[latexpage]
Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня знакомимся с понятием “центр масс системы” и учимся находить его координату.
Задача 1. Стержень сварен из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями $\rho$ и $4\rho$. При каком отношении длин стержней $\frac{L_1}{L_2}$ центр масс системы будет находиться в плоскости сварки? $L_1$ − длина стержня с плотностью $\rho$ . Ответ округлить до целых.

Рисунок 1
Масса менее плотного стержня:
$$m_1=\rho_1 L_1 S$$
Масса более плотного:
$$m_2=\rho_2 L_2 S$$
По рисунку запишем условие равновесия относительно точки сварки:
$$m_1g\cdot\frac{L_1}{2}=m_2g\cdot\frac{L_2}{2}$$
Сократим и запишем массы через плотности и объемы:
$$\rho_1 L_1 S\cdot L_1=\rho_2 L_2 S\cdot L_2$$
Или
$$\frac{L_1^2}{L_2^2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}=4$$
Откуда
$$\frac{L_1}{L_2}=2$$
По мне – это не сложное решение. Но можно решать через формулу для координаты центра масс, это будет сложнее:
$$x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}$$
Здесь $M$ – масса всей системы, $m_k$ – массы составляющих системы, $x_k$ – их координаты. Для нашего стержня
$$x=L_1=\frac{m_1 x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}=\frac{L_1\rho_1 S\cdot \frac{L_1}{2}+L_2\rho_2 S\cdot(L_1+\frac{L_2}{2})}{ L_1\rho_1 S + L_2\rho_2 S }$$
$$\frac{L_1^2}{2}+4L_1L_2+\frac{4L_2^2}{2}=L_1(L_1+4L_2)$$
Разделив на $L_2^2$, получим:
$$\frac{L_1^2}{2L_2^2}+4\frac{ L_1 }{L_2} +2=\frac{L_1^2}{L_2^2}+4\frac{ L_1 }{L_2}$$
$$\frac{L_1^2}{2L_2^2}=2$$
Откуда
$$\frac{L_1}{L_2}=2$$
Ответ: 2.
Задача 2. Балка удерживается в наклонном положении веревкой. Будет ли суммарная сила реакции, действующая на нижний конец балки, направлена вдоль нее?

Рисунок 2
Так как балка неподвижна, значит, силы, действующие на нее, находятся в равновесии – то есть их сумма равна нулю. Следовательно, сила реакции уравновешивает направленную вертикально вниз силу тяжести и силу натяжения веревки. Глядя на рисунок, можно видеть, что при этом она не может быть направлена вдоль балки.
Задача 3. Определите, на каком расстоянии от стороны БВ находится центр тяжести П-образной конструкции, состоящей из трех одинаковых кусков однородной проволоки длиной $L=12$ см каждая. Ответ дать в см, округлив до целых.

Рисунок 3
Определим по формуле координату центра масс системы:
$$x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}$$
Здесь $M$ – масса всей системы, $m_k$ – массы составляющих проволочек, $x_k$ – координаты их центров масс. Для нашей системы
$$x=\frac{m_1 x_1+m_2x_2+m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m\cdot 0+m\cdot\frac{l}{2}\cdot 2}{3m}=\frac{2ml}{6m}=\frac{l}{3}=4$$
Ответ: 4 см.
Задача 4. Легкий рычаг изогнут так, что стороны его AB=2AC=2CD образуют друг с другом прямые углы. Ось рычага в точке C. Перпендикулярно плечу рычага AB в точке B приложена сила $F=10$ Н. Определить минимальное значение силы, которую нужно приложить в точке D, чтобы рычаг остался в равновесии. Ответ дать в Н, округлить до целых.

Рисунок 4
Плечо силы $F$ равно $AB=2CD$, поэтому придется приложить силу, вдвое большую $F$: 20 H.
Задача 5. На тонком легком стержне на равных расстояниях $L=7$ см друг от друга закреплены 3 тела массами $m, 2m$ и $4m$ соответственно. На каком расстоянии от тела массой m находится центр масс системы? Ответ дать в см, округлив до целых.
Понятно, что центр тяжести расположен между большим и средним грузом. Пусть на расстоянии $x$ от него:

Рисунок 5
Тогда условие равновесия:
$$(7+x)mg+2mgx=4mg(7-x)$$
Откуда
$$x=3$$
Поэтому центр тяжести находится в 10 см от тела массой $m$.
Ответ: 10 см.
Попробуем решить по формуле:
$$x=\frac{1}{M}\sum^{n}_{k=1} {m_k x_k}$$
Здесь $M$ – масса всей системы, $m_k$ – массы грузов, $x_k$ – координаты их центров масс. Для нашей системы
$$x=\frac{m_1 x_1+m_2x_2+m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}=\frac{m\cdot 0+2m\cdot7+4m\cdot14}{7m}=\frac{70m}{7m}=10$$
Ответ: 10 см.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...