[latexpage]
Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – восьмая статья серии.
Задача 20. Небольшую петарду подвесили на нити на высоте $H$ над горизонтальной поверхностью. В результате взрыва она распалась на два осколка, которые полетели в противоположные стороны с одинаковыми начальными скоростями $\upsilon_0$, направленными вдоль одной прямой. Какое наибольшее расстояние $L$ может оказаться между осколками после их падения? С места падения осколки не смещаются. (ВсОШ, 2017, Региональный этап, 9 кл)

Рисунок к задаче 20
Решение. Нарисуем треугольники скоростей. Начальные скорости равны, значит, и конечные тоже. Следовательно, концы векторов начальных скоростей лежат на одной окружности, и концы векторов конечных скоростей лежат на окружности (большей). Как мы помним, площадь треугольника скоростей – это половина произведения дальности полета на ускорение $g$. Чтобы расстояние между осколками было максимальным, необходимо, чтобы сумма площадей треугольников скоростей была бы максимальной.
Площади закрашенных треугольников равны, поэтому площадь $FBD$ и площадь $BCE$ одинаковы. Следовательно, нужно стараться увеличить площадь треугольника $BCE$. А нам известно, что она максимальна, если треугольник равнобедренный.
Известна высота и скорость, с которой бросили – скорость $\upsilon_k$ однозначно определена:
$$\upsilon_k=\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}$$
Это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $BCE$, значит, его катет в $\sqrt{2}$ раз меньше.
$$CE=\frac{\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}}{\sqrt{2}}$$
Площадь треугольника равна полупроизведению его катетов, поэтому
$$\frac{1}{2}L’g=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}}{\sqrt{2}}\right)^2$$
$$L’g=\frac{\upsilon_0^2+2gH }{2}$$
А площадь двух треугольников вдвое больше, $L_1+L_2=2L’$
$$ (L_1+L_2)g=\upsilon_0^2+2gH$$
$$ L_1+L_2=\frac{\upsilon_0^2}{g}+2H$$
Мы рассмотрели случай, когда $\upsilon_{min}<\upsilon_0$. А если $\upsilon_{min}=\upsilon_0$, то
$$\frac{1}{2}L’g=\frac{1}{2}\upsilon_0\sqrt{2gH}$$
$$ L’g=\upsilon_0\sqrt{2gH}$$
Площадь двух треугольников вдвое больше, $L_1+L_2=2L’$
$$ (L_1+L_2)g=2\upsilon_0\sqrt{2gH}$$
$$ L_1+L_2=\frac{\upsilon_0 \sqrt{8gH}}{g}$$
Ответ: когда $\upsilon_{min}<\upsilon_0$ – $ L_1+L_2=\frac{\upsilon_0^2}{g}+2H$, если же $\upsilon_{min}=\upsilon_0$, то
$L_1+L_2=\frac{\upsilon_0 \sqrt{8gH}}{g}$
Задача 21. Склон горы составляет угол $\alpha$ с горизонтом. На какое максимальное расстояние вниз вдоль склона можно забросить камень, если его начальная скорость равна $\upsilon_0$?
Решение. Снова рисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 21
Чтобы дальность полета была бы максимальной, площадь треугольника скоростей должна быть наибольшей. Или половина площади треугольника скоростей должна быть наибольшей. Вектор $\frac{S}{t}$ – как раз медиана треугольника скоростей и делит его на два равновеликих. Таким образом, чтобы площадь закрашенного треугольника была бы максимальной – нужно, чтобы он был равнобедренным. Тогда
$$\frac{S}{t}=\frac{gt}{2}$$
А когда медиана треугольника равна половине его гипотенузе? Когда треугольник прямоугольный! Значит, два оставшихся угла в закрашенном треугольнике равны $45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$. Теперь можно записать площадь этого треугольника через формулу
$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2\sin \beta\sin \gamma}{\sin \alpha}$$
Делаем:
$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\upsilon_0^2\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\sin (90^{\circ}-\alpha)}=\frac{1}{2}Lg$$
$$\frac{\upsilon_0^2\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\cos \alpha}=S\cos \alpha g$$
$$S_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{g}\cdot \frac{\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\cos^2 \alpha }$$
Ответ правильный, но некрасивый. Воспользуемся фактом, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Так как диагонали равны (одна – слева, другая – справа)
$$\frac{2S}{t}=gt $$
То их произведение $\frac{2S}{t}\cdot gt=2Sg$
Это квадрат одной диагонали. Сумма квадратов диагоналей – $4Sg$.
Теперь определим сумму квадратов сторон параллелограмма. Одна из них $\upsilon_0$, вторая – $\upsilon_k$:
Конечная и начальная скорости связаны
$$\upsilon_k^2=\upsilon_0^2+2gH$$
Но $H=S\sin \alpha$,
$$\upsilon_k^2=\upsilon_0^2+2g S\sin \alpha $$
Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон:
$$4gS=2\upsilon_0^2+2(\upsilon_0^2+2g S\sin \alpha)$$
$$4gS=4\upsilon_0^2+4g S\sin \alpha$$
$$ gS=\upsilon_0^2+g S\sin \alpha$$
$$\upsilon^2=Sg(1-\sin \alpha)$$
$$S=\frac{\upsilon^2}{ g(1-\sin \alpha)}$$
Ответ: $S=\frac{\upsilon^2}{ g(1-\sin \alpha)}$.
Комментариев - 2
Зад.21 Ну и ну
V^2 = g(H+R) =g(R*sin(a)+R)
R =V^2/R*(sin(a)+1) Всё!
(R искомая хорда параболы)
Дополнительно К зад. 21
Я показал верх , а вниз (1- sin(a)) в знаменателе
т.е (R- H)
извиняюсь!