Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Давление, Сила Архимеда, Статика

Гидростатика: задачи ненулевого уровня.

В этой статье собраны задачи по гидростатике из задачника Русакова и др. Задачи «крепкие» – тянут на подготовку к городскому этапу олимпиады. Вполне доступны для решения школьниками от  8 класса.

Задача 1. Сосуд без дна, имеющий форму и размеры, указанные на рисунке, стоит на гладком столе. Масса сосуда равна m. В сосуд наливают жидкость. После того, как уровень достигает высоты h, сосуд приподнимается под действием жидкости. Найти плотность жидкости.

Рисунок 1

Сосуд начнет приподниматься, когда сила давления воды снизу и сила тяжести сравняются.

    \[mg=\rho g h S\]

    \[m=\rho h\pi (R^2-r^2)\]

    \[\rho=\frac{m}{ h\pi (R^2-r^2)}\]

Ответ: \rho=\frac{m}{ h\pi (R^2-r^2)}

Задача 2. В жидкость опущена тонкостенная трубка диаметром d, к которой прилегает цилиндрический диск диаметром D и толщиной h. Плотность диска \rho_D больше плотности жидкости \rho_0. На какой глубине H диск оторвется, если трубку медленно вытаскивать из жидкости?

Рисунок 2

Рассмотрим диск. На него давит вода и снизу, и сверху. Поэтому, когда сила давления воды снизу станет меньше суммы силы давления воды сверху и силы тяжести, диск оторвется.

Сила давления воды снизу:

    \[F_n=p_n S=\rho_0 g (h+H)\cdot \pi R^2\]

Сила давления воды сверху:

    \[F_v=p_v(S-S_t)=\rho_0 g H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)\]

Тогда условие равенства нулю равнодействующей:

    \[F_n= F_v+mg\]

    \[\rho_0 g (h+H)\cdot \pi R^2=\rho_0 g H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)+mg\]

    \[\rho_0\pi R^2  h+\rho_0 \pi R^2 H =\rho_0 H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)+m\]

    \[\rho_0\pi R^2  h -m =\rho_0 H\cdot(\pi R^2-\pi r^2)- \rho_0 \pi R^2 H= -\rho_0 H\pi r^2\]

    \[m-\rho_0\pi R^2  h=\rho_0 H\pi r^2\]

    \[H=\frac{ m-\rho_0\pi R^2  h }{\rho_0 \pi r^2 }=\frac{ \rho_D\piR^2 h-\rho_0\pi R^2  h }{\rho_0 \pi r^2 }=\frac{ \rho_D R^2 h-\rho_0 R^2  h }{\rho_0 r^2 }=\frac{ D^2 h( \rho_D -\rho_0)}{\rho_0  d^2 }\]

Ответ: H=\frac{ D^2 h( \rho_D -\rho_0)}{\rho_0  d^2 }

 

Задача 3.  Шар массой m, привязанный ко дну невесомой нитью, плавает на поверхности воды и погружен в нее наполовину. Сила натяжения нити равна T. Найти плотность материала шара. Плотность воды считать известной.

Рисунок 3

Запишем условие равновесия шара:

    \[mg+T=F_A\]

    \[\rho V g+T=\rho_0 g \frac{V}{2}\]

    \[T=\rho_0 g \frac{V}{2}-\rho V g=gV(\frac{\rho_0}{2}-\rho)\]

    \[V=\frac{T}{g(\frac{\rho_0}{2}-\rho)}\]

    \[\rho =\frac{m}{V }=\frac{mg(\frac{\rho_0 }{2}-\rho }{T}\]

Ответ: \rho =\frac{mg(\frac{\rho_0 }{2}-\rho) }{T}

Задача 4. Однородное тело плавает на поверхности керосина так, что объем погруженной части составляет 0,5 всего объема тела. Определить долю погруженной части от полного объема тела, когда тело переместят в воду. Плотность керосина принять равной 800 кг/м^3.

Запишем условие плавания в керосине:

    \[F_{Ak}=mg\]

    \[\rho_k \frac{V}{2}=\rho V\]

    \[\rho=\frac{\rho_k }{2}\]

Мы нашли плотность тела, теперь перемещаем его в воду. Записываем условие плавания:

    \[mg=F_{A0}\]

    \[\rho V=\rho_0 V_0\]

Где V_0 – объем погруженной в воду части.

    \[V_0=\frac{\rho V }{\rho_0}\]

Подставим ранее найденную плотность

    \[V_0=\frac{ V }{\rho_0}\cdot \frac{\rho_k }{2}=\frac{800V}{2000}=0,4V\]

Ответ: V_0=0,4V.

Задача 5. Шар массой m наполовину погружен в воду и давит на дно с силой F. Найти плотность материала шара. Плотность воды дана.

Рисунок 4

Сила давления шара на дно равна разности силы тяжести и силы Архимеда:

    \[F=mg-F_A\]

    \[mg=F+F_A=F+\rho_0 g \frac{V}{2}\]

    \[\rho V g -\rho_0 g \frac{V}{2}=F\]

    \[V=\frac{F}{\rho g - \frac{\rho_0 g }{2}}\]

    \[\rho=\frac{m}{V }=\frac{mg(\rho-\frac{\rho_0}{2}}{F}\]

    \[\rho(\frac{mg}{F}-1)=\frac{\rho_0 mg}{2F}\]

    \[\rho=\frac{\rho_0 mg }{2(mg-F)}\]

Ответ: \rho=\frac{\rho_0 mg }{2(mg-F)}

Задача 6. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема 8 см^3, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. Плотность воды известна, принять g=10 м/с^2.

Рисунок 5

Пусть m – верхний шарик, тогда 3m – нижний.

Записываем условия равновесия шариков:

    \[mg+T=F_{A1}\]

    \[3mg-T=F_{A2}\]

Если уравнения сложить, получим

    \[4mg= F_{A1}+ F_{A2}=\rho g(V+\frac{V}{2}=1,5\rho g V\]

    \[m=\frac{1,5\rho V}{4}=\frac{1,5\cdot 1000\cdot8\cdot10^{-6}}{4}=0,003\]

Теперь можно найти силу натяжения нити:

    \[T=3mg- F_{A2}=3\cdot0,003\cdot10-1000\cdot10\cdot8\cdot10^{-6}=0,09-0,08=0,01\]

Ответ: 0,01 Н.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *