Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Готовимся к олимпиадам: центр масс системы, 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня знакомимся с понятием “центр масс системы” и учимся находить его координату.

Задача 1. Стержень сварен из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями \rho и 4\rho. При каком отношении длин стержней \frac{L_1}{L_2} центр масс системы будет находиться в плоскости сварки? L_1 − длина стержня с плотностью \rho . Ответ округлить до целых.

Рисунок 1

Масса менее плотного стержня:

    \[m_1=\rho_1 L_1 S\]

Масса более плотного:

    \[m_2=\rho_2 L_2 S\]

По рисунку запишем условие равновесия относительно точки сварки:

    \[m_1g\cdot\frac{L_1}{2}=m_2g\cdot\frac{L_2}{2}\]

Сократим и запишем массы через плотности и объемы:

    \[\rho_1 L_1 S\cdotL_1=\rho_2 L_2 S\cdot L_2\]

Или

    \[\frac{L_1^2}{L_2^2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}=4\]

Откуда

    \[\frac{L_1}{L_2}=2\]

По мне – это не сложное решение. Но можно решать через формулу для координаты центра масс, это будет сложнее:

    \[x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}\]

Здесь M – масса всей системы, m_k – массы составляющих системы, x_k – их координаты. Для нашего стержня

    \[x=L_1=\frac{m_1 x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{L_1\rho_1 S\cdot \frac{L_1}{2}+L_2\rho_2 S\cdot(L_1+\frac{L_2}{2})}{ L_1\rho_1 S + L_2\rho_2 S }\]

    \[\frac{L_1^2}{2}+4L_1L_2+\frac{4L_2^2}{2}=L_1(L_1+4L_2)\]

Разделив на L_2^2, получим:

    \[\frac{L_1^2}{2L_2^2}+4\frac{ L_1 }{L_2} +2=\frac{L_1^2}{L_2^2}+4\frac{ L_1 }{L_2}\]

    \[\frac{L_1^2}{2L_2^2}=2\]

Откуда

    \[\frac{L_1}{L_2}=2\]

Ответ: 2.

Задача 2. Балка удерживается в наклонном положении веревкой. Будет ли суммарная сила реакции, действующая на нижний конец балки, направлена вдоль нее?

Рисунок 2

Так как балка неподвижна, значит, силы, действующие на нее, находятся в равновесии – то есть их сумма равна нулю. Следовательно, сила реакции уравновешивает направленную вертикально вниз силу тяжести и силу натяжения веревки. Глядя на рисунок, можно видеть, что при этом она не  может быть направлена вдоль балки.

 

Задача 3. Определите, на каком расстоянии от стороны БВ находится центр тяжести П-образной конструкции, состоящей из трех одинаковых кусков однородной проволоки длиной  L=12 см каждая. Ответ дать в см, округлив до целых.

Рисунок 3

Определим по формуле координату центра масс системы:

    \[x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}\]

Здесь M – масса всей системы, m_k – массы составляющих проволочек, x_k – координаты их центров масс. Для нашей системы

    \[x=\frac{m_1 x_1+m_2x_2+m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m\cdot 0+m\cdot\frac{l}{2}\cdot 2}{3m}=\frac{2ml}{6m}=\frac{l}{3}=4\]

Ответ: 4 см.

Задача 4. Легкий рычаг изогнут так, что стороны его AB=2AC=2CD образуют друг с другом прямые углы. Ось рычага в точке C. Перпендикулярно плечу рычага AB в точке B приложена сила F=10 Н. Определить минимальное значение силы, которую нужно приложить в точке D, чтобы рычаг остался в равновесии. Ответ дать в Н, округлить до целых.

Рисунок 4

Плечо силы F равно AB=2CD, поэтому придется приложить силу, вдвое большую F: 20 H.

Задача 5. На тонком легком стержне на равных расстояниях  L=7 см друг от друга закреплены 3 тела массами m, 2m и 4m соответственно. На каком расстоянии от тела массой m находится центр масс системы? Ответ дать в см, округлив до целых.

Понятно, что центр тяжести расположен между большим и средним грузом. Пусть на расстоянии x от него:

Рисунок 5

Тогда условие равновесия:

    \[(7+x)mg+2mgx=4mg(7-x)\]

Откуда

    \[x=3\]

Поэтому центр тяжести находится в 10 см от тела массой m.

Ответ: 10 см.

Попробуем решить по формуле:

    \[x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}\]

Здесь M – масса всей системы, m_k – массы грузов, x_k – координаты их центров масс. Для нашей системы

    \[x=\frac{m_1 x_1+m_2x_2+m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m\cdot 0+2m\cdot7+4m\cdot14}{7m}=\frac{70m}{7m}=10\]

Ответ: 10 см.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *