Геометрия в физике: конспект вебинара

Геометрия в физике: конспект вебинара – 2

Начинаю серию статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – вторая статья серии.

Задача 4. Скорость камня $\upsilon_0$ , брошенного под углом $\varphi = 60^{\circ}$ к горизонту, уменьшилась вдвое за $\Delta t = 1$ с. Найдите модуль перемещения $S$ , которое за это время совершил камень. (ВсОШ, 2012, Региональный этап, 9 кл)

Решение. Нарисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 4

Изображаем $\upsilon_0$ , обозначаем угол $\varphi$ , скорость $\frac{\upsilon_0}{2}$ – изображаем произвольно. Также изображаем вектор $g \Delta t$ – вертикально вниз. Так как угол $\varphi = 60^{\circ}$ , то угол между $\upsilon_0$ и $g \Delta t$ – угол А – равен $30^{\circ}$ . Против угла в $30^{\circ}$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, вектор $\frac{\upsilon_0}{2}$ перпендикулярен вектору $g \Delta t$ ! Перерисуем с учетом этого:

Перерисованный (уточненный) треугольник скоростей

Применим прием «удвоения медианы». Удвоим медиану $\frac{S}{t}$ .

Также вспомним, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон.

$\frac{4S^2}{t^2}+g^2t^2=2\upsilon_0^2+\frac{2\upsilon_0^2}{4}$

$4S^2=t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)$

$S=\frac{\sqrt{ t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)}}{2}$

Ответ: $S=\frac{\sqrt{ t^2\left(\frac{5}{2}\upsilon_0^2-g^2t^2\right)}}{2}$ .

Задача 5. Величина скорости камня, брошенного с горизонтальной плоскости под углом к горизонту, через время $\tau = 0,5$ с после броска составляла $\alpha = 80$ % от величины начальной скорости, а ещё через $\tau$ соответственно $\beta = 70$ %. Найдите продолжительность $T$ полёта камня. (ВсОШ, 2015, Региональный этап, 9 кл).

Решение. Рисуем треугольник скоростей.

Треугольник скоростей к задаче 5

Полет длится, пока конечная скорость не станет равна $\upsilon_0$ . В треугольнике скоростей удваиваем медиану. Получаем параллелограмм, у которого сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех сторон.

Удвоили медиану – получили параллелограмм

$4\alpha^2 \upsilon_0^2+4g^2\tau^2=2\upsilon_0^2+2\beta^2 \upsilon_0^2$

$\upsilon_0=\sqrt{\frac{4g^2\tau^2}{2+2\beta^2-4\alpha^2}}$

Составим теорему косинусов для треугольника $ABC$ :

$\alpha^2 \upsilon_0^2=\upsilon_0^2+ g^2\tau^2-2\upsilon_0 g \tau\cos \gamma$

$\upsilon_0 \cos \gamma=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{2g\tau }$

А с другой стороны,

$\frac{gT}{2}=\upsilon_0 \cos \gamma$

$\frac{gT}{2}=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{2g\tau }$

$T=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{g^2\tau }$

Ответ: $T=\frac{g^2\tau^2-(\alpha^1-1)\upsilon_0^2}{g^2\tau }$ .

Теорема 2. «О квадратах скоростей». Докажите, что квадраты конечной скорости и начальной скорости связаны только через разность высот начальной и конечной точки и не зависят от углов: $\upsilon_k^2=\upsilon_0^2-2gh$

Доказательство: рисуем треугольник скоростей. Средняя скорость $\frac{S}{t}$ – всегда медиана.

К теореме 2

$2\frac{\vec{S}}{t}=\vec {\upsilon}_k+\vec {\upsilon}_0$

С другой стороны,

$\vec {\upsilon}_k-\vec {\upsilon}_0=\vec{g}t$

Перемножаем уравнения:

$2\vec{S}\vec{g}=\upsilon_k^2-\upsilon_0^2$

Доказано.

Для более старших классов можно воспользоваться законом сохранения энергии:

$\frac{m\upsilon_k^2 }{2}=mgH+\frac{m\upsilon_0^2 }{2}$

$\upsilon_k^2=2gH+\upsilon_0^2$

Задача 6. Петя бросил мячик с балкона с начальной скоростью $\upsilon$ стоящему на земле Васе. Через время $t_1 = 2,21$ с Вася поймал мячик, заметив, что в конце полёта скорость мячика была направлена перпендикулярно его начальной скорости в момент броска, совершённого Петей. Затем Вася сделал несколько шагов, остановился и бросил мячик обратно на балкон Пете, сообщив мячику такую же по модулю начальную скорость $\upsilon$ . Петя поймал мячик через время $t_2 = 1,72$ с, заметив, что конечная скорость мячика также направлена перпендикулярно начальной скорости мячика в момент броска, совершённого Васей. Определите разницу высот $H$ между кистями рук Пети и Васи, а также определите, чему равен модуль скорости $\upsilon$ . (МОШ, 2017, 11)