Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрия в физике: конспект вебинара – 4

Публикую серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – четвертая статья серии.

Теорема 3. Докажите, что площадь треугольника скоростей равна половине произведения дальности полета на ускорение свободного падения S=\frac{1}{2}Lg.

К теореме 3

Доказательство:

Площадь треугольника равна

    \[S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot \frac{L}{t}\cdot gt=\frac{1}{2}gL\]

Доказано.

 

Маленькое отступление – напоминание. Площадь треугольника.

Кроме формулы, приведенной выше – половина произведения основания на высоту – можно использовать для отыскания площади формулу

    \[S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma\]

К напоминанию о площади треугольника

Можно применить теорему синусов:

    \[\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}\]

    \[b=\frac{a}{\sin \alpha}\cdot \sin \beta\]

    \[S=\frac{1}{2}\frac{a^2\sin \beta \sin \gamma }{\sin \alpha }\]

Задача 10. Тело бросили со скоростью \upsilon_0 под углом к горизонту \alpha. Определить дальность полета, если тело упало на ту же горизонтальную плоскость.

Решение.

Мы точно знаем, что тело упало на тот же уровень. То есть перемещение горизонтально. Скорость падения также равна начальной – треугольник скоростей равнобедренный. И высота в нем – \frac{S}{t} – является медианой. А значит, и биссектрисой тоже.

К задаче 10

Площадь треугольника скоростей, по теореме, равна S=\frac{1}{2}Lg.

А с другой стороны, эта площадь равна

    \[\frac{1}{2}\upsilon_0^2\sin 2\alpha\]

Откуда, приравняв, получим

    \[L=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha }{g}\]

Ответ: L=\frac{\upsilon_0^2\sin 2\alpha }{g}

Задача 11. Камень бросили под углом к горизонту с начальной скоростью \upsilon_0= 25 м/с. Через время \tau он достиг максимальной высоты, удалившись по горизонтали на расстояние L = 30 м от места броска. Найдите время \tau. (ВсОШ, 2012, Региональный этап, 10 кл)

К задаче 11

Решение. Угол, под которым произведен бросок, неизвестен. Для координатного метода задача не подходит. Рисуем треугольник скоростей. Скорость \upsilon_0 – произвольно, а, так как через время \tau камень достиг максимальной высоты – значит, скорость его минимальна. Кроме того, известна площадь треугольника, ведь задано перемещение L.

Основание треугольника – минимальная скорость – равна

    \[\upsilon_{min}=\sqrt{\upsilon_0^2-g^2\tau^2}\]

Итак, площадь треугольника, с одной стороны, \frac{1}{2}Lg, с другой –

    \[S=\frac{1}{2}g\tau \sqrt{\upsilon_0^2-g^2\tau^2}\]

    \[\frac{1}{2}Lg=\frac{1}{2}g\tau \sqrt{\upsilon_0^2-g^2\tau^2}\]

    \[L=\tau \sqrt{\upsilon_0^2-g^2\tau^2}\]

    \[L^2=\tau^2(\upsilon_0^2-g^2\tau^2)\]

    \[g^2\tau^4-\tau^2\upsilon_0^2+L^2=0\]

Решаем биквадратное уравнение:

    \[\tau^2=\frac{\upsilon_0^2 \pm \sqrt{\upsilon_0^4-4g^2L^2}}{2g^2}\]

    \[\tau=\sqrt{\frac{\upsilon_0^2 \pm \sqrt{\upsilon_0^4-4g^2L^2}}{2g^2}}\]

Ответ: \tau=\sqrt{\frac{\upsilon_0^2 \pm \sqrt{\upsilon_0^4-4g^2L^2}}{2g^2}}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *