Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4), ОГЭ 26 (ГИА С6)

ГИА 2014 – задачи С6

Здравствуйте, уважаемые посетители! В этой статье рассмотрено решение некоторых задач С6, предлагаемых в сборниках для подготовки к ГИА. Одни из них совсем простые, другие сложнее, для решения третьих требуется “геометрическая фантазия”. В статье я расположила задачи, как мне показалось, по возрастанию уровня их сложности.


1. Середина М стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин.Найдите AD, если ВС=4, а углы В и С четырехугольника равны соответственно 128circ и 112circ.

Рассмотрим рисунок:

Задача 1

Так как точка М равноудалена от вершин, то расстояния АМ=ВМ=СМ=DM. Тогда треугольники ABM, CBM, CMD – равнобедренные и углы при основаниях у них равные. Обозначим эти углы через х, у и z. Сумма углов х и z тогда – 128circ, углов х и у – 112circ. В то же время сумма всех углов четырехугольника равна 360circ. Составим уравнения:

Тогда 

Откуда:

Значит, треугольник BCM – правильный, все его углы по 60circ и стороны равны. Тогда BM=BC=CM=4, AD=2AM=8.

Ответ: 8.

2. В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 1 найти радиус вписанной в треугольник ABC окружности.

C6_26_53

Задача 2

В треугольнике ABC известны две стороны – это данные стороны шестиугольника, они равны 1. Этот треугольник – равнобедренный. Кроме того, известны его острые углы, так как известен тупой угол – он равен 120 circ. Этот вывод делаем из общеизвестной формулы для внешнего угла: 360/n, для шестиугольника это 60 circ, следовательно, угол ABC=120 circ, а углы BAC и BCA равны 30 circ. Тогда высота треугольника ABC, опущенная на сторону AC, равна 0.5 – так как синус 30 circ – 0.5. Определим длину AC – это можно сделать по теореме Пифагора или из определения косинуса.

Зная основание треугольника, можем определить его площадь:

Радиус вписанной окружности определить можно, зная площадь треугольника и его полупериметр. Найдем последний:

Теперь и радиус можно найти:

3.В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 1 найти радиус вписанной в треугольник ACD окружности.

C6_26_52

Задача 3

В данном треугольнике AD – диаметр окружности, описанной около шестиугольника ACD. Радиус этой окружности равен 1, диаметр тогда – 2. AC найдем по теореме Пифагора:

Найдем площадь и полупериметр треугольника ACD

:

Теперь можем определить радиус вписанной окружности:

4. Стороны треугольника ABC равны 3, 7 и 8. Найти радиус вписанной окружности.

Задача 4

Алгоритм действий здесь такой же, как и в предыдущих задачах – нужно определить площадь треугольника, тогда можно найти и радиус вписанной окружности.  Определим полупериметр:

Площадь определим по формуле Герона:

   

   

 

 

Далее определяем искомый радиус:

   

   

 

5. Середина диагонали BD выпуклого четырехугольника ABCD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 8. Найдите площадь четырехугольника, если АС=20.

Задача 5

Рассмотрим данный выпуклый четырехугольник. Обозначим середину диагонали буквой О. Отрезки КО, ОМ, OL и OF равны 8 и перпендикулярны сторонам, потому что кратчайшее расстояние – это, как известно, перпендикуляр. Тогда треугольники KBO, BOM, FOD и OLD равны (по трем сторонам). Также равны треугольники KOA, AOF, MOC, COL (прямоугольные, равны катет и гипотенуза).

Так как

  и при этом

 

то

 

Это означает, что диагонали четырехугольника АBCD перпендикулярны, а с учетом равенства треугольников KBO, BOM, FOD и OLD – наш четырехугольник – ромб.Тогда можем найти его площадь как половину произведения диагоналей. Найдем диагональ BD, длина которой нам неизвестна. Для этого сначала определим длину отрезка AO. Из условия равенства треугольников KOA, AOF, MOC, COL: AO=OC=10. Зная это, найдем катеты MC, CL, AF, AK по теореме Пифагора:

Треугольники COM и COB подобны (по двум углам). Тогда:

Диагональ BD вдвое больше:

Теперь можно найти площадь:

Ответ: 800/3.


6. Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины тупого угла А треугольника ABC к стороне ВС. Окружность с центром в точке D и радиусом DA пересекает прямые АВ и АС в точках  P и M, отличных от A, соответственно.Найдите АС, если АВ=9, АР=8, АМ=6.

Сделаем чертеж:

Задача 6

В этой задаче нужно использовать свойство секущих:

Свойство секущих

Тогда для нашей задачи:BN*BK=BP*BA. Тогда BN*(BN+2R)=9 – эта запись нам пригодится.

С другой стороны, для прямоугольного треугольника ADB: AD^2+DB^2=BA^2, или  R^2+(R+BN)^2=9^2

Раскроем скобки: R^2+R^2+2R*BN+BN^2=9^2

Теперь время вспомнить об отложенной записи и подставить ее в последнее уравнение, тогда:

2R^2+9=9^2

2R^2=72

R^2=36

R=6

Мы нашли радиус окружности, то, что он равен 6, означает, что треугольник AMD – равносторонний, и все углы у него по 60circ.

Значит, угол MDK равен 30circ, а угол DMC – 120circ. Из теоремы о сумме углов треугольника угол MCD – 30circ и треугольник CMD – равнобедренный, его сторона CM=MD=6. Отсюда СА=12.

Ответ: 12.

7. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD=8, угол С равен 75circ. Окружность, описанная около треугольника ABD, касается прямой CD. Найдите площадь параллелограмма.

Задача 7

Красным цветом на рисунке показаны радиусы описанной окружности. Ее центр – в точке пересечения серединных перпендикуляров треугольника ABD. Раз окружность касается прямой СD, значит радиус OD перпендикулярен CD. Тогда угол ОDC – прямой. Угол BAD равен 75circ по условию, и он является вписанным углом. Вместе с тем угол BOD – центральный, и значит, он вдвое больше вписанного угла BAD, опирающегося на ту же дугу, то есть он равен 150circ. Треугольник BOD – равнобедренный, две его стороны – радиусы окружности, поэтому углы OBD и ODB равны. Найдем их: (180circ-150circ)/2=15circ. Это означает, что угол BDC равен 75circ, и треугольник BDC –  равнобедренный. Тогда его стороны равны: BD=BC=8. Теперь можно определить площадь параллелограмма как сумму площадей двух равных треугольников:

, а площадь треугольника BCD – как половину произведения сторон на синус угла между ними:

Ответ:32

8. Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке К. Через точку К проведена прямая, параллельная диагонали АС и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла BAC.

Задача 8

Какова площадь треугольника ABC? Конечно, половина ромба – то есть 9. Треугольники ABC и KBP подобны, так как KP параллельна AC  и имеется общий угол – угол KBP. Площади этих треугольников относятся как 9:1, а мы знаем, что отношение площадей подобных фигур – это квадрат коэффициента подобия. Значит, коэффициент подобия равен трем. То есть стороны треугольника KBP в три раза меньше сторон треугольника ABC. Теперь займемся синусом угла, который необходимо определить. По определению, синус угла (в прямоугольном треугольнике) это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то есть BN/AB. Отрезки BК и BN равны, так как оба они – касательные к одной окружности и исходят из одной точки В. Тогда можно записать:

 

Так как стороны треугольника KBP втрое меньше, чем стороны ABC, то BK/AB=1/3.

Ответ: 1/3.

9.Прямоугольный треугольник АВС разделен высотой CD, проведенной к гипотенузе, на два треугольника – BCD и ACD.  Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Задача 9

Эту задачу достаточно просто решить, пользуясь подобием треугольников и основывая решение на коэффициенте подобия. Рассмотрим рисунок: треугольник ADC подобен треугольнику CDB, а тот, в свою очередь, треугольнику ABC (подобие по двум углам). Как известно, отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а сам коэффициент подобия – это отношение соответственных элементов, в данном случае – сторон треугольника. Запишем, как относится площадь треугольника ABC к площади треугольника ADC:

 

 

Перепишем и домножим на :

Теперь найдем радиус:

Ответ: 5.

10. Окружность проходит через середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC и касается катета АС. В каком отношении точка касания делит катет АС, считая от вершины А?

Задача 10

Из точки S, где окружность пересекает гипотенузу треугольника АВ, опустим перпендикуляры на оба катета: SE и SF. Тогда треугольник SBF равен треугольнику ASE (по трем углам).  Это значит, что AE=EC=SF. SF – хорда окружности. Точка М – точка касания окружности и прямой АС, значит, радиус окружности, проведенный к точке М, будет перпендикулярен АС и, следовательно, перпендикулярен отрезку SF, а известно, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам:

Дополнительные построения задачи 10

 

Тогда треугольник SOH подобен треугольнику SBF, и коэффициент подобия – 1/2. Значит, EM=MC=EC/2. Тогда MC составляет 1/4 АС, и значит, АС делится точкой касания в отношении 3:1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.Через точку D основания АВ равнобедренного треугольника АВС проведена прямая CD, пересекающая описанную около треугольника ABC окружность в точке Е. Найдите АС, если СЕ=3 и DE=DC.

Задача 11

Соединим точки А,Е и Е,В. Полученный четырехугольник ACBE – вписанный, значит, суммы противоположных его углов равны, и равны 180circ. Но углы CAB и CBA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, и значит, Угол EAB равен углу ABE:

 

Кроме того, тогда угол СВЕ – прямой, как и угол CAE (так как они равны и их сумма – 180 circ).Тогда треугольник AEB – равнобедренный. Треугольники равны (общее основание и равные углы при основании). Четырехугольник ACBE тогда –  квадрат. Тогда CD=AD, и по теореме Пифагора:

Ответ: 1.5sqrt{2}

 

12. Четырехугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность.Перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин B и C, пересекают диагонали АС и BD в точках E и  F соответственно. Известно, что ВС=1. Найдите EF.

Так как  и BE, и СF перпендикулярны AD – то они параллельны друг другу. Тогда равны углы EBF и  BFC (как накрестлежащие) и также равны, как накрестлежащие, углы FCE и CEB. Значит, в четырехугольнике EBCF противолежащие углы равны E и С равны. Тогда, учитывая, что BE и СF параллельны,  EBCF – параллелограмм, и тогда EF=ВС=1. Ответ:1.

Задача 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Внутри двугранного угла находится точка А. Расстояния до граней угла относятся как 1:3sqrt{2}. Расстояние от ребра угла до точки А  – 10 см. Определить расстояния от А до граней угла, если его градусная мера – 45circ.

Задача 13

Обозначим одно из искомых расстояний AP за х. Тогда AC – 3sqrt{2}х. AP перпендикулярна BP, а AC перпендикулярна BC. Опустим перпендикуляр из точки P на грань ВС – PO’. Треугольник BPO’ тогда – равнобедренный и прямоугольный: PO’=BO’. Также равнобедренным и прямоугольным является треугольник POA, PO=OA.

Задача 13 – разбор

Тогда из этих треугольников по теореме Пифагора нашли PO, OO’=AC, PO’=PO+AC:

Определим катет BC треугольника ABC:

Теорема Пифагора для треугольника ABC:

 

 

14. Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие – на хорде. Чему равна разность длин сторон квадратов?

Задача 14

Рассмотрим рисунок. Пусть a – сторона меньшего квадрата, а b – большего.И красная линия, и желтая – радиусы окружности. Запишем и тот, и другой по теореме Пифагора. Тогда для красного радиуса:

Для желтого радиуса:

Приравниваем оба выражения:

Упрощаем и сокращаем:

Ответ:

Задача 15

15. В треугольнике KLM угол L тупой, а сторона KM равна 6. Найдите радиус описанной около треугольника KLM окружности, если известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM.

Так как треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот R лежит вне его. Также можно утверждать, что центр описанной окружности S находится вне треугольника, и таким образом, KM – хорда описанной окружности. Очевидно, что обе эти точки расположены по разные стороны от отрезка KM. Центр второй упомянутой окружности, проходящей через точки пересечения высот и точки К и М, лежит на дуге KLM, центр этой окружности обозначим за О. Отрезок КМ является хордой и для этой окружности также. Из условия, что центр O этой окружности лежит на первой, можно сделать вывод, что радиусы окружностей равны.

Так как KM – хорда обеих окружностей, то радиусы обеих окружностей, проведенные через середину хорды, будут ей перпендикулярны – а это значит, что центры окружностей лежат на одной прямой, перпендикулярной КМ.

Тогда вторая окружность будет обязательно проходить через точку S – центр первой окружности.    Расстояния от центров обеих окружностей до концов отрезка КМ равны: KO=OM=SM=KS=SO=r. То есть фигура  KOMS – ромб.    KP=PM=3. Тогда по теореме Пифагора:

 

Ответ: r=2sqrt{3}

16. Дана трапеция ABCD с основаниями AD=a и BC=b. Точки M и  N лежат на сторонах AB и  CD соответственно, причем отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ АС пересекает этот отрезок в точке О. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.

C6_26_44

Задача 16

Обозначим основания трапеции a и b.

Из условия равенства площадей можем записать:

 

Запишем, какие треугольники подобны в данной трапеции, и отношение их сторон:

Из  последних двух равенств следует:

Подставим АС из последнего равенства в предпоследнее:

Отношение АО/CO можно получить из условия равенства треугольников:

Тогда: 

Вернемся к подобию треугольников:

Сложим уравнения:

Вспомним, что получили ранее:

Тогда:

Выразим ON:

Аналогично получим для OM:

Окончательно находим отрезок MN:

Надеюсь, мне удалось помочь вам подготовиться к экзамену! Решайте больше,  и выработается “геометрическое видение”!

Комментариев - 10

  • Юлия
    |

    Здравствуйте! У меня возникли сомнения по поводу 6ой задачи. Разве можно там использовать теорему о секущих, если в ней говорится только о точках, лежащих ВНЕ окружности, а здесь точка лежит НА ней?

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо Вам за внимание, я поправила запись, теперь никакой некорректности нет.

      Ответить
  • Татьяна
    |

    Доброе время суток, Анна! У меня возникли сомнения в 11 задаче. Почему CE высота треугольника АВЕ, а СD – высота треугольника ABC. В задаче сказано, что точка D – произвольная точка основания AB, в условии задачи не сказано, что отрезок СЕ перпендикулярен основанию АВ. Значит, надо, наверное, сначала доказать, что CD – высота треугольника или что отрезки СЕ и АВ перпендикулярны. Я застряла на этом доказательстве. Помогите, пожалуйста.

    Ответить
    • Анна
      |

      Дело все в том, что треугольники образуют ромбоид (они оба – равнобедренные). А у ромбоида диагонали перпендикулярны, как и у ромба. Но Вы правы, это надо дописать. Спасибо большое!

      Ответить
  • Людмила
    |

    Извините, мне кажется, что в задаче 15 равенство радиусов надо сначала все-таки доказать.

    Ответить
    • Анна
      |

      Я считаю, что доказала это. У обеих окружностей одно и то же расстояние от центра до точек, принадлежащих окружности – а это и есть радиус. Если бы они были разных радиусов, условие задачи не соблюдалось бы. По сути, равенство радиусов дано в завуалированной форме прямо в условии. Однако рисунок я, видимо, переделаю впоследствии.

      Ответить
      • Людмила
        |

        “Одно и то же расстояние” при построении не очевидно. Сначала хорду можно разместить на любом расстоянии от центра S. В условии не сказано, что вершина тр-ка L совпадает с центром О. Это обусловлено только вторым условием задачи – вторая окр. проходит через т. пересечения высот. Я не права?

        Ответить
        • Анна
          |

          Конечно, вы правы. Действительно, я не упомянула, что радиусы окружностей, описанных около треугольников KLM, KLR, RLM и KRC равны между собой, ведь это ортоцентрическая четверка. Иногда вещи кажутся столь очевидными, что о необходимости доказывать просто забываешь)). Спасибо большое!

          Ответить
  • Артем
    |

    в четвертой задаче площадь равна не 6 корней из 2, а 6 корней из 3

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо, опечатка, исправлено.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *