Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрия в физике: конспект вебинара – 2

Начинаю серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – вторая статья серии.

Задача 4.  Скорость камня \upsilon_0, брошенного под углом \varphi = 60^{\circ} к горизонту, уменьшилась вдвое за \Delta t = 1 с. Найдите модуль перемещения S, которое за это время совершил камень. (ВсОШ, 2012, Региональный этап, 9 кл)

Решение. Нарисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 4

 

Изображаем \upsilon_0, обозначаем угол \varphi, скорость \frac{\upsilon_0}{2} – изображаем произвольно. Также изображаем вектор g \Delta t – вертикально вниз. Так как угол \varphi = 60^{\circ}, то угол между \upsilon_0 и g \Delta t – угол А – равен 30^{\circ}. Против угла в 30^{\circ} лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, вектор \frac{\upsilon_0}{2} перпендикулярен вектору g \Delta t! Перерисуем с учетом этого:

Перерисованный (уточненный) треугольник скоростей

Применим прием «удвоения медианы». Удвоим медиану \frac{S}{t}.

Также вспомним, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон.

    \[\frac{4S^2}{t^2}+g^2t^2=2\upsilon_0^2+\frac{2\upsilon_0^2}{4}\]

    \[4S^2=t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)\]

    \[S=\frac{\sqrt{ t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)}}{2}\]

Ответ: S=\frac{\sqrt{ t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)}}{2}.

 

Задача 5. Величина скорости камня, брошенного с горизонтальной плоскости под углом к горизонту, через время \tau = 0,5 с после броска составляла \alpha = 80 % от величины начальной скорости, а ещё через \tau соответственно \beta = 70%. Найдите продолжительность T полёта камня. (ВсОШ, 2015, Региональный этап, 9 кл).

Решение. Рисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 5

Полет длится, пока конечная скорость не станет равна \upsilon_0. В треугольнике скоростей удваиваем медиану. Получаем параллелограмм, у которого сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон.

Удвоили медиану – получили параллелограмм

    \[4\alpha^2 \upsilon_0^2+4g^2\tau^2=2\upsilon_0^2+2\beta^2 \upsilon_0^2\]

    \[\upsilon_0=\sqrt{\frac{4g^2\tau^2}{2+2\beta^2-4\alpha^2}}\]

Составим теорему косинусов для треугольника ABC:

    \[\alpha^2 \upsilon_0^2=\upsilon_0^2+ g^2\tau^2-2\upsilon_0 g \tau\cos \gamma\]

 

    \[\upsilon_0 \cos \gamma=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{2g\tau }\]

А с другой стороны,

    \[\frac{gT}{2}=\upsilon_0 \cos \gamma\]

    \[\frac{gT}{2}=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{2g\tau }\]

    \[T=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{g^2\tau }\]

Ответ: T=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{g^2\tau }.

Теорема 2.  «О квадратах скоростей». Докажите, что квадраты конечной скорости и начальной скорости связаны только через разность высот начальной и конечной точки и не зависят от углов: \upsilon_k^2=\upsilon_0^2-2gh

Доказательство: рисуем треугольник скоростей. Средняя скорость \frac{S}{t} – всегда медиана.

К теореме 2

    \[2\frac{\vec{S}}{t}=\vec {\upsilon}_k+\vec {\upsilon}_0\]

С другой стороны,

    \[\vec {\upsilon}_k-\vec {\upsilon}_0=\vec{g}t\]

Перемножаем уравнения:

    \[2\vec{S}\vec{g}=\upsilon_k^2-\upsilon_0^2\]

Доказано.

Для более старших классов можно воспользоваться законом сохранения энергии:

    \[\frac{m\upsilon_k^2 }{2}=mgH+\frac{m\upsilon_0^2 }{2}\]

    \[\upsilon_k^2=2gH+\upsilon_0^2\]

 

Задача 6.  Петя бросил мячик с балкона с начальной скоростью \upsilon стоящему на земле Васе. Через время t_1 = 2,21 с Вася поймал мячик, заметив, что в конце полёта скорость мячика была направлена перпендикулярно его начальной скорости в момент броска, совершённого Петей. Затем Вася сделал несколько шагов, остановился и бросил мячик обратно на балкон Пете, сообщив мячику такую же по модулю начальную скорость \upsilon. Петя поймал мячик через время t_2 = 1,72 с, заметив, что конечная скорость мячика также направлена перпендикулярно начальной скорости мячика в момент броска, совершённого Васей. Определите разницу высот H между  кистями рук Пети и Васи, а также определите, чему равен модуль скорости \upsilon. (МОШ, 2017, 11)

Решение. Рисуем два треугольника скоростей:

К задаче 6: треугольники скоростей

При броске, сделанном первым мальчиком, скорость увеличилась:

    \[\upsilon_{k1}=\upsilon_0^2+2gH\]

А при броске, сделанном вторым мальчиком, скорость мячика уменьшилась:

    \[\upsilon_{k2}=\upsilon_0^2-2gH\]

Теорема косинусов для первого треугольника скоростей:

    \[\upsilon_0^2+\upsilon_0^2+2gH=g^2t_1^2\]

Для второго:

    \[\upsilon_0^2+\upsilon_0^2-2gH=g^2t_2^2\]

Складываем уравнения:

    \[4\upsilon_0^2=g(t_1^2+ t_2^2)\]

    \[\upsilon_0=\frac{g\sqrt{ t_1^2+ t_2^2}}{2}\]

Вычитаем уравнения:

    \[4gH= g(t_1^2- t_2^2)\]

    \[H=\frac{g(t_1^2- t_2^2)}{4}\]

Ответ: \upsilon_0=\frac{g\sqrt{ t_1^2+ t_2^2}}{2}; H=\frac{g(t_1^2- t_2^2)}{4}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *