Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрия в физике: конспект вебинара – 9

Серия статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – девятая статья серии. Вторая часть вебинара.

 

Мастер-класс Андрея Коновалова «Геометрия в физике. Современные идеи» Часть 2. «Оптимальный бросок» . Повторим все, что было важного и полезного в первой части вебинара.

Теорема 1. «О медиане в треугольнике скоростей». Докажите, что средняя скорость при равноускоренном движении  является медианой в треугольнике скоростей \vec{\upsilon}_k=\vec{\upsilon}_0+\vec{g}t. Перемещение за время t движения задаётся уравнением \vec{S}=\vec{\upsilon_0} t+\frac{\vec{g}t^2}{2}.

Теорема 2. «О квадратах скоростей». Докажите, что квадраты конечной скорости и начальной скорости связаны только через разность высот начальной и конечной точки и не зависят от углов \upsilon_k^2=\upsilon_0^2+2gH.

Теорема 3. «О площади треугольника скоростей». Докажите, что площадь треугольника скоростей равна половине произведения дальности полета на ускорение свободного падения S=\frac{1}{2}Lg.

Теорема 4. «О настильной и навесной траектории». Докажите, что соответствующие половинки треугольников скоростей для настильной и навесной траектории равны.

Используйте признак равенства равновеликих треугольников: «два равновеликих треугольника с равным углом и равной противоположной стороной равны».

Теорема 5. «О максимальной площади». Если задан угол треугольника и противолежащая к этому углу сторона, то максимальная площадь достигается в случае равнобедренного треугольника.

Теорема 6. «О минимальной стороне». Если задана площадь и угол треугольника, то минимально возможная противолежащая к этому углу сторона достигается в случае равнобедренного треугольника.

Задача 1. «Разогревочная». Кот Леопольд, находясь на крыше дома, два раза выстрелил в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями камушками из рогатки. Перед падением на землю скорости камушков были направлены перпендикулярно друг другу. Определите высоту h дома, если известно, что суммарное время полёта камушков t_0 = 3 c, а времена их движения отличаются в два раза. С какой скоростью камушки были выпущены из рогатки? (ВсОШ, 2021, Региональный этап, 9 кл)

Решение.

По условию

    \[t_1+2t_1=t_0\]

t_0=3, следовательно, t_1=1 с, t_2=2 с.

Рисуем треугольник скоростей и замечаем, что треугольники ACE и AFG абсолютно одинаковы.

К задаче про Леопольда

Где же в треугольнике скоростей «прячется» высота? С одной стороны, внутри \upsilon_k:

    \[\upsilon_k^2=\upsilon_0^2+2gH\]

Но скорости \upsilon_0 мы не знаем.

С другой стороны, в треугольнике ADC

    \[DC=\frac{gt_1}{2}=\frac{H}{2t_1}\]

    \[H=gt_1^2=10\cdot 1=10\]

Рассмотрим треугольник AGE. Он равнобедренный и прямоугольный к тому же. Поэтому в нем медиана является высотой и равна половине гипотенузы. Эта высота будет равна \frac{3gt_1}{2}. Половина основания треугольника AGE равна высоте:

    \[AD=\frac{3gt_1}{2}\]

Для треугольника AEH составим теорему Пифагора:

    \[\upsilon_k^2=AH^2+HE^2\]

    \[\upsilon_0^2+2gH=\frac{9g^2t_1^2}{4}+\frac{9g^2t_1^2}{4}=\frac{18g^2t_1^2}{4}\]

    \[\upsilon_0^2=\frac{18g^2t_1^2}{4}-2g\cdot gt_1^2=\frac{5}{2} g^2t_1^2\]

    \[\upsilon_0=\frac {gt_1 \sqrt{5}}{\sqrt{2}}=15,8\]

Ответ: H=10 м, \upsilon_0=15,8 м/c.

Задача 2. Небольшую петарду подвесили на нити на высоте H над горизонтальной поверхностью. В результате взрыва она распалась на два осколка, которые полетели в противоположные стороны с одинаковыми начальными скоростями \upsilon_0, направленными вдоль одной прямой. Какое наибольшее расстояние L может оказаться между осколками после их падения? С места падения осколки не смещаются. (ВсОШ, 2017, Региональный этап, 9 кл)

Смотри задачу в статье 8 под номером 20. Она не была решена в первой части вебинара и ее перенесли во вторую, я же оставила ее в первой части вебинара.

 

Краткая математическая справка: напомнить/рассказать школьнику о неравенстве Птолемея.

Оно формулируется для четырехугольника.

О неравенстве Птолемея

    \[d_1d_2\leqslant a_1a_2+b_1b_2\]

Равенство соблюдается, если четырехугольник можно вписать в окружность.

Краткая математическая справка: напомнить/рассказать школьнику о конических сечениях, фокусе, фокальном параметре, эксцентриситете и директрисе, записать уравнение конических сечений в полярных координатах, сделать акцент на параболе.

Все конические сечения можно описать одной формулой:

    \[r=\frac{p}{1+e\cos \varphi}\]

Сейчас разберемся, что означают обозначения, введенные в этой формуле.

Рассмотрим сечение плоскостью, параллельной основанию (1). Получим окружность.

Конические сечения

Для окружности любые два радиус-вектора r, проведенные из центра под любым углом \varphi, равны (эксцентриситет равен нулю):

Радиусы окружности равны, эксцентриситет равен нулю.

Получили

    \[r=p\]

Радиус-вектор для окружности равен фокальному параметру p.

Эллипс. У него есть два фокуса F, большая полуось a и малая b. Для эллипса эксцентриситет 0<e<1. Эксцентриситет – степень вытянутости эллипса и рассчитывается как

    \[e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\]

Эллипс и его директриса

Директрисы эллипсa – две прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии a\cdot e от центра эллипса (показана рыжим). Отношение расстояний от любой точки эллипса до фокуса и до соответствующей директрисы равно эксцентриситету. Директриса на рисунке обозначена d_1. Фокальный параметр (т. е. половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен

    \[p=\frac{b^2}{a}\]

{\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}

Если сечение проводить параллельно оси конуса, получим параболу. У параболы эксцентриситет равен в точности 1. Значит, для параболы расстояние от любой ее точки до директрисы и до фокуса одинаковое.

Директриса и фокус параболы

    \[r=\frac{p}{1+\cos \varphi}\]

Так выглядит формула для параболы.

Наконец, при e>1 получим гиперболу. Ее ветви стремятся к образующим, но никогда их не достигают. Знаменатель 1-e\cos \varphi_{kr} при e>1 может обратиться в ноль.

Гипербола

 

Определение границы досягаемости: геометрическое место точек, до которых можно добросить тело единственно возможным образом, бросая из одной точки всегда с постоянной скоростью (траектории навесная и настильная совпадают).

 

Если точка расположена достаточно недалеко, то добросить до нее тело можно двумя способами – по настильной и навесной траектории. Чем дальше цель от места броска – тем ближе расположены навесная и настильная траектории, и в конце концов они сольются в одну – это и есть граница досягаемости.

Свойства границы досягаемости: координатным (традиционным) способом:

    \[y(t)=\upsilon_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}\]

    \[x(t)=\upsilon_0\cos\alpha t\]

Выражаем t из второго и подставляем в первое:

    \[y(x)=x\operatorname{tg}\alpha -\frac{gx^2}{2\upsilon^2}(\operatorname{tg}^2\alpha+1)\]

При движении тела по настильной траектории время движения t_1, по навесной – t_2. Причем t_2>t_1. Уравнение имело бы два корня. Если траектория приводит к границе досягаемости – корень один. Значит, дискриминант данного уравнения (оно квадратное относительно тангенса) при такой траектории равен нулю.

Получаем при этом условии уравнение границы досягаемости:

    \[y(x)=\frac{\upsilon_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2\upsilon_0^2}\]

По этому уравнению невозможно определить время полета, нельзя определить координаты точки досягаемости – координатный метод очень ограничен в своих возможностях.

 

Теорема 7. «Парабола безопасности (максимального удаления)». Докажите с помощью треугольника скоростей, что:

  • в точке границы досягаемости скорость \upsilon_k всегда перпендикулярна скорости броска \upsilon_0 и является касательной к границе досягаемости;

Доказательство: рисуем треугольник скоростей.

К теореме 7

Треугольник ABC равен треугольнику ADF:

BC=AF, AC=DF.

При совпадении траекторий треугольники должны слиться: должно выполняться AC=AF=BC=DF.

Значит, медиана \frac{S}{t} равна половине гипотенузы и треугольник скоростей прямоугольный.

 

  • скорость \upsilon_0 и \upsilon_k всегда направлены по биссектрисе между вертикалью и вектором перемещения, проведенным в точку границы досягаемости;

Кроме того, треугольник MNK равнобедренный, MK=NK, и углы при основании у него равны (\alpha). Угол LMN тоже равен \alpha как накрестлежащий с углом MNK. Иными словами, скорость \upsilon_0 направлена по биссектрисе угла между перемещением и вертикалью.

Начальная и конечная скорости направлены по биссектрисам углов между вертикалью и перемещением

Треугольник MKT тоже равнобедренный, у него углы при основании равны 90^{\circ}-\alpha. Угол PMT равен углу MTK как накрестлежащий и, следовательно, конечная скорость – тоже биссектриса между вертикалью и перемещением.

  • сумма модуля вектора перемещения S и высоты h для любой точки границы досягаемости – величина постоянная и прямо пропорциональна квадрату скорости броска;

Доказательство:

Треугольник скоростей

Рисуем треугольник скоростей и достраиваем его до параллелограмма. Так как треугольник скоростей прямоугольный по пункту 1, то вместо параллелограмма имеем прямоугольник, у которого диагонали равны. Конечная скорость и начальная связаны между собой

    \[\upsilon_k=\sqrt{\upsilon_0^2-2gh}\]

(минус – потому что бросили на высоту выше уровня броска)

Диагонали прямоугольника равны:

    \[gt=2\frac{S}{t}\]

Составляем теорему Пифагора:

    \[\upsilon_0^2+\upsilon_0^2-2gh= gt\cdot 2\frac{S}{t}\]

    \[2\upsilon_0^2=2gS+2gh\]

    \[\upsilon_0^2=gS+gh\]

    \[S+h=\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

S+h – постоянная величина. Доказано.

Если бросаем вертикально вверх, то S=0, получим 2h=\frac{\upsilon_0^2}{g},

    \[h=\frac{\upsilon_0^2}{2g}\]

Если h=0, то S=\frac{\upsilon_0^2}{g}.

  • граница досягаемости представляет собой параболоид (определите положение его фокуса, директрисы, величину фокального параметра).

    \[h=S\cos \varphi\]

    \[S+ S\cos \varphi=\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

    \[S(1+\cos \varphi)=\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

Получили уравнение параболы в полярных координатах, p – фокальный параметр.

    \[S=\frac{p}{1+\cos \varphi}=\frac{\frac{\upsilon_0^2}{g}}{1+\cos \varphi }\]

    \[p=\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

 

Фокус, директриса, фокальный параметр параболы безопасности

Пусть мы бросаем тело. Оно летит по параболе. Если оно достигает параболы безопасности, то траектория тела (парабола) и парабола безопасности коснутся. То есть касательная к параболе безопасности в этой точке совпадает с конечной скоростью.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *