Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрия в физике: конспект вебинара – 8

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – восьмая статья серии.

Задача 20. Небольшую петарду подвесили на нити на высоте H над горизонтальной поверхностью. В результате взрыва она распалась на два осколка, которые полетели в противоположные стороны с одинаковыми начальными скоростями \upsilon_0, направленными вдоль одной прямой. Какое наибольшее расстояние L может оказаться между осколками после их падения? С места падения осколки не смещаются. (ВсОШ, 2017, Региональный этап, 9 кл)

Рисунок к задаче 20

Решение. Нарисуем треугольники скоростей. Начальные скорости равны, значит, и конечные тоже. Следовательно, концы векторов начальных скоростей лежат на одной окружности, и концы векторов конечных скоростей лежат на окружности (большей). Как мы помним, площадь треугольника скоростей  – это половина произведения дальности полета на ускорение g. Чтобы расстояние между осколками было максимальным, необходимо, чтобы сумма площадей треугольников скоростей была бы максимальной.

Площади закрашенных треугольников равны, поэтому площадь FBD и площадь BCE одинаковы. Следовательно, нужно стараться увеличить площадь треугольника BCE. А нам известно, что она максимальна, если треугольник равнобедренный.

Известна высота и скорость, с которой бросили – скорость \upsilon_k однозначно определена:

    \[\upsilon_k=\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}\]

Это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника BCE, значит, его катет в \sqrt{2} раз меньше.

    \[CE=\frac{\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}}{\sqrt{2}}\]

Площадь треугольника равна полупроизведению его катетов, поэтому

    \[\frac{1}{2}L'g=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}}{\sqrt{2}}\right)^2\]

    \[L'g=\frac{\upsilon_0^2+2gH }{2}\]

А площадь двух треугольников вдвое больше, L_1+L_2=2L'

    \[(L_1+L_2)g=\upsilon_0^2+2gH\]

    \[L_1+L_2=\frac{\upsilon_0^2}{g}+2H\]

Мы рассмотрели случай, когда \upsilon_{min}<\upsilon_0. А если \upsilon_{min}=\upsilon_0, то

    \[\frac{1}{2}L'g=\frac{1}{2}\upsilon_0\sqrt{2gH}\]

    \[L'g=\upsilon_0\sqrt{2gH}\]

Площадь двух треугольников вдвое больше, L_1+L_2=2L'

    \[(L_1+L_2)g=2\upsilon_0\sqrt{2gH}\]

    \[L_1+L_2=\frac{\upsilon_0 \sqrt{8gH}}{g}\]

Ответ: когда \upsilon_{min}<\upsilon_0L_1+L_2=\frac{\upsilon_0^2}{g}+2H, если же \upsilon_{min}=\upsilon_0, то

L_1+L_2=\frac{\upsilon_0 \sqrt{8gH}}{g}

 

Задача 21. Склон горы составляет угол \alpha с горизонтом. На какое максимальное расстояние вниз вдоль склона можно забросить камень, если его начальная скорость равна \upsilon_0?

Решение. Снова рисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 21

Чтобы дальность полета была бы максимальной, площадь треугольника скоростей должна быть наибольшей. Или половина площади треугольника скоростей должна быть наибольшей. Вектор \frac{S}{t} – как раз медиана треугольника скоростей и делит его на два равновеликих. Таким образом, чтобы площадь закрашенного треугольника была бы максимальной – нужно, чтобы он был равнобедренным. Тогда

    \[\frac{S}{t}=\frac{gt}{2}\]

 

А когда медиана треугольника равна половине его гипотенузе? Когда треугольник прямоугольный! Значит, два оставшихся угла в закрашенном треугольнике равны 45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}. Теперь можно записать площадь этого треугольника через формулу

    \[S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2\sin \beta\sin \gamma}{\sin \alpha}\]

Делаем:

    \[\frac{1}{2}\cdot \frac{\upsilon_0^2\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\sin (90^{\circ}-\alpha)}=\frac{1}{2}Lg\]

 

    \[\frac{\upsilon_0^2\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\cos \alpha}=S\cos \alpha g\]

    \[S_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{g}\cdot \frac{\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\cos^2 \alpha }\]

Ответ правильный, но некрасивый. Воспользуемся фактом, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Так как диагонали равны (одна – слева, другая – справа)

    \[\frac{2S}{t}=gt\]

То их произведение \frac{2S}{t}\cdot gt=2Sg

Это квадрат одной диагонали. Сумма квадратов диагоналей – 4Sg.

Теперь определим сумму квадратов сторон параллелограмма. Одна из них \upsilon_0, вторая – \upsilon_k:

 

Конечная и начальная скорости связаны

    \[\upsilon_k^2=\upsilon_0^2+2gH\]

Но H=S\sin \alpha,

    \[\upsilon_k^2=\upsilon_0^2+2g S\sin \alpha\]

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон:

    \[4gS=2\upsilon_0^2+2(\upsilon_0^2+2g S\sin \alpha)\]

    \[4gS=4\upsilon_0^2+4g S\sin \alpha\]

    \[gS=\upsilon_0^2+g S\sin \alpha\]

    \[\upsilon^2=Sg(1-\sin \alpha)\]

    \[S=\frac{\upsilon^2}{ g(1-\sin \alpha)}\]

Ответ: S=\frac{\upsilon^2}{ g(1-\sin \alpha)}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *