Гидростатика: задачи ненулевого уровня.

В этой статье собраны задачи по гидростатике из задачника Русакова и др. Задачи «крепкие» – тянут на подготовку к городскому этапу олимпиады. Вполне доступны для решения школьниками от 8 класса.

Задача 1. Сосуд без дна, имеющий форму и размеры, указанные на рисунке, стоит на гладком столе. Масса сосуда равна $m$ . В сосуд наливают жидкость. После того, как уровень достигает высоты $h$ , сосуд приподнимается под действием жидкости. Найти плотность жидкости.

Рисунок 1

Сосуд начнет приподниматься, когда сила давления воды снизу и сила тяжести сравняются.

$mg=\rho g h S$

$m=\rho h\pi (R^2-r^2)$

$\rho=\frac{m}{ h\pi (R^2-r^2)}$

Ответ: $\rho=\frac{m}{ h\pi (R^2-r^2)}$

Задача 2. В жидкость опущена тонкостенная трубка диаметром $d$ , к которой прилегает цилиндрический диск диаметром $D$ и толщиной $h$ . Плотность диска $\rho_D$ больше плотности жидкости $\rho_0$ . На какой глубине $H$ диск оторвется, если трубку медленно вытаскивать из жидкости?

Рисунок 2

Рассмотрим диск. На него давит вода и снизу, и сверху. Поэтому, когда сила давления воды снизу станет меньше суммы силы давления воды сверху и силы тяжести, диск оторвется.

Сила давления воды снизу:

$F_n=p_n S=\rho_0 g (h+H)\cdot \pi R^2$

Сила давления воды сверху:

$F_v=p_v(S-S_t)=\rho_0 g H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)$

Тогда условие равенства нулю равнодействующей:

$F_n= F_v+mg$

$\rho_0 g (h+H)\cdot \pi R^2=\rho_0 g H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)+mg$

$\rho_0\pi R^2 h+\rho_0 \pi R^2 H =\rho_0 H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)+m$

$\rho_0\pi R^2 h -m =\rho_0 H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)- \rho_0 \pi R^2 H= -\rho_0 H\pi r^2$

$m-\rho_0\pi R^2 h=\rho_0 H\pi r^2$

$H=\frac{ m-\rho_0\pi R^2 h }{\rho_0 \pi r^2 }=\frac{ \rho_D\piR^2 h-\rho_0\pi R^2 h }{\rho_0 \pi r^2 }=\frac{ \rho_D R^2 h-\rho_0 R^2 h }{\rho_0 r^2 }=\frac{ D^2 h( \rho_D -\rho_0)}{\rho_0 d^2 }$

Ответ: $H=\frac{ D^2 h( \rho_D -\rho_0)}{\rho_0 d^2 }$

Задача 3. Шар массой $m$ , привязанный ко дну невесомой нитью, плавает на поверхности воды и погружен в нее наполовину. Сила натяжения нити равна $T$ . Найти плотность материала шара. Плотность воды считать известной.

Рисунок 3

Запишем условие равновесия шара:

$mg+T=F_A$

$\rho V g+T=\rho_0 g \frac{V}{2}$

$T=\rho_0 g \frac{V}{2}-\rho V g=gV(\frac{\rho_0}{2}-\rho)$

$V=\frac{T}{g(\frac{\rho_0}{2}-\rho)}$

$\rho =\frac{m}{V }=\frac{mg(\frac{\rho_0 }{2}-\rho }{T}$

Ответ: $\rho =\frac{mg(\frac{\rho_0 }{2}-\rho) }{T}$

Задача 4. Однородное тело плавает на поверхности керосина так, что объем погруженной части составляет 0,5 всего объема тела. Определить долю погруженной части от полного объема тела, когда тело переместят в воду. Плотность керосина принять равной 800 кг/м $^3$ .

Запишем условие плавания в керосине:

$F_{Ak}=mg$

$\rho_k \frac{V}{2}=\rho V$

$\rho=\frac{\rho_k }{2}$

Мы нашли плотность тела, теперь перемещаем его в воду. Записываем условие плавания:

$mg=F_{A0}$

$\rho V=\rho_0 V_0$

Где $V_0$ – объем погруженной в воду части.

$V_0=\frac{\rho V }{\rho_0}$

Подставим ранее найденную плотность

$V_0=\frac{ V }{\rho_0}\cdot \frac{\rho_k }{2}=\frac{800V}{2000}=0,4V$

Ответ: $V_0=0,4V$ .

Задача 5. Шар массой $m$ наполовину погружен в воду и давит на дно с силой $F$ . Найти плотность материала шара. Плотность воды дана.

Рисунок 4

Сила давления шара на дно равна разности силы тяжести и силы Архимеда:

$F=mg-F_A$

$mg=F+F_A=F+\rho_0 g \frac{V}{2}$

$\rho V g -\rho_0 g \frac{V}{2}=F$

$V=\frac{F}{\rho g - \frac{\rho_0 g }{2}}$

$\rho=\frac{m}{V }=\frac{mg(\rho-\frac{\rho_0}{2}}{F}$

$\rho(\frac{mg}{F}-1)=\frac{\rho_0 mg}{2F}$

$\rho=\frac{\rho_0 mg }{2(mg-F)}$

Ответ: $\rho=\frac{\rho_0 mg }{2(mg-F)}$

Задача 6. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема 8 см $^3$ , если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. Плотность воды известна, принять $g=10$ м/с $^2$ .