Гидростатика: задачи ненулевого уровня.

В этой статье собраны задачи по гидростатике из задачника Русакова и др. Задачи «крепкие» – тянут на подготовку к городскому этапу олимпиады. Вполне доступны для решения школьниками от 8 класса.

Задача 1. Сосуд без дна, имеющий форму и размеры, указанные на рисунке, стоит на гладком столе. Масса сосуда равна $m$ . В сосуд наливают жидкость. После того, как уровень достигает высоты $h$ , сосуд приподнимается под действием жидкости. Найти плотность жидкости.

Рисунок 1

Сосуд начнет приподниматься, когда сила давления воды снизу и сила тяжести сравняются.

$mg=\rho g h S$

$m=\rho h\pi (R^2-r^2)$

$\rho=\frac{m}{ h\pi (R^2-r^2)}$

Ответ: $\rho=\frac{m}{ h\pi (R^2-r^2)}$

Задача 2. В жидкость опущена тонкостенная трубка диаметром $d$ , к которой прилегает цилиндрический диск диаметром $D$ и толщиной $h$ . Плотность диска $\rho_D$ больше плотности жидкости $\rho_0$ . На какой глубине $H$ диск оторвется, если трубку медленно вытаскивать из жидкости?

Рисунок 2

Рассмотрим диск. На него давит вода и снизу, и сверху. Поэтому, когда сила давления воды снизу станет меньше суммы силы давления воды сверху и силы тяжести, диск оторвется.

Сила давления воды снизу:

$F_n=p_n S=\rho_0 g (h+H)\cdot \pi R^2$

Сила давления воды сверху:

$F_v=p_v(S-S_t)=\rho_0 g H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)$

Тогда условие равенства нулю равнодействующей:

$F_n= F_v+mg$

$\rho_0 g (h+H)\cdot \pi R^2=\rho_0 g H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)+mg$

$\rho_0\pi R^2 h+\rho_0 \pi R^2 H =\rho_0 H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)+m$

$\rho_0\pi R^2 h -m =\rho_0 H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)- \rho_0 \pi R^2 H= -\rho_0 H\pi r^2$

$m-\rho_0\pi R^2 h=\rho_0 H\pi r^2$

$H=\frac{ m-\rho_0\pi R^2 h }{\rho_0 \pi r^2 }=\frac{ \rho_D\piR^2 h-\rho_0\pi R^2 h }{\rho_0 \pi r^2 }=\frac{ \rho_D R^2 h-\rho_0 R^2 h }{\rho_0 r^2 }=\frac{ D^2 h( \rho_D -\rho_0)}{\rho_0 d^2 }$

Ответ: $H=\frac{ D^2 h( \rho_D -\rho_0)}{\rho_0 d^2 }$

Задача 3. Шар массой $m$ , привязанный ко дну невесомой нитью, плавает на поверхности воды и погружен в нее наполовину. Сила натяжения нити равна $T$ . Найти плотность материала шара. Плотность воды считать известной.

Рисунок 3

Запишем условие равновесия шара:

$mg+T=F_A$

$\rho V g+T=\rho_0 g \frac{V}{2}$

$\rho=\frac{\rho_0 g \frac{V}{2}}{Vg}- \frac{T}{V g}=\frac{\rho_0}{2}-\frac{T}{V g}$

$\rho=\frac{\rho_0}{2}-\frac{T \rho}{m g}$

$\rho \left(1+\frac{T}{mg }\right)=\frac{\rho_0 }{2}$

$\rho=\frac{\rho_0 m g }{2(mg+T)}$

Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 m g }{2(mg+T)}$

Задача 4. Однородное тело плавает на поверхности керосина так, что объем погруженной части составляет 0,5 всего объема тела. Определить долю погруженной части от полного объема тела, когда тело переместят в воду. Плотность керосина принять равной 800 кг/м $^3$ .

Запишем условие плавания в керосине:

$F_{Ak}=mg$

$\rho_k \frac{V}{2}=\rho V$

$\rho=\frac{\rho_k }{2}$

Мы нашли плотность тела, теперь перемещаем его в воду. Записываем условие плавания:

$mg=F_{A0}$

$\rho V=\rho_0 V_0$

Где $V_0$ – объем погруженной в воду части.

$V_0=\frac{\rho V }{\rho_0}$

Подставим ранее найденную плотность

$V_0=\frac{ V }{\rho_0}\cdot \frac{\rho_k }{2}=\frac{800V}{2000}=0,4V$

Ответ: $V_0=0,4V$ .

Задача 5. Шар массой $m$ наполовину погружен в воду и давит на дно с силой $F$ . Найти плотность материала шара. Плотность воды дана.

Рисунок 4

Сила давления шара на дно равна разности силы тяжести и силы Архимеда:

$F=mg-F_A$

$mg=F+F_A=F+\rho_0 g \frac{V}{2}$

$\rho V g -\rho_0 g \frac{V}{2}=F$

$V=\frac{F}{\rho g - \frac{\rho_0 g }{2}}$

$\rho=\frac{m}{V }=\frac{mg(\rho-\frac{\rho_0}{2}}{F}$

$\rho(\frac{mg}{F}-1)=\frac{\rho_0 mg}{2F}$

$\rho=\frac{\rho_0 mg }{2(mg-F)}$

Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 mg }{2(mg-F)}$

Задача 6. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема 8 см $^3$ , если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. Плотность воды известна, принять $g=10$ м/с $^2$ .

Рисунок 5

Пусть $m$ – верхний шарик, тогда $3m$ – нижний.

Записываем условия равновесия шариков:

$mg+T=F_{A1}$

$3mg-T=F_{A2}$

Если уравнения сложить, получим

$4mg= F_{A1}+ F_{A2}=\rho g(V+\frac{V}{2}=1,5\rho g V$

$m=\frac{1,5\rho V}{4}=\frac{1,5\cdot 1000\cdot8\cdot10^{-6}}{4}=0,003$

Теперь можно найти силу натяжения нити:

$T=3mg- F_{A2}=3\cdot0,003\cdot10-1000\cdot10\cdot8\cdot10^{-6}=0,09-0,08=0,01$

Ответ: 0,01 Н.

Комментариев - 2

Роман

2020-07-07

Анна, не совсем понятно решение 3-ей задачи. Вы плотность шара выражаете через плотность этого же шара. В итоговой формуле должны быть известные величины: m, Т и плотность воды.

Ответить

Анна
|

2020-07-09

Конечно! Отвлеклась и не дорешала. Исправлено.

Ответить

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Июн
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Гидростатика: задачи ненулевого уровня.

Для вас другие записи этой рубрики:

Комментариев - 2

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы