Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрия в физике: конспект вебинара – 5

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – пятая статья серии.

Задача 12. Камень бросают под углом \alpha к горизонту с вершины горы, склон которой образует угол \beta с горизонтом. С какой скоростью \upsilon_0 нужно бросить камень, чтобы он упал на склон горы на расстоянии S от вершины?

Решение. Можно решить и координатным способом: дан угол, известно расстояние. Но через треугольник скоростей будет быстрее. Рисуем его:

К задаче 12

Медиана этого треугольника – перемещение, деленное на время. Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол B в нем равен 90^{\circ}-\alpha. В треугольнике ACD, тоже прямоугольном, угол D равен 90^{\circ}-\beta.

Запишем площадь треугольника ABD – это половина треугольника скоростей (по площади), так как AD – медиана треугольника скоростей. С одной стороны, это \frac{1}{4}Lg=\frac{1}{4}S\cos \beta g, с другой (см. отступление-напоминание из статьи 4),

    \[S_{ABD}=\frac{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin (90^{\circ}-\alpha)\sin (\alpha+\beta)}{\sin(90^{\circ}-\beta)}\]

    \[S_{ABD}=\frac{\frac{1}{2}\upsilon_0^2\cos\alpha\sin (\alpha+\beta)}{\cos \beta}\]

    \[\upsilon_0^2=\frac{2S g\cos^2 \beta }{\cos\alpha\sin (\alpha+\beta)}\]

    \[\upsilon_0=\sqrt{\frac{2S g\cos^2 \beta }{\cos\alpha\sin (\alpha+\beta)}}\]

Ответ: \upsilon_0=\sqrt{\frac{2S g\cos^2 \beta }{\cos\alpha\sin (\alpha+\beta)}}.

Задача 13. Пушка установлена на плоском склоне горы, образующем угол \alpha= 30^{\circ} с горизонтом. При выстреле «вверх» по склону снаряд падает на склон на расстоянии S_1 = 700 м от места выстрела. В момент падения скорость снаряда перпендикулярна поверхности склона. Пушку разворачивают на 180^{\circ} и производят второй выстрел «вниз» по склону. Затем пушку перемещают на горизонтальную поверхность и производят третий выстрел. Угол наклона ствола к поверхности, с которой стреляют, при всех выстрелах одинаков. 1. На каком расстоянии S_2 от места второго выстрела снаряд упадет на склон? 2. Найдите дальность L стрельбы при третьем выстреле. («Физтех», 2019, 10)

Решение. Так как S_1 задано, а L=S_1\cos \alpha, то площадь правого треугольника скоростей известна: \frac{1}{2}S_1\cos \alpha g.

Площадь треугольника ABC равна площади треугольника ACG (т.к. AC – медиана). Пусть площадь ABC равна x, тогда и площадь ACG – тоже x.

К задаче 13 – рисунок 1

Удвоим медиану. Получим параллелограмм ABKG, площади треугольников S_{CBL}=S_{CLG}=x. Отмечаем известные нам углы на рисунке: например, углы 90^{\circ}-\alpha (синей дугой). Перпендикуляры DM, AN, BL равны.

Следовательно, треугольники EDM и CBL равны по катету и острому углу. Тогда BC=DE, а это означает, что время падения в первом случае равно времени падения во  втором.

К задаче 13 – рисунок 2

Треугольники ADM и ABL равны по катету и гипотенузе, поэтому площадь треугольника ADM равна 2x, а площадь треугольника EDMx.

    \[S_{ABL}=2x=\frac{1}{2}S_1\cos \alpha g\]

Тогда

    \[S_{ADE}=3x\]

Площадь S_{AFE}=3x т.к. AE – медиана, S_{AFD}=6x. Но

    \[6x=\frac{1}{2}S_2\cos \alpha g\]

    \[\frac{S_2}{S_1}=\frac{6x}{2x}=\frac{3}{1}\]

    \[S_2=2100\]

Осталось найти L.

Строим треугольник скоростей для этого случая, и замечаем, что треугольник PQR равен треугольнику ABL, а площадь последнего – 2x.

Треугольник скоростей при горизонтальном выстреле

То есть

    \[4x=\frac{1}{2}Lg\]

    \[L=\frac{8x}{g}=2S_1\cos \alpha=1400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=700\sqrt{3}\]

Ответ: S_2=2100 м, L=1211 м.

Задача 14. Человек стреляет из пушки по мишени. На расстоянии 300 м от него стоит стенка высотой 120 м, за которой на расстоянии 100 м на земле стоит мишень. С какой скоростью ядро вылетит из пушки при удачном выстреле? («Курчатов», 2019, 9 кл)

Решение: произведем бросок под углом 45^{\circ}.

К задаче 14

Изобразим треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 14

 

Его площадь равна

    \[\frac{1}{2}Lg=\frac{1}{2}\upsilon_0^2\]

    \[L=\frac{\upsilon_0^2}{g}\]

Дальность полета нам известна, значит, известна и  величина \frac{\upsilon_0^2}{g}. Теперь проверим, на какой максимальной высоте окажется тело при таком броске.

Пояснения к задаче 14

Бросаем под углом 45^{\circ}, поэтому треугольник скоростей равнобедренный, и его катеты равны \frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}}. Тогда

    \[\sqrt{2g H_{max}}=\frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}}\]

    \[2g H_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{2}\]

    \[H_{max}=\frac{\upsilon_0^2}{4g}=\frac{L}{4}=100\]

То есть при броске под углом 45^{\circ} стенку мы не перебросим. То есть надо бросить так, чтобы коснуться стенки:

Оптимальная траектория

Надо записать уравнение параболы так, чтобы тело, двигаясь по ней, коснулось стенки. Это можно сделать координатным способом, получить два уравнения, одно из которых содержит тангенс \alpha, другое – синус двойного угла. Решить систему из двух уравнений при этом сложно. Поэтому решать будем снова с использованием треугольника скоростей.

Произвольные отрезки до стены и за стеной

Треугольник скоростей в задаче 14

Площадь треугольника 1:

    \[S_1=\frac{1}{2}g\cdot\frac{L_1+L_2}{2}\]

Площадь треугольника 2:

    \[S_2=\frac{1}{2}g\cdot\frac{L_1-L_2}{2}\]

Площади треугольников 1 и 2 относятся как

    \[\frac{S_1}{S_2}=\frac{\sqrt{2gH_{max}}}{\sqrt{2g(H_{max}-h)}}=\frac{ L_1+L_2}{ L_1-L_2}\]

    \[1-\frac{h}{ H_{max}}=\left(\frac{ L_1-L_2}{ L_1+L_2}\right)^2\]

    \[H_{max}=\frac{h}{1-\left(\frac{ L_1-L_2}{ L_1+L_2}\right)^2}=\frac{120}{1-\left(\frac{200}{400}\right)^2}=\frac{120}{1-\frac{1}{4}}=160\]

Определяем скорость, для этого составим теорему Пифагора для треугольника скоростей:

    \[\upsilon_0^2=2gH_{max}+\upsilon_{min}^2\]

Площадь треугольника 1 равна

    \[S_1=\frac{1}{2}g\cdot\frac{L_1+L_2}{2}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot\frac{300+100}{2}=1000\]

С другой стороны,

    \[S_1=\frac{1}{2}\upsilon_{min}\cdot \sqrt{2gH_{max}}\]

    \[\upsilon_{min}=\frac{2S_1}{\sqrt{2gH_{max}}}=\frac{2000}{\sqrt{20\cdot160}}=\frac{50}{\sqrt{2}}=25\sqrt{2}\]

    \[\upsilon_0^2=2gH_{max}+\upsilon_{min}^2=20\cdot 160+625\cdot 2=4450\]

    \[\upsilon_0=\sqrt{4450}=66,7\]

Ответ: 66,7 м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *