Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрия в физике: конспект вебинара – 7

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – седьмая статья серии.

Задача 18. Кот Леопольд сидел на самом краю крыши сарая. Два озорных мышонка решили выстрелить в него из рогатки, но кот заметил их и решил отстреливаться. Камни из рогаток мышат и кота вылетели одновременно и столкнулись в середине отрезка AB (см. рисунок). Найдите высоту H сарая и отношение пути, пройденного камнем кота Леопольда, к пути, пройденному камнем мышат, если известно, что \varphi = 30^{\circ}, скорость камня, вылетевшего из рогатки мышат, \upsilon_0 = 7 м/с, а кот выстрелил горизонтально. (ВcОШ, 2002, финал, 10 кл)

Решения этой задачи на вебинаре не было, я ее решила и представляю свое решение.

К задаче 18

Решение. Встреча камней посередине отрезка AB означает, что, во-первых, горизонтальное перемещение обоих камней одинаково, во-вторых, что каждый из камней пролетел \frac{H}{2} по высоте. Но это же означает, что перемещения камней одинаковы! А еще это означает, что время полета камней одно и то же.

Броски кота и мышат

Нарисуем два треугольника скоростей  – для броска кота и мышат.

Треугольники скоростей мышат (слева) и кота (справа)

Кот бросил камень горизонтально, пусть со скоростью \upsilon_1, конечная скорость его камня равна \upsilon_k. Вектор \frac{S}{t} – медиана треугольника скоростей и направлен под углом 30^{\circ} к горизонту – по той причине, что камни встретились посередине отрезка AB и перемещение как раз и равно его половине.

Мышата бросают с известной скоростью, но под неизвестным углом. Конечная скорость их камня равна \upsilon_m. А вектор \frac{S}{t} – медиана треугольника скоростей и направлен под углом 30^{\circ} к горизонту. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Они равны по катету и гипотенузе.

Треугольники скоростей кота и мышат подробнее

А это значит, что катет BC равен \frac{gt}{2}! То есть на самом деле конечная скорость камня мышат горизонтальна! Перерисовываем треугольники скоростей, и заодно совместим их для наглядности:

Уточненные треугольники скоростей

Получили параллелограмм. Это означает, что скорость \upsilon_1=\upsilon_m. Начальная скорость броска кота равна конечной скорости броска мышей – параболы идентичны. Следовательно, пути, пройденные камнями, равны. Теперь определим высоту крыши.

Треугольник DEF прямоугольный с углом 30^{\circ}. Поэтому DF=\frac{1}{2}FE, и это значит

    \[\frac{gt}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{S}{t}\]

    \[S=gt^2\]

Тогда

    \[\frac{S}{t}=gt\]

Для треугольника AFD, угол F которого равен 120^{\circ}, составим теорему косинусов:

    \[\upsilon_0^2=g^2t^2+\frac{g^2t^2}{4}-2gt\cdot \frac{gt}{2}\cdot \cos 120^{\circ}\]

    \[\upsilon_0^2=g^2t^2\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\]

Получим

    \[\upsilon_0^2=g^2t^2\frac{7}{4}\]

Так как

    \[gt=\sqrt{2g\cdot \frac{H_{max}}{2}}=\sqrt{gH_{max}}\]

(так как каждый камень пролетел лишь половину высоты), то

    \[g^2t^2=gH_{max}\]

    \[gt^2=H_{max}=\frac{4\upsilon_0^2}{7g}\]

Ответ: H_{max}=\frac{4\upsilon_0^2}{7g}, пути равны.

Задача 19. «Классическая задача о максимальной дальности полета». При осаде древней крепости осаждённые вели стрельбу по наступающему противнику с помощью катапульт из-за крепостной стены высотой h = 20,4 м. Начальная скорость снарядов \upsilon_0= 25 м/с. На каком максимальном расстоянии L_{max} от стены находились цели, которых могли достигать снаряды катапульт? (ВсОШ, 2004, финал, 9кл)

Решение.

Стрелять надо так, чтобы траектория касалась стенки. Если траектория стены не касается, то можно подвинуть ее вправо до касания со стенкой – снаряд улетит дальше. Начальная скорость снаряда и скорость в точке касания траектории и стены связаны между собой. Как – смотри рисунок.

Связь между начальной скоростью и скоростью на уровне стенки

Поэтому задачу мы переформулируем: насколько далеко можно выстрелить с высоты h со скоростью \sqrt{\upsilon_0^2-2gh}? Скорость в конце полета, естественно, будет равна \upsilon_0. Рисуем треугольник скоростей:

Треугольник скоростей в задаче 19

Площадь треугольника скоростей равна S=\frac{1}{2}Lg, а с другой стороны – S=\frac{1}{2}\upsilon_0\cdot \sqrt{\upsilon_0^2-2gh } \sin\varphi

Приравниваем:

    \[\frac{1}{2}Lg=\frac{1}{2}\upsilon_0\cdot \sqrt{\upsilon_0^2-2gh } \sin\varphi\]

Площадь максимальна, если \sin\varphi=1. Тогда

    \[\frac{1}{2}L_{max}g=\frac{1}{2}\upsilon_0\cdot \sqrt{\upsilon_0^2-2gh }\]

    \[L_{max}=\frac{\upsilon_0}{g}\sqrt{\upsilon_0^2-2gh }\]

 

 

Теорема 5. «О максимальной площади». Если задан угол треугольника и противолежащая к этому углу сторона, то максимальная площадь достигается в случае равнобедренного треугольника.

Доказательство. Изобразим окружность и хорду в ней.

К теореме 5

И пару треугольников, основанием которых служит данная хорда. Понятно, что чем больше высота треугольника – тем больше его площадь. А высота максимальна, когда она совпадает с серединным перпендикуляром и проходит через центр окружности. А так как высота является медианой, то треугольник равнобедренный. Доказано.

 

Теорема 6. «О минимальной стороне». Если задана площадь и угол треугольника, то минимально возможная противолежащая к этому углу сторона достигается в случае равнобедренного треугольника.

Доказательство. Докажем теорему от противного. Пусть есть треугольник ABC, не являющийся равнобедренным. Его площадь равна S. Но, так как он неравнобедренный, то существует равнобедренный треугольник с этим же основанием и большей площадью S_1, S_1>S.

К теореме 6

Чтобы уравнять S_1 и S, можно приподнять основание равнобедренного треугольника (показала красным). Но из подобия следует, что новое (красное) основание меньше a_{min} – получили противоречие. Теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *