Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 4 (ГИА В2)

В2 ГИА – решение уравнений

 

 

Среди заданий В2 встречаются как линейные, так и квадратные и рациональные  уравнения. Линейные решаются переносом всех слагаемых, содержащих неизвестные, в одну сторону, а не содержащих – в другую. Примеры:

1. Решите уравнение:

9x+6=10x

Переносим 9х вправо:

6=10x-9x

x=6

Ответ: 6

2. Решите уравнение:

-4x+8=-7

Переносим 8 вправо:

-4x=-7-8

-4x=-15

Делим все уравнение (и правую, и левую части) на коэффициент при неизвестной – у нас это (-4):

x=15/4

x=3{3/4}=3{75/100}

Очень важно, как записать ответ! Обязательно использовать только запятую для отделения целой части числа от его дробной части! При использовании точки ответ не засчитают!

Ответ: 3,75

3. Решите уравнение:

5-2x=8x+9

Переносим 2x вправо, 9 влево:

5-9=8x+2x

-4=10x

Делим все уравнение (и правую, и левую части) на коэффициент при неизвестной – у нас это 10:

x=-4/10

Ответ: -0,4

4. Решите уравнение:

-4(5-4x)=x+1

Раскрываем скобки, при этом произведение будет иметь знак, противоположный тому, который имеют слагаемые в скобках, так как множитель – отрицателен:

-20+16x=x+1

Переносим x влево, (-20) вправо:

16x-x=1+20

15x=21

Делим все уравнение (и правую, и левую части) на коэффициент при неизвестной – у нас это 15:

x=21/15

Сокращаем на 3:

x=7/5=1{2/5}

Ответ: 1,4

Теперь рассмотрим квадратные уравнения. Для этого вспомним, что такое дискриминант и как рассчитать его, как определить корни, зная дискриминант, а также теорему Виета, которая позволяет определить корни без расчета дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2+bx+c=0:

D=b^2-4ac

При D>0″ title=”D>0″/><img src= уравнение имеет два разных действительных корня, при  D=0 – один корень (или два одинаковых корня, что то же самое), при  D<0 уравнение не имеет действительных корней.

Расчет корней:

x_1={-b+sqrt{D}}/{2a}

x_2={-b-sqrt{D}}/{2a}

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x^2+px+q=0:

x_1*x_2=q

x_1+x_2=-p

Очень полезные свойства, вытекающие из теоремы Виета для неприведенного квадратного уравнения ax^2+bx+c=0:

Если a+b+c=0, то один из корней уравнения x_1=1, а второй x_2=c/a

Второе не менее важное свойство:

Если a+c=b, то один из корней уравнения x_1=-1, а второй x_2=-c/a

 

 

5. Решим уравнение:

-5x^2-9x=0

Разделим уравнение на (-1):

5x^2+9x=0

Выносим общий множитель за скобки:

x(5x+9)=0

Произведение равно 0, если один из сомножителей равен нулю, тогда находим корни:

x_1=0

5x+9=05x=-9x_2=-9/5

Очень важно, как правильно записать ответ. В скобках записывается ответ при решении системы уравнений, поэтому, если вы запишете таким образом ответ на эту задачу, его могут не засчитать. Корни нужно перечислять через точку с запятой!

Ответ: 0; -1,8

6. Решить уравнение. Если корней несколько, запишите их в порядке возрастания через точку с запятой:

x^2+16=10x

Перенесем все влево:

x^2-10x+16=0

Дискриминант квадратного уравнения:

D=b^2-4ac=(-10)^2-4*1*16=100-64=36

Определяем корни:

x_1={10+6}/2=8

x_2={10-6}/2=2

Внимательно записываем ответ:

Ответ: 2; 8

7. Решить уравнение. Если корней несколько, запишите их в порядке возрастания через точку с запятой:

(x-7)^2=(9-x)^2

Есть несколько способов решить такое уравнение:

а) Воспользоваться формулой разности квадратов.

б) Раскрыть скобки, перенести все влево и решить полученное уравнение.

в) Извлечь квадратный корень из правой и левой частей, только не забыть про знак модуля!

Первый способ:

(x-7)^2-(9-x)^2=0

((x-7)-(9-x))((x-7)+(9-x))=0

(x-7-9+x)(x-7+9-x)=0

(2x-16)2=0

Так как 2<>0″ title=”2<>0″/>, то <img src=

2x=16

x=8

Второй способ:

x^2-14x+49=81-18x+x^2

x^2-14x+49-81+18x-x^2=0

4x-32=0

x=8

Третий способ:

delim{|}{x-7}{|}=delim{|}{9-x}{|}

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-7=9-x} {x-7=-(9-x)}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x=16} {x-7=-9+x}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=8} {varnothing}}}{ }

Записываем ответ:

Ответ:  8

8. Решить уравнение. Если корней несколько, записать в ответ их сумму.

x^2-7x+6=0

Здесь как раз тот случай, когда сумма коэффициентов уравнения равна нулю, поэтому корни:

x_1=1

x_2=c/a=6

Также в этом случае корни легко определить по теореме Виета.

Не забываем, что в ответ записывается сумма корней:

Ответ: 7

9. Решить уравнение. Если корней несколько, записать в ответ наибольший из них.

3x^2-10x+30=7x^2+2x+3

Переносим все влево:

3x^2-10x+30-7x^2-2x-3=0

-4x^2-12x+27=0

или

4x^2+12x-27=0

Дискриминант квадратного уравнения:

D=b^2-4ac=(12)^2-4*4*(-27)=144+432=576=24^2

Определяем корни:

x_1={-12+24}/2=6

x_2={-12-24}/2=-18

Внимательно записываем ответ:

Ответ: 6

10. Решим рациональное уравнение:

1/{x+7}+1/{x-3}=0

Знаменатель не должен быть равен нулю:

x+7<>0″ title=”x+7<>0″/><img src=

Для второго знаменателя такое условие можно не записывать, так как оно выполнится автоматически.

x+7=-(x-3)

2x+4=0

x=-2

Ответ: -2

11. Решим рациональное уравнение:

{x^2-3x+2}/{x-5}=0

Знаменатель не должен быть равен нулю:

x-5<>0″ title=”x-5<>0″/><img src=

x<>5″ title=”x<>5″/><img src=

Разложим числитель на множители. Воспользуемся теоремой Виета:

x_1*x_2=q

x_1+x_2=-p

x_1*x_2=2

x_1+x_2=3

Тогда корни:

x_1=1

x_2=2

Эти корни и будут корнями уравнения, ответ: 1;2

12. Решите уравнение. В ответ запишите меньший корень, если корней несколько:

9/{x-11}+11/{x-9}=2

Перенесем все влево и приведем к общему знаменателю:

{9(x-9)+11(x-11)-2(x-9)(x-11)}/{(x-11)(x-9)}=0

Упрощаем:

{9x-81+11x-121-2(x^2-11x-9x+99)}/{(x-11)(x-9)}=0

{60x-400-2x^2}/{(x-11)(x-9)}=0

{30x-200-x^2}/{(x-11)(x-9)}=0

Корни найдем по теореме Виета:

x_1=10; x_2=20

Записываем меньший из корней в ответ: 10.

 

 

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *