Геометрия в физике: конспект вебинара – 9

[latexpage]

Серия статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – девятая статья серии. Вторая часть вебинара.

 

Мастер-класс Андрея Коновалова «Геометрия в физике. Современные идеи» Часть 2. «Оптимальный бросок» . Повторим все, что было важного и полезного в первой части вебинара.

Теорема 1. «О медиане в треугольнике скоростей». Докажите, что средняя скорость при равноускоренном движении  является медианой в треугольнике скоростей $\vec{\upsilon}_k=\vec{\upsilon}_0+\vec{g}t$. Перемещение за время $t$ движения задаётся уравнением $\vec{S}=\vec{\upsilon_0} t+\frac{\vec{g}t^2}{2}$.

Теорема 2. «О квадратах скоростей». Докажите, что квадраты конечной скорости и начальной скорости связаны только через разность высот начальной и конечной точки и не зависят от углов $\upsilon_k^2=\upsilon_0^2+2gH$.

Теорема 3. «О площади треугольника скоростей». Докажите, что площадь треугольника скоростей равна половине произведения дальности полета на ускорение свободного падения $S=\frac{1}{2}Lg$.

Теорема 4. «О настильной и навесной траектории». Докажите, что соответствующие половинки треугольников скоростей для настильной и навесной траектории равны.

Используйте признак равенства равновеликих треугольников: «два равновеликих треугольника с равным углом и равной противоположной стороной равны».

Теорема 5. «О максимальной площади». Если задан угол треугольника и противолежащая к этому углу сторона, то максимальная площадь достигается в случае равнобедренного треугольника.

Теорема 6. «О минимальной стороне». Если задана площадь и угол треугольника, то минимально возможная противолежащая к этому углу сторона достигается в случае равнобедренного треугольника.

Задача 1. «Разогревочная». Кот Леопольд, находясь на крыше дома, два раза выстрелил в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями камушками из рогатки. Перед падением на землю скорости камушков были направлены перпендикулярно друг другу. Определите высоту $h$ дома, если известно, что суммарное время полёта камушков $t_0 = 3$ c, а времена их движения отличаются в два раза. С какой скоростью камушки были выпущены из рогатки? (ВсОШ, 2021, Региональный этап, 9 кл)

Решение.

По условию

$$t_1+2t_1=t_0$$

$t_0=3$, следовательно, $t_1=1$ с, $t_2=2$ с.

Рисуем треугольник скоростей и замечаем, что треугольники $ACE$ и $AFG$ абсолютно одинаковы.

Где же в треугольнике скоростей «прячется» высота? С одной стороны, внутри $\upsilon_k$:

$$\upsilon_k^2=\upsilon_0^2+2gH$$

Но скорости $\upsilon_0$ мы не знаем.

С другой стороны, в треугольнике $ADC$

$$DC=\frac{gt_1}{2}=\frac{H}{2t_1}$$

$$H=gt_1^2=10\cdot 1=10$$

Рассмотрим треугольник $AGE$. Он равнобедренный и прямоугольный к тому же. Поэтому в нем медиана является высотой и равна половине гипотенузы. Эта высота будет равна $\frac{3gt_1}{2}$. Половина основания треугольника $AGE$ равна высоте:

$$AD=\frac{3gt_1}{2}$$

Для треугольника $AEH$ составим теорему Пифагора:

$$\upsilon_k^2=AH^2+HE^2$$

$$\upsilon_0^2+2gH=\frac{9g^2t_1^2}{4}+\frac{9g^2t_1^2}{4}=\frac{18g^2t_1^2}{4}$$

$$\upsilon_0^2=\frac{18g^2t_1^2}{4}-2g\cdot gt_1^2=\frac{5}{2} g^2t_1^2$$

$$\upsilon_0=\frac {gt_1 \sqrt{5}}{\sqrt{2}}=15,8$$

Ответ: $H=10$ м, $\upsilon_0=15,8$ м/c.

Задача 2. Небольшую петарду подвесили на нити на высоте $H$ над горизонтальной поверхностью. В результате взрыва она распалась на два осколка, которые полетели в противоположные стороны с одинаковыми начальными скоростями $\upsilon_0$, направленными вдоль одной прямой. Какое наибольшее расстояние $L$ может оказаться между осколками после их падения? С места падения осколки не смещаются. (ВсОШ, 2017, Региональный этап, 9 кл)

Смотри задачу в статье 8 под номером 20. Она не была решена в первой части вебинара и ее перенесли во вторую, я же оставила ее в первой части вебинара.

 

Краткая математическая справка: напомнить/рассказать школьнику о неравенстве Птолемея.

Оно формулируется для четырехугольника.

$$d_1d_2\leqslant a_1a_2+b_1b_2$$

Равенство соблюдается, если четырехугольник можно вписать в окружность.

Краткая математическая справка: напомнить/рассказать школьнику о конических сечениях, фокусе, фокальном параметре, эксцентриситете и директрисе, записать уравнение конических сечений в полярных координатах, сделать акцент на параболе.

Все конические сечения можно описать одной формулой:

$$r=\frac{p}{1+e\cos \varphi}$$

Сейчас разберемся, что означают обозначения, введенные в этой формуле.

Рассмотрим сечение плоскостью, параллельной основанию (1). Получим окружность.

Для окружности любые два радиус-вектора $r$, проведенные из центра под любым углом $\varphi$, равны (эксцентриситет равен нулю):

Получили

$$r=p$$

Радиус-вектор для окружности равен фокальному параметру $p$.

Эллипс. У него есть два фокуса $F$, большая полуось $a$ и малая $b$. Для эллипса эксцентриситет $0<e<1$. Эксцентриситет – степень вытянутости эллипса и рассчитывается как

$$e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$$

Директрисы эллипсa – две прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии $a\cdot e$ от центра эллипса (показана рыжим). Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и до соответствующей директрисы равно эксцентриситету. Директриса на рисунке обозначена $d_1$. Фокальный параметр (т. е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

$$p=\frac{b^2}{a}$${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}

Если сечение проводить параллельно оси конуса, получим параболу. У параболы эксцентриситет равен в точности 1. Значит, для параболы расстояние от любой ее точки до директрисы и до фокуса одинаковое.

$$r=\frac{p}{1+\cos \varphi}$$

Так выглядит формула для параболы.

Наконец, при $e>1$ получим гиперболу. Ее ветви стремятся к образующим, но никогда их не достигают. Знаменатель $1-e\cos \varphi_{kr}$ при $e>1$ может обратиться в ноль.

 

Определение границы досягаемости: геометрическое место точек, до которых можно добросить тело единственно возможным образом, бросая из одной точки всегда с постоянной скоростью (траектории навесная и настильная совпадают).

 

Если точка расположена достаточно недалеко, то добросить до нее тело можно двумя способами – по настильной и навесной траектории. Чем дальше цель от места броска – тем ближе расположены навесная и настильная траектории, и в конце концов они сольются в одну – это и есть граница досягаемости.

Свойства границы досягаемости: координатным (традиционным) способом:

$$y(t)=\upsilon_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}$$

$$x(t)=\upsilon_0\cos\alpha t$$

Выражаем $t$ из второго и подставляем в первое:

$$y(x)=x\operatorname{tg}\alpha -\frac{gx^2}{2\upsilon^2}(\operatorname{tg}^2\alpha+1)$$

При движении тела по настильной траектории время движения $t_1$, по навесной – $t_2$. Причем $t_2>t_1$. Уравнение имело бы два корня. Если траектория приводит к границе досягаемости – корень один. Значит, дискриминант данного уравнения (оно квадратное относительно тангенса) при такой траектории равен нулю.

Получаем при этом условии уравнение границы досягаемости:

$$y(x)=\frac{\upsilon_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2\upsilon_0^2}$$

По этому уравнению невозможно определить время полета, нельзя определить координаты точки досягаемости – координатный метод очень ограничен в своих возможностях.

 

Теорема 7. «Парабола безопасности (максимального удаления)». Докажите с помощью треугольника скоростей, что:

• в точке границы досягаемости скорость $\upsilon_k$ всегда перпендикулярна скорости броска $\upsilon_0$ и является касательной к границе досягаемости;

Доказательство: рисуем треугольник скоростей.

Треугольник $ABC$ равен треугольнику $ADF$:

$BC=AF$, $AC=DF$.

При совпадении траекторий треугольники должны слиться: должно выполняться $AC=AF=BC=DF$.

Значит, медиана $\frac{S}{t}$ равна половине гипотенузы и треугольник скоростей прямоугольный.

 

• скорость $\upsilon_0$ и $\upsilon_k$ всегда направлены по биссектрисе между вертикалью и вектором перемещения, проведенным в точку границы досягаемости;

Кроме того, треугольник $MNK$ равнобедренный, $MK=NK$, и углы при основании у него равны ($\alpha$). Угол $LMN$ тоже равен $\alpha$ как накрестлежащий с углом $MNK$. Иными словами, скорость $\upsilon_0$ направлена по биссектрисе угла между перемещением и вертикалью.

Треугольник $MKT$ тоже равнобедренный, у него углы при основании равны $90^{\circ}-\alpha$. Угол $PMT$ равен углу $MTK$ как накрестлежащий и, следовательно, конечная скорость – тоже биссектриса между вертикалью и перемещением.

• сумма модуля вектора перемещения $S$ и высоты $h$ для любой точки границы досягаемости – величина постоянная и прямо пропорциональна квадрату скорости броска;

Доказательство:

Рисуем треугольник скоростей и достраиваем его до параллелограмма. Так как треугольник скоростей прямоугольный по пункту 1, то вместо параллелограмма имеем прямоугольник, у которого диагонали равны. Конечная скорость и начальная связаны между собой

$$\upsilon_k=\sqrt{\upsilon_0^2-2gh}$$

(минус – потому что бросили на высоту выше уровня броска)

Диагонали прямоугольника равны:

$$ gt=2\frac{S}{t}$$

Составляем теорему Пифагора:

$$\upsilon_0^2+\upsilon_0^2-2gh= gt\cdot 2\frac{S}{t}$$

$$2\upsilon_0^2=2gS+2gh$$

$$\upsilon_0^2=gS+gh$$

$$S+h=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

$S+h$ – постоянная величина. Доказано.

Если бросаем вертикально вверх, то $S=0$, получим $2h=\frac{\upsilon_0^2}{g}$,

$$h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$$

Если $h=0$, то $S=\frac{\upsilon_0^2}{g}$.

• граница досягаемости представляет собой параболоид (определите положение его фокуса, директрисы, величину фокального параметра).

$$h=S\cos \varphi$$

$$S+ S\cos \varphi=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

$$S(1+\cos \varphi)=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

Получили уравнение параболы в полярных координатах, $p$ – фокальный параметр.

$$S=\frac{p}{1+\cos \varphi}=\frac{\frac{\upsilon_0^2}{g}}{1+\cos \varphi }$$

$$p=\frac{\upsilon_0^2}{g}$$

 

Пусть мы бросаем тело. Оно летит по параболе. Если оно достигает параболы безопасности, то траектория тела (парабола) и парабола безопасности коснутся. То есть касательная к параболе безопасности в этой точке совпадает с конечной скоростью.