Готовимся решать задачу 19, начальные задачи

Готовимся решать задачу 19, начальные задачи – 2

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Статья содержит несложные подготовительные задачи.

Задача 1. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Определим произведение данных чисел: 990. Если умножить это число еще раз на 11 – получим пятизначное число, а если на 9 – 8910. Это число четырехзначное, цифры его различны. Большее подобрать не удастся.

Ответ: 8910.

Задача 2. Натуральные числа $a_1 \ldots a_{49}$ , таковы, что $a_1+a_2+\ldots+a_{49}=540$ . Найти наибольшее значение НОД всех этих чисел.

Так как у чисел есть общий делитель, то

$k_1\cdot d+k_2\cdot d+\ldots +k_{49)\cdot d=nd=540$

То есть $d$ – делитель числа 540.

Если даже все наши натуральные числа равны 1, то их сумма не меньше 49. Тогда

$49d\leqslant 540$

$d\leqslant 11,02$

Ближайший делитель числа 540, меньший 11 – это 10.

Ответ: 10.

Задача 3. Найдите все пары шестизначных чисел, которые при записи друг за другом образуют двенадцатизначное число, которое делится на произведение двух исходных чисел.

$1000000a+b\vdots {ab}$

А это означает, что $b\vdots a$ . Причем, так как числа оба шестизначные, результатом деления будет число от 1 до 9. Делителями 1000000 в этих пределах будут являться 1, 2, 4, 5 и 8.

$b=ka$

$\frac{1000000a+b}{ab}=\frac{1000000a+ka}{a\cdot ka}$

То есть $1000000+k \vdots a$ .

Если $k=1$ , 1000001 – не делится ни на какие числа $k \in {1, 2, 4, 5, 8}$ .

Если $k=2$ , $1000002=500001\cdot 2$ – делится на шестизначное число, $a=166667$ .

Если $k=4$ , $1000004=250001\cdot 4$ – если одно из чисел 250001, то оно не делится на шестизначное.

Если $k=5$ , $1000005=333335\cdot 3$ – если одно из чисел 333335, то оно не делится на шестизначное.

Если $k=8$ , $1000008=125001\cdot 5=2\cdot 500004$ – делится на 250002 и 125001.

Ответ: $a=166667$ и $a=333334$ .

Задача 4. Школьник должен был умножить однозначное число на трехзначное, а потом разделить результат на трехзначное (при этом результат получался натуральным числом). Однако он не заметил знак умножения и принял пару однозначное и трехзначное число за четырехзначное. Поэтому результат деления оказался в пять раз больше истинного. Найдите все три исходные числа.

Школьник работал с числом $1000x+y$ – если первое $x$ , а второе – $y$ . Если третье число – $k$ , то

$\frac{1000x+y}{k}=5\frac{xy}{k}$

Тогда

$1000x+y=5xy$

$y=\frac{1000x}{5x-1}=200+\frac{200}{5x-1}$

Делителями числа 200 являются 1, 2, 4, 8. Если $5x-1=4$ , то $x=1$ . Следовательно, $y=250$ . Тогда $k=125$ или $k=250$ .

Ответ: 1, 250, 250, или 1, 250, 125.

Задача 5. На листке бумаги написан набор натуральных чисел. Все числа различные, и каждое из них не превосходит 2018. Известно, что никакое из написанных чисел и никакая сумма нескольких из них не делится на 13. Какое наибольшее количество чисел может быть в наборе?

Наименьший остаток при делении на 13 – 1. Поэтому в наборе не может быть более 12 чисел – ведь сумма остатков тоже не должна делиться на 13.

Ответ: 12.

Задача 6. Решите в натуральных числах уравнение:

$\frac{1}{n}+\frac{1}{m}=\frac{1}{25}$

В ответ записать максимальное $m$ .

Приводим к общему знаменателю:

$\frac{m+n}{n m}=\frac{1}{25}$

$25m+25n=mn$

$m=\frac{25n}{n-25}=\frac{25n-625+625}{n-25}=25+\frac{625}{n-25}$

Наибольшее $n=650$ .

Ответ: 650.

Задача 7. Сколько существует различных семизначных чисел, кратных 11, десятичная запись которых содержит цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, причем все цифры в десятичной записи различны.

Согласно признаку делимости на 11, разность сумм цифр, стоящих на нечетных местах, и на четных, должна быть равна 0 или кратна 11.

Сумма $1+2+3+4+5+6+7=28$ .

Пусть сумма цифр на нечетных местах $x$ , а сумма цифр на четных – $y$ . Поэтому $x-y=0$ или $\mid x-y\mid =22$ . Решаем систему

$\begin{Bmatrix}{ x+y=28}\\{ x-y=-22}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ 2x=6}\\{ y=25}\end{matrix}$

Либо

$\begin{Bmatrix}{ 2y=6}\\{ x=25}\end{matrix}$

Не может так получиться, что сумма трех цифр равна 3. Поэтому $x=y=14$ .

На нечетных местах 4 цифры, а на четных – 3. Если одна из этих трех – 7, то на других четных могут стоять 2 и 5, 1 и 6, 3 и 4. Если 7 на нечетном месте, то 6 уже не может стоять на нечетном месте. Если 6 на четном месте, то с ней на других четных местах могут стоять 5 и 3 (и только). Расставить отобранные числа на четных местах можно $3!$ способами, на нечетных – $4!$ способами – для каждого набора подобранных цифр. А наборов – 4: $7; 2; 5$ , $7; 1; 6$ , $7; 3; 4$ , $6; 5; 3$ . Поэтому всего таких семизначных чисел $4\cdot 3!\cdot 4!=576$ .

Ответ: 576.

Задача 8. Найдите количество таких пар натуральных чисел $a$ и $b$ , что если к десятичной записи числа $a$ приписать справа десятичную запись числа $b$ , то получится число, большее произведения чисел $a$ и $b$ на 34.