Герон или Пифагор?

[latexpage]

Несколько задач, решение которых сочетает в себе и теорему Пифагора, и формулу Герона, и умение увидеть разность квадратов и тем облегчить себе расчет.

Задача 1. Найти площадь треугольника:

Задача 1

Первый способ: Определим площадь в лоб по формуле Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Да, корни, да, ужасные вычисления! Но мы сейчас посмотрим: может, не такие и ужасные?

$$P=4+5+\sqrt{17}$$

$$p=\frac{9+\sqrt{17}}{2}$$

Площадь будет равна:

$$S=\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-4\right)\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-5\right)\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-\sqrt{17}\right)}$$

$$S=\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{1+\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{\sqrt{17}-1}{2}\cdot\frac{9-\sqrt{17}}{2}}$$

$$S=\sqrt{\frac{81-17}{2}\cdot\frac{17-1}{2}}=\sqrt{\frac{64}{2}\cdot\frac{16}{2}}=8$$

Второй способ, по формуле Герона, но формула другая:

$$S=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$$

Как раз для треугольника, длины сторон которого содержат радикалы.

Подставляем:

$$S=\frac{1}{4}\sqrt{4\cdot16\cdot25-(16+25-17)^2}$$

$$S=\frac{1}{4}\sqrt{1600-576}=\frac{1}{4}\sqrt{1024}=8$$

Третий способ, по теореме Пифагора:

Задача 1, с помощью теоремы Пифагора

С одной стороны,

$$17=h^2+(5-x)^2$$

С другой стороны,

$$h^2+x^2=16$$

Вычтем уравнения:

$$1=(5-x)^2-x^2$$

$$1=25-10x+x^2-x^2$$

$$10x=24$$

$$x=2,4$$

Тогда

$$h^2=16-5,76=10,24$$

$$h=3,2$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot3,2=8$$

Ответ: 8.

Задача 2. Найти площадь треугольника:

Задача 2

Определим площадь в лоб по формуле Герона:

$$P=5+\sqrt{58}+\sqrt{65}$$

$$p=\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}$$

Площадь будет равна:

$$S=\sqrt{\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-5\right)\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-\sqrt{65}\right)\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-\sqrt{58}\right)}$$

$$S=\sqrt{\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}\cdot\frac{\sqrt{58}+\sqrt{65}-5}{2}\cdot\frac{5+\sqrt{58}-\sqrt{65}}{2}\cdot\frac{5-\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}}$$

$$S=\sqrt{\frac{(\sqrt{58}+\sqrt{65})^2-25}{4}\cdot\frac{25-(\sqrt{65}-\sqrt{58})^2}{4}}$$

$$S=\sqrt{\frac{65+58-25+2\sqrt{58\cdot65}}{4}\cdot\frac{25-(65+58-2\sqrt{58\cdot65})}{4}}$$

$$S=\sqrt{\frac{98+2\sqrt{58\cdot65}}{4}\cdot\frac{2\sqrt{58\cdot65}-98}{4}}$$

$$S=\sqrt{\frac{4\cdot 58\cdot65-98^2}{16}}=18,5$$

Вторым способом, тоже по формуле Герона, но по второй – гораздо проще:

$$S=\frac{1}{4}\sqrt{4\cdot58\cdot65-(58+65-25)^2}$$

$$S=\frac{1}{4}\sqrt{15080-9604}=\frac{1}{4}\sqrt{5476}=18,5$$

Через теорему Пифагора:

С одной стороны,

$$65=h^2+(5-x)^2$$

С другой стороны,

$$h^2+x^2=58$$

Вычтем уравнения:

$$7=(5-x)^2-x^2$$

$$7=25-10x+x^2-x^2$$

$$10x=18$$

$$x=1,8$$

Тогда

$$h^2=58-3,24=54,76$$

$$h=7,4$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot7,4=18,5$$

Ответ: 18,5.

Задача 3. Найти площадь треугольника:

Задача 3.

Здесь мы применим прием “удвоение медианы”. Получим треугольник $BCN$ со сторонами 29, 27, 52. Его площадь равна площади исходного треугольника и может быть найдена по обыкновенной формуле Герона:

К задаче 3

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$S=\sqrt{54(54-27)(54-29)(54-52)}=\sqrt{54\cdot27\cdot25\cdot2}=\sqrt{27\cdot2\cdot27\cdot25\cdot2}=27\cdot5\cdot2=270$$

Ответ: 270