Геометрия в физике: конспект вебинара – 2

[latexpage]

Начинаю серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – вторая статья серии.

Задача 4.  Скорость камня $\upsilon_0$, брошенного под углом $\varphi = 60^{\circ}$ к горизонту, уменьшилась вдвое за $\Delta t = 1$ с. Найдите модуль перемещения $S$, которое за это время совершил камень. (ВсОШ, 2012, Региональный этап, 9 кл)

Решение. Нарисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 4

Изображаем $\upsilon_0$, обозначаем угол $\varphi$, скорость $\frac{\upsilon_0}{2}$ – изображаем произвольно. Также изображаем вектор $g \Delta t$ – вертикально вниз. Так как угол $\varphi = 60^{\circ}$, то угол между $\upsilon_0$ и $g \Delta t$ – угол А – равен $30^{\circ}$. Против угла в $30^{\circ}$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, вектор $\frac{\upsilon_0}{2}$ перпендикулярен вектору $g \Delta t$! Перерисуем с учетом этого:

Перерисованный (уточненный) треугольник скоростей

Применим прием «удвоения медианы». Удвоим медиану $\frac{S}{t}$.

Также вспомним, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон.

$$\frac{4S^2}{t^2}+g^2t^2=2\upsilon_0^2+\frac{2\upsilon_0^2}{4}$$

$$4S^2=t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)$$

$$S=\frac{\sqrt{ t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)}}{2}$$

Ответ: $S=\frac{\sqrt{ t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)}}{2}$.

Задача 5. Величина скорости камня, брошенного с горизонтальной плоскости под углом к горизонту, через время $\tau = 0,5$ с после броска составляла $\alpha = 80$ % от величины начальной скорости, а ещё через $\tau$ соответственно $\beta = 70$%. Найдите продолжительность $T$ полёта камня. (ВсОШ, 2015, Региональный этап, 9 кл).

Решение. Рисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 5

Полет длится, пока конечная скорость не станет равна $\upsilon_0$. В треугольнике скоростей удваиваем медиану. Получаем параллелограмм, у которого сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон.

Удвоили медиану – получили параллелограмм

$$4\alpha^2 \upsilon_0^2+4g^2\tau^2=2\upsilon_0^2+2\beta^2 \upsilon_0^2$$

$$\upsilon_0=\sqrt{\frac{4g^2\tau^2}{2+2\beta^2-4\alpha^2}}$$

Составим теорему косинусов для треугольника $ABC$:

$$\alpha^2 \upsilon_0^2=\upsilon_0^2+ g^2\tau^2-2\upsilon_0 g \tau\cos \gamma$$

$$\upsilon_0 \cos \gamma=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{2g\tau }$$

А с другой стороны,

$$\frac{gT}{2}=\upsilon_0 \cos \gamma$$

$$\frac{gT}{2}=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{2g\tau }$$

$$T=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{g^2\tau }$$

Ответ: $T=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{g^2\tau }$.

Теорема 2.  «О квадратах скоростей». Докажите, что квадраты конечной скорости и начальной скорости связаны только через разность высот начальной и конечной точки и не зависят от углов: $\upsilon_k^2=\upsilon_0^2-2gh$

Доказательство: рисуем треугольник скоростей. Средняя скорость $\frac{S}{t}$ – всегда медиана.

К теореме 2

$$2\frac{\vec{S}}{t}=\vec {\upsilon}_k+\vec {\upsilon}_0$$

С другой стороны,

$$\vec {\upsilon}_k-\vec {\upsilon}_0=\vec{g}t$$

Перемножаем уравнения:

$$2\vec{S}\vec{g}=\upsilon_k^2-\upsilon_0^2$$

Доказано.

Для более старших классов можно воспользоваться законом сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon_k^2 }{2}=mgH+\frac{m\upsilon_0^2 }{2}$$

$$\upsilon_k^2=2gH+\upsilon_0^2 $$

Задача 6.  Петя бросил мячик с балкона с начальной скоростью $\upsilon$ стоящему на земле Васе. Через время $t_1 = 2,21$ с Вася поймал мячик, заметив, что в конце полёта скорость мячика была направлена перпендикулярно его начальной скорости в момент броска, совершённого Петей. Затем Вася сделал несколько шагов, остановился и бросил мячик обратно на балкон Пете, сообщив мячику такую же по модулю начальную скорость $\upsilon$. Петя поймал мячик через время $t_2 = 1,72$ с, заметив, что конечная скорость мячика также направлена перпендикулярно начальной скорости мячика в момент броска, совершённого Васей. Определите разницу высот $H$ между  кистями рук Пети и Васи, а также определите, чему равен модуль скорости $\upsilon$. (МОШ, 2017, 11)

Решение. Рисуем два треугольника скоростей:

К задаче 6: треугольники скоростей

При броске, сделанном первым мальчиком, скорость увеличилась:

$$\upsilon_{k1}=\upsilon_0^2+2gH$$

А при броске, сделанном вторым мальчиком, скорость мячика уменьшилась:

$$\upsilon_{k2}=\upsilon_0^2-2gH$$

Теорема косинусов для первого треугольника скоростей:

$$\upsilon_0^2+\upsilon_0^2+2gH=g^2t_1^2$$

Для второго:

$$\upsilon_0^2+\upsilon_0^2-2gH=g^2t_2^2$$

Складываем уравнения:

$$4\upsilon_0^2=g(t_1^2+ t_2^2)$$

$$\upsilon_0=\frac{g\sqrt{ t_1^2+ t_2^2}}{2}$$

Вычитаем уравнения:

$$4gH= g(t_1^2- t_2^2)$$

$$H=\frac{g(t_1^2- t_2^2)}{4}$$

Ответ: $\upsilon_0=\frac{g\sqrt{ t_1^2+ t_2^2}}{2}$; $H=\frac{g(t_1^2- t_2^2)}{4}$.