Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача на вычисление (задание 24)

Герон или Пифагор?

Несколько задач, решение которых сочетает в себе и теорему Пифагора, и формулу Герона, и умение увидеть разность квадратов и тем облегчить себе расчет.

Задача 1. Найти площадь треугольника:

Задача 1

Первый способ: Определим площадь в лоб по формуле Герона S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. Да, корни, да, ужасные вычисления! Но мы сейчас посмотрим: может, не такие и ужасные?

    \[P=4+5+\sqrt{17}\]

    \[p=\frac{9+\sqrt{17}}{2}\]

Площадь будет равна:

    \[S=\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-4\right)\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-5\right)\cdot\left(\frac{9+\sqrt{17}}{2}-\sqrt{17}\right)}\]

    \[S=\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{1+\sqrt{17}}{2}\cdot\frac{\sqrt{17}-1}{2}\cdot\frac{9-\sqrt{17}}{2}}\]

    \[S=\sqrt{\frac{81-17}{2}\cdot\frac{17-1}{2}}=\sqrt{\frac{64}{2}\cdot\frac{16}{2}}=8\]

Второй способ, по формуле Герона, но формула другая:

    \[S=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}\]

Как раз для треугольника, длины сторон которого содержат радикалы.

Подставляем:

    \[S=\frac{1}{4}\sqrt{4\cdot16\cdot25-(16+25-17)^2}\]

    \[S=\frac{1}{4}\sqrt{1600-576}=\frac{1}{4}\sqrt{1024}=8\]

Третий способ, по теореме Пифагора:

Задача 1, с помощью теоремы Пифагора

С одной стороны,

    \[17=h^2+(5-x)^2\]

С другой стороны,

    \[h^2+x^2=16\]

Вычтем уравнения:

    \[1=(5-x)^2-x^2\]

    \[1=25-10x+x^2-x^2\]

    \[10x=24\]

    \[x=2,4\]

Тогда

    \[h^2=16-5,76=10,24\]

    \[h=3,2\]

    \[S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot3,2=8\]

Ответ: 8.

Задача 2. Найти площадь треугольника:

Задача 2

Определим площадь в лоб по формуле Герона:

    \[P=5+\sqrt{58}+\sqrt{65}\]

    \[p=\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}\]

Площадь будет равна:

    \[S=\sqrt{\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-5\right)\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-\sqrt{65}\right)\cdot\left(\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}-\sqrt{58}\right)}\]

    \[S=\sqrt{\frac{5+\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}\cdot\frac{\sqrt{58}+\sqrt{65}-5}{2}\cdot\frac{5+\sqrt{58}-\sqrt{65}}{2}\cdot\frac{5-\sqrt{58}+\sqrt{65}}{2}}\]

    \[S=\sqrt{\frac{(\sqrt{58}+\sqrt{65})^2-25}{4}\cdot\frac{25-(\sqrt{65}-\sqrt{58})^2}{4}}\]

    \[S=\sqrt{\frac{65+58-25+2\sqrt{58\cdot65}}{4}\cdot\frac{25-(65+58-2\sqrt{58\cdot65})}{4}}\]

    \[S=\sqrt{\frac{98+2\sqrt{58\cdot65}}{4}\cdot\frac{2\sqrt{58\cdot65}-98}{4}}\]

    \[S=\sqrt{\frac{4\cdot 58\cdot65-98^2}{16}}=18,5\]

Вторым способом, тоже по формуле Герона, но по второй – гораздо проще:

    \[S=\frac{1}{4}\sqrt{4\cdot58\cdot65-(58+65-25)^2}\]

    \[S=\frac{1}{4}\sqrt{15080-9604}=\frac{1}{4}\sqrt{5476}=18,5\]

Через теорему Пифагора:

С одной стороны,

    \[65=h^2+(5-x)^2\]

С другой стороны,

    \[h^2+x^2=58\]

Вычтем уравнения:

    \[7=(5-x)^2-x^2\]

    \[7=25-10x+x^2-x^2\]

    \[10x=18\]

    \[x=1,8\]

Тогда

    \[h^2=58-3,24=54,76\]

    \[h=7,4\]

    \[S=\frac{1}{2}\cdot5\cdot7,4=18,5\]

Ответ: 18,5.

Задача 3. Найти площадь треугольника:

Задача 3.

Здесь мы применим прием “удвоение медианы”. Получим треугольник BCN со сторонами 29, 27, 52. Его площадь равна площади исходного треугольника и может быть найдена по обыкновенной формуле Герона:

К задаче 3

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

    \[S=\sqrt{54(54-27)(54-29)(54-52)}=\sqrt{54\cdot27\cdot25\cdot2}=\sqrt{27\cdot2\cdot27\cdot25\cdot2}=27\cdot5\cdot2=270\]

Ответ: 270

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *