться, что сумма трех цифр равна 3. Поэтому .
На нечетных местах 4 цифры, а на четных – 3. Если одна из этих трех – 7, то на других четных могут стоять 2 и 5, 1 и 6, 3 и 4. Если 7 на нечетном месте, то 6 уже не может стоять на нечетном месте. Если 6 на четном месте, то с ней на других четных местах могут стоять 5 и 3 (и только). Расставить отобранные числа на четных местах можно способами, на нечетных –
способами – для каждого набора подобранных цифр. А наборов – 4:
,
,
,
. Поэтому всего таких семизначных чисел
.
Ответ: 576.
Задача 8. Найдите количество таких пар натуральных чисел и
, что если к десятичной записи числа
приписать справа десятичную запись числа
, то получится число, большее произведения чисел
и
на 34.
Запишем условие задачи:
Последнее возможно лишь при .
Если , то
.
Если , то
– подходит.
Если , то
.
Если , то
– подходит.
Если , то
– подходит.
Если , то
– подходит.
Если , то
– подходит.
Если , то
– подходит.
Количество решений – 6.
...
Я тоже так подумала, но была не уверена, ведь после остановки ускорение могло быть...
Так сказано в условии. Направление движения меняется, а про изменение ускорения...
* Добрый...
Дорый день, поясните , пожалуйста, почему в 1 задании ускорение на пути назад будет...