[latexpage]
Несколько задач, решение которых сочетает в себе и теорему Пифагора, и формулу Герона, и умение увидеть разность квадратов и тем облегчить себе расчет.
Задача 1. Найти площадь треугольника:

Задача 1
Первый способ: Определим площадь в лоб по формуле Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Да, корни, да, ужасные вычисления! Но мы сейчас посмотрим: может, не такие и ужасные?
$$P=4+5+\sqrt{17}$$
$$p=\frac{9+\sqrt{17}}{2}$$
Площадь будет равна:
$$S=\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-4\right)\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-5\right)\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-\sqrt{17}\right)}$$
$$S=\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{1+\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{\sqrt{17}-1}{2}\cdot\frac{9-\sqrt{17}}{2}}$$
$$S=\sqrt{\frac{81-17}{2}\cdot\frac{17-1}{2}}=\sqrt{\frac{64}{2}\cdot\frac{16}{2}}=8$$
Второй способ, по формуле Герона, но формула другая:
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$$
Как раз для треугольника, длины сторон которого содержат радикалы.
Подставляем:
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{4\cdot16\cdot25-(16+25-17)^2}$$
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{1600-576}=\frac{1}{4}\sqrt{1024}=8$$
Третий способ, по теореме Пифагора:

Задача 1, с помощью теоремы Пифагора
С одной стороны,
$$17=h^2+(5-x)^2$$
С другой стороны,
$$h^2+x^2=16$$
Вычтем уравнения:
$$1=(5-x)^2-x^2$$
$$1=25-10x+x^2-x^2$$
$$10x=24$$
$$x=2,4$$
Тогда
$$h^2=16-5,76=10,24$$
$$h=3,2$$
$$S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot3,2=8$$
Ответ: 8.
Задача 2. Найти площадь треугольника:

Задача 2
Определим площадь в лоб по формуле Герона:
$$P=5+\sqrt{58}+\sqrt{65}$$
$$p=\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}$$
Площадь будет равна:
$$S=\sqrt{\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-5\right)\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-\sqrt{65}\right)\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-\sqrt{58}\right)}$$
$$S=\sqrt{\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}\cdot\frac{\sqrt{58}+\sqrt{65}-5}{2}\cdot\frac{5+\sqrt{58}-\sqrt{65}}{2}\cdot\frac{5-\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}}$$
$$S=\sqrt{\frac{(\sqrt{58}+\sqrt{65})^2-25}{4}\cdot\frac{25-(\sqrt{65}-\sqrt{58})^2}{4}}$$
$$S=\sqrt{\frac{65+58-25+2\sqrt{58\cdot65}}{4}\cdot\frac{25-(65+58-2\sqrt{58\cdot65})}{4}}$$
$$S=\sqrt{\frac{98+2\sqrt{58\cdot65}}{4}\cdot\frac{2\sqrt{58\cdot65}-98}{4}}$$
$$S=\sqrt{\frac{4\cdot 58\cdot65-98^2}{16}}=18,5$$
Вторым способом, тоже по формуле Герона, но по второй – гораздо проще:
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{4\cdot58\cdot65-(58+65-25)^2}$$
$$S=\frac{1}{4}\sqrt{15080-9604}=\frac{1}{4}\sqrt{5476}=18,5$$
Через теорему Пифагора:
С одной стороны,
$$65=h^2+(5-x)^2$$
С другой стороны,
$$h^2+x^2=58$$
Вычтем уравнения:
$$7=(5-x)^2-x^2$$
$$7=25-10x+x^2-x^2$$
$$10x=18$$
$$x=1,8$$
Тогда
$$h^2=58-3,24=54,76$$
$$h=7,4$$
$$S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot7,4=18,5$$
Ответ: 18,5.
Задача 3. Найти площадь треугольника:

Задача 3.
Здесь мы применим прием “удвоение медианы”. Получим треугольник $BCN$ со сторонами 29, 27, 52. Его площадь равна площади исходного треугольника и может быть найдена по обыкновенной формуле Герона:

К задаче 3
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$S=\sqrt{54(54-27)(54-29)(54-52)}=\sqrt{54\cdot27\cdot25\cdot2}=\sqrt{27\cdot2\cdot27\cdot25\cdot2}=27\cdot5\cdot2=270$$
Ответ: 270
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...