Герон или Пифагор?

Несколько задач, решение которых сочетает в себе и теорему Пифагора, и формулу Герона, и умение увидеть разность квадратов и тем облегчить себе расчет.

Задача 1.

Найти площадь треугольника:

Задача 1

Первый способ: Определим площадь в лоб по формуле Герона . Да, корни, да, ужасные вычисления! Но мы сейчас посмотрим: может, не такие и ужасные?

Площадь будет равна:

Второй способ, по формуле Герона, но формула другая:

Как раз для треугольника, длины сторон которого содержат радикалы.

Подставляем:

Третий способ, по теореме Пифагора:

Задача 1, с помощью теоремы Пифагора

С одной стороны,

С другой стороны,

Вычтем уравнения:

Тогда

Ответ: 8.

Задача 2.

Найти площадь треугольника:

Задача 2

Определим площадь в лоб по формуле Герона:

Площадь будет равна:

Вторым способом, тоже по формуле Герона, но по второй - гораздо проще:

Через теорему Пифагора:

С одной стороны,

С другой стороны,

Вычтем уравнения:

Тогда

Ответ: 18,5.

Задача 3.

 Найти площадь треугольника:

Задача 3.

Здесь мы применим прием "удвоение медианы". Получим треугольник со сторонами 29, 27, 52. Его площадь равна площади исходного треугольника и может быть найдена по обыкновенной формуле Герона:

К задаче 3

Ответ: 270