Готовимся решать задачу 19, начальные задачи – 2

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Статья содержит несложные подготовительные задачи.

Задача 1. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Определим произведение данных чисел: 990. Если умножить это число еще раз на 11 – получим пятизначное число, а если на 9 – 8910. Это число четырехзначное, цифры его различны. Большее подобрать не удастся.

Ответ: 8910.

Задача 2.  Натуральные числа $a_1 \ldots a_{49}$, таковы, что $a_1+a_2+\ldots+a_{49}=540$. Найти наибольшее значение НОД всех этих чисел.

Так как у чисел есть общий делитель, то

$$k_1\cdot d+k_2\cdot d+\ldots +k_{49)\cdot d=nd=540$$

То есть $d$ – делитель числа 540.

Если даже все наши натуральные числа равны 1, то их сумма не меньше 49. Тогда

$$49d\leqslant 540$$

$$d\leqslant 11,02$$

Ближайший делитель числа 540, меньший 11 – это 10.

Ответ: 10.

Задача 3. Найдите все пары шестизначных чисел, которые при записи друг за другом образуют двенадцатизначное число, которое делится на произведение двух исходных чисел.

$$1000000a+b\vdots {ab}$$

А это означает, что $b\vdots a$. Причем, так как числа оба шестизначные, результатом деления будет число от 1 до 9. Делителями 1000000 в этих пределах будут являться 1, 2, 4, 5 и 8.

$$b=ka$$

$$\frac{1000000a+b}{ab}=\frac{1000000a+ka}{a\cdot ka}$$

То есть $1000000+k \vdots a$.

Если $k=1$, 1000001 – не делится ни на какие числа $k \in {1, 2, 4, 5, 8}$.

Если $k=2$, $1000002=500001\cdot 2$ – делится на шестизначное число,  $a=166667$.

Если $k=4$, $1000004=250001\cdot 4$ – если одно из чисел 250001, то оно не делится на шестизначное.

Если $k=5$, $1000005=333335\cdot 3$ – если одно из чисел 333335, то оно не делится на шестизначное.

Если $k=8$, $1000008=125001\cdot 5=2\cdot 500004$ – делится на 250002 и 125001.

Ответ: $a=166667$ и $a=333334$.

Задача 4. Школьник должен был умножить однозначное число  на трехзначное, а потом разделить результат на трехзначное (при этом результат получался натуральным числом). Однако он не заметил знак умножения и принял пару однозначное и трехзначное число за четырехзначное. Поэтому результат деления оказался в пять раз больше истинного.  Найдите все три исходные числа.

Школьник работал с числом $1000x+y$ – если первое $x$, а второе – $y$. Если третье число – $k$, то

$$\frac{1000x+y}{k}=5\frac{xy}{k}$$

Тогда

$$1000x+y=5xy$$

$$y=\frac{1000x}{5x-1}=200+\frac{200}{5x-1}$$

Делителями числа 200 являются 1, 2, 4, 8. Если $5x-1=4$, то $x=1$. Следовательно, $y=250$. Тогда $k=125$ или $k=250$.

Ответ: 1, 250, 250, или 1, 250, 125.

Задача 5. На листке бумаги написан набор натуральных чисел. Все числа различные, и каждое из них не превосходит 2018. Известно, что никакое из написанных  чисел и никакая сумма нескольких из них не делится на 13. Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе?

Наименьший остаток при делении на 13 – 1. Поэтому в наборе не может быть более 12 чисел – ведь сумма остатков тоже не должна делиться на 13.

Ответ: 12.

Задача 6. Решите в натуральных числах уравнение:

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{25}$$

В ответ записать максимальное $m$.

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{m+n}{n m}=\frac{1}{25}$$

$$25m+25n=mn$$

$$m=\frac{25n}{n-25}=\frac{25n-625+625}{n-25}=25+\frac{625}{n-25}$$

Наибольшее $n=650$.

Ответ: 650.

Задача 7. Сколько существует различных семизначных чисел, кратных 11, десятичная запись которых содержит цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причем все цифры в десятичной записи различны.

Согласно признаку делимости на 11, разность сумм цифр, стоящих на нечетных местах, и на четных, должна быть равна 0 или кратна 11.

Сумма $1+2+3+4+5+6+7=28$.

Пусть сумма цифр на нечетных местах $x$, а сумма цифр на четных – $y$. Поэтому $x-y=0$ или $\mid x-y\mid =22$. Решаем систему

$$\begin{Bmatrix}{ x+y=28}\\{ x-y=-22}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ 2x=6}\\{ y=25}\end{matrix}$$

Либо

$$\begin{Bmatrix}{ 2y=6}\\{ x=25}\end{matrix}$$

Не может так получиться, что сумма трех цифр равна 3. Поэтому $x=y=14$.

На нечетных местах 4 цифры, а на четных – 3. Если одна из этих трех – 7, то на других четных могут стоять 2 и 5, 1 и 6, 3 и 4. Если 7 на нечетном месте, то 6 уже не может стоять на нечетном месте. Если 6 на четном месте, то с ней на других четных местах могут стоять 5 и 3 (и только). Расставить отобранные числа на четных местах можно $3!$ способами, на нечетных – $4!$ способами – для каждого набора подобранных цифр. А наборов – 4: $7; 2; 5$, $7; 1; 6$, $7; 3; 4$, $6; 5; 3$. Поэтому всего таких семизначных чисел $4\cdot 3!\cdot 4!=576$.

Ответ: 576.

Задача 8. Найдите количество таких пар натуральных чисел $a$ и $b$, что если к десятичной записи числа $a$ приписать справа десятичную запись числа $b$, то получится число, большее произведения чисел $a$ и $b$ на 34.

Запишем условие задачи:

$$10^ka+b=ab+34$$

$$a=\frac{34-b}{10^k-b}>1$$

$$34-b\geqslant 10^k-b$$

Последнее возможно лишь при $k=1$.

$$a=\frac{34-b}{10-b}$$

Если $b=1$, то $a=\frac{11}{3}$.

Если $b=2$, то $a=4$ – подходит.

Если $b=3$, то $a=\frac{31}{7}$.

Если $b=5$, то $a=5$ – подходит.

Если $b=6$, то $a=7$- подходит.

Если $b=7$, то $a=9$- подходит.

Если $b=8$, то $a=13$- подходит.

Если $b=9$, то $a=25$- подходит.

Количество решений – 6.