Готовимся к олимпиадам: центр масс системы, 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня знакомимся с понятием “центр масс системы” и учимся находить его координату.

Задача 1. Стержень сварен из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями  и . При каком отношении длин стержней  центр масс системы будет находиться в плоскости сварки?  − длина стержня с плотностью  . Ответ округлить до целых.

Рисунок 1

Масса менее плотного стержня:

Масса более плотного:

По рисунку запишем условие равновесия относительно точки сварки:

Сократим и запишем массы через плотности и объемы:

Или

Откуда

По мне – это не сложное решение. Но можно решать через формулу для координаты центра масс, это будет сложнее:

Здесь – масса всей системы, – массы составляющих системы, – их координаты. Для нашего стержня

Разделив на , получим:

Откуда

Ответ: 2.

Задача 2. Балка удерживается в наклонном положении веревкой. Будет ли суммарная сила реакции, действующая на нижний конец балки, направлена вдоль нее?

Рисунок 2

Так как балка неподвижна, значит, силы, действующие на нее, находятся в равновесии – то есть их сумма равна нулю. Следовательно, сила реакции уравновешивает направленную вертикально вниз силу тяжести и силу натяжения веревки. Глядя на рисунок, можно видеть, что при этом она не  может быть направлена вдоль балки.

Задача 3. Определите, на каком расстоянии от стороны БВ находится центр тяжести П-образной конструкции, состоящей из трех одинаковых кусков однородной проволоки длиной   см каждая. Ответ дать в см, округлив до целых.

Рисунок 3

Определим по формуле координату центра масс системы:

Здесь – масса всей системы, – массы составляющих проволочек, – координаты их центров масс. Для нашей системы

Ответ: 4 см.

Задача 4. Легкий рычаг изогнут так, что стороны его AB=2AC=2CD образуют друг с другом прямые углы. Ось рычага в точке C. Перпендикулярно плечу рычага AB в точке B приложена сила  Н. Определить минимальное значение силы, которую нужно приложить в точке D, чтобы рычаг остался в равновесии. Ответ дать в Н, округлить до целых.

Рисунок 4

Плечо силы равно , поэтому придется приложить силу, вдвое большую : 20 H.

Задача 5. На тонком легком стержне на равных расстояниях   см друг от друга закреплены 3 тела массами  и  соответственно. На каком расстоянии от тела массой m находится центр масс системы? Ответ дать в см, округлив до целых.

Понятно, что центр тяжести расположен между большим и средним грузом. Пусть на расстоянии от него:

Рисунок 5

Тогда условие равновесия:

Откуда

Поэтому центр тяжести находится в 10 см от тела массой .

Ответ: 10 см.

Попробуем решить по формуле:

Здесь – масса всей системы, – массы грузов, – координаты их центров масс. Для нашей системы

Ответ: 10 см.