Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрия в физике: конспект вебинара – 6

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – шестая статья серии.

Теорема 4 «О равенстве равновеликих треугольников. Докажите, что два равновеликих треугольника с равным углом и равной противоположной стороной равны.

Доказательство.

Так как у треугольников одна и та же площадь и одно и то же основание, то у них и одна и та же высота.

К теореме 4

Совместим основания. Один и тот же угол опирается на основание a – получившийся четырехугольник ABCD – вписанный.

Опишем окружность в теореме 4

Угол CBD равен углу CAD – вписанные, опирающиеся на одну дугу. А так как BC \parallel AD, то угол CAD равен ACB как накрест лежащие. В свою очередь углы ACB и ADB равны (вписанные), и таким образом треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Доказано.

Задача 15. Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под углами \alpha и \beta к горизонту с одинаковой начальной скоростью \upsilon_0. На каком расстоянии по горизонтали струи пересекутся?

К задаче 15

Решение.

У капель одинаковое перемещение. Рисуем треугольник скоростей для первой капельки – его верхнюю половину. И верхнюю половину треугольника скоростей для второй капельки. Обозначим все углы.

Треугольники скоростей в задаче 15

 

Треугольники ABC и AED равновелики (перемещение капельки одно и то же в обоих случаях). По теореме, доказанной ранее, эти треугольники имеют одинаковую сторону и угол против нее, и, будучи равновеликими, равны.

    \[S=\frac{1}{4}Lg=\frac{1}{2}\upsilon_0^2\frac{\cos \alpha \cos \beta}{\sin(\alpha+\beta)}\]

Эту формулу мы вывели в статье 4 (см. отступление-напоминание из статьи 4).

Откуда

    \[L=\frac{2\upsilon_0^2\cos \alpha \cos \beta }{g\sin(\alpha+\beta)}\]

Ответ: L=\frac{2\upsilon_0^2\cos \alpha \cos \beta }{g\sin(\alpha+\beta)}

Задача 16. Кот Леопольд стоял у края крыши сарая. Два злобных мышонка выстрелили в него из рогатки. Однако камень, описав дугу, через t_1 = 1,2 с упруго отразился от наклонного ската крыши сарая у самых лап кота и через t_2 = 1,0 с попал в лапу стрелявшего мышонка (см. рисунок). На каком расстоянии S от мышей находился кот Леопольд? (ВсОШ, 2000, финал, 9кл)

Решение: рисуем треугольник скоростей  для броска мышей:

Бросок мышей

И треугольник скоростей для отскока камня. Так как удар упругий – то начальной скоростью камня в этом случае будет \upsilon_k, а конечной скоростью камня будет  \upsilon_0.

Отскок камня

Половинки треугольников скоростей

Рассмотрим треугольники MNK и TRC. Их площади одинаковы, так как перемещение одно и то же. Угол MKN равен углу TRC, стороны MN и TC равны. То есть по доказанной ранее теореме 4 треугольники равны.

    \[\frac{gt_1}{2}=\frac{S}{t_2}\]

    \[S=\frac{gt_1t_2}{2}\]

Ответ: S=\frac{gt_1t_2}{2}.

Задача 17. Из точки А склона с одинаковыми по модулю скоростями бросают два камня строго вдоль склона, камни приземляются в точку В. Чему равна скорость камней в точке В, если время полета одного камня t_1, а второго — t_2. Угол наклона склона относительно горизонта равен \alpha.

К задаче 17

Решение. Рисуем треугольники скоростей для обоих камней, наложим их друг на друга.

Треугольники скоростей из задачи 17

Площадь всего треугольника скоростей равна \frac{1}{2}Lg, площадь половины – \frac{1}{4}Lg. Площади треугольников ABC и ADE равны. Также фиолетовой дугой показаны равные углы. Также в этих треугольниках против равных углов лежат равные стороны – поэтому треугольники равны. А значит, т.к.

    \[\frac{gt_1}{2}\neq \frac{gt_2}{2}\]

То

    \[\frac{S}{t_1}=\frac{gt_2}{2}\]

Составим теорему косинусов для треугольника ADE:

    \[\upsilon_k=\frac{g}{2}\sqrt{t_2^2+t_1^2-2t_1t_2\sin \alpha}\]

Ответ: \upsilon_k=\frac{g}{2}\sqrt{t_2^2+t_1^2-2t_1t_2\sin \alpha}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *