Геометрия в физике: конспект вебинара

Геометрия в физике: конспект вебинара – 8

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – восьмая статья серии.

Задача 20. Небольшую петарду подвесили на нити на высоте $H$ над горизонтальной поверхностью. В результате взрыва она распалась на два осколка, которые полетели в противоположные стороны с одинаковыми начальными скоростями $\upsilon_0$ , направленными вдоль одной прямой. Какое наибольшее расстояние $L$ может оказаться между осколками после их падения? С места падения осколки не смещаются. (ВсОШ, 2017, Региональный этап, 9 кл)

Рисунок к задаче 20

Решение. Нарисуем треугольники скоростей. Начальные скорости равны, значит, и конечные тоже. Следовательно, концы векторов начальных скоростей лежат на одной окружности, и концы векторов конечных скоростей лежат на окружности (большей). Как мы помним, площадь треугольника скоростей – это половина произведения дальности полета на ускорение $g$ . Чтобы расстояние между осколками было максимальным, необходимо, чтобы сумма площадей треугольников скоростей была бы максимальной.

коновалов1_59

Площади закрашенных треугольников равны, поэтому площадь $FBD$ и площадь $BCE$ одинаковы. Следовательно, нужно стараться увеличить площадь треугольника $BCE$ . А нам известно, что она максимальна, если треугольник равнобедренный.

Известна высота и скорость, с которой бросили – скорость $\upsilon_k$ однозначно определена:

$\upsilon_k=\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}$

Это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $BCE$ , значит, его катет в $\sqrt{2}$ раз меньше.

$CE=\frac{\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}}{\sqrt{2}}$

Площадь треугольника равна полупроизведению его катетов, поэтому

$\frac{1}{2}L'g=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{\upsilon_0^2+2gH}}{\sqrt{2}}\right)^2$

$L'g=\frac{\upsilon_0^2+2gH }{2}$

А площадь двух треугольников вдвое больше, $L_1+L_2=2L'$

$(L_1+L_2)g=\upsilon_0^2+2gH$

$L_1+L_2=\frac{\upsilon_0^2}{g}+2H$

Мы рассмотрели случай, когда $\upsilon_{min}<\upsilon_0$ . А если $\upsilon_{min}=\upsilon_0$ , то

$\frac{1}{2}L'g=\frac{1}{2}\upsilon_0\sqrt{2gH}$

$L'g=\upsilon_0\sqrt{2gH}$

Площадь двух треугольников вдвое больше, $L_1+L_2=2L'$

$(L_1+L_2)g=2\upsilon_0\sqrt{2gH}$

$L_1+L_2=\frac{\upsilon_0 \sqrt{8gH}}{g}$

Ответ: когда $\upsilon_{min}<\upsilon_0$ – $L_1+L_2=\frac{\upsilon_0^2}{g}+2H$ , если же $\upsilon_{min}=\upsilon_0$ , то

$L_1+L_2=\frac{\upsilon_0 \sqrt{8gH}}{g}$

Задача 21. Склон горы составляет угол $\alpha$ с горизонтом. На какое максимальное расстояние вниз вдоль склона можно забросить камень, если его начальная скорость равна $\upsilon_0$ ?

Решение. Снова рисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 21

Чтобы дальность полета была бы максимальной, площадь треугольника скоростей должна быть наибольшей. Или половина площади треугольника скоростей должна быть наибольшей. Вектор $\frac{S}{t}$ – как раз медиана треугольника скоростей и делит его на два равновеликих. Таким образом, чтобы площадь закрашенного треугольника была бы максимальной – нужно, чтобы он был равнобедренным. Тогда

$\frac{S}{t}=\frac{gt}{2}$

А когда медиана треугольника равна половине его гипотенузе? Когда треугольник прямоугольный! Значит, два оставшихся угла в закрашенном треугольнике равны $45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$ . Теперь можно записать площадь этого треугольника через формулу

$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2\sin \beta\sin \gamma}{\sin \alpha}$

Делаем:

$\frac{1}{2}\cdot \frac{\upsilon_0^2\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\sin (90^{\circ}-\alpha)}=\frac{1}{2}Lg$

$\frac{\upsilon_0^2\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\cos \alpha}=S\cos \alpha g$

$S_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{g}\cdot \frac{\sin^2 (45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})}{\cos^2 \alpha }$

Ответ правильный, но некрасивый. Воспользуемся фактом, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Так как диагонали равны (одна – слева, другая – справа)

$\frac{2S}{t}=gt$