Геометрия в физике: конспект вебинара – 12

[latexpage]

Серия статей, в которой представлен конспект двух вебинаров, проводимых Андреем Коноваловым для учителей физики. Вебинары прошли под названием «Геометрия в физике» и оказались очень полезными для меня. Поскольку не все могут выдержать более трех часов у компьютера, то я решила сделать конспект, который можно читать частями: поэтому получилась серия статей, каждая из которых не напрягает своей длиной. Это – двенадцатая статья серии. Вторая часть вебинара.

Задача 7. Склон горы составляет угол $\alpha$ с горизонтом. На какое максимальное расстояние вниз вдоль склона можно забросить камень, если его начальная скорость равна $\upsilon_0$?

Решение.

Так как удаление максимальное, то траектории – настильная и навесная – схлопнулись в одну. И две окружности соответствующих радиусов будут касаться. Обозначим радиусы и можно сразу писать ответ: $S$ складывается как раз из радиусов!

Парабола безопасности и ее директриса

$$S=\frac{\upsilon_0^2}{2g}+\frac{\upsilon_k^2}{2g}=\frac{\upsilon_0^2}{2g}+\frac{\upsilon_0^2+2gh}{2g}=\frac{\upsilon_0^2}{2g}+\frac{\upsilon_0^2+2gS\sin \alpha}{2g}$$

$$S=\frac{\upsilon_0^2}{g}+S\sin \alpha$$

$$S(1-\sin \alpha)= \frac{\upsilon_0^2}{g}$$

$$S-\frac{\upsilon_0^2}{g(1-\sin \alpha)}$$

Решим эту задачу через треугольник скоростей. Достраиваем его до параллелограмма, удваивая медиану, и применяем неравенство Птолемея:

Треугольник скоростей и неравенство Птолемея

$$2\frac{S}{t}\cdot gt \leqslant \upsilon_0^2+\upsilon_0^2+2gh$$

$$gS \leqslant \upsilon_0^2+gS \sin \alpha$$

$$S(1-\sin \alpha) \leqslant \frac{\upsilon_0^2}{g}$$

$$S\leqslant \frac{\upsilon_0^2}{g(1-\sin \alpha)}$$

Максимум достигается, когда неравенство превращается в равенство.

Ответ: $S= \frac{\upsilon_0^2}{g(1-\sin \alpha)}$.

Задача 8. С какой минимальной скоростью следует бросить камень с горизонтальной поверхности земли, чтобы он смог перелететь через дом с покатой крышей длиной $S$? Ближайшая стена имеет высоту $h$, задняя стена — высоту $H$.

К задаче 8

Решение.

Оптимальная траектория – это траектория, касающаяся обоих верхних углов крыши.

$$\frac{\upsilon_0^2}{2g}=S_2+h$$

$$\frac{\upsilon_0^2}{2g}=S_1+H$$

Складываем

$$\frac{\upsilon_0^2}{g}= S_1+ S_2+h +H=S+h+H$$

$$\upsilon_0=\sqrt{g(S+h+H)}$$

Задача 9. В открытой прямоугольной коробке сидит кузнечик, который умеет прыгать с начальной скоростью $\upsilon_0 = 3$ м/с под любым углом к горизонту. На какой минимальный угол к горизонту нужно наклонить коробку, чтобы кузнечик смог из неё выпрыгнуть? Считать, что каждая грань коробки является квадратом со стороной $h = 52$ см. (МОШ, 2008, 10)

К задаче 9

Решение. Рисуем параболу безопасности и коробку. Видим, что даже при движении коробки вправо парабола безопасности на позволяет кузнечику выпрыгнуть из коробки.

Двигаем коробку вправо – кузнечику не выпрыгнуть

Теперь наклоняем коробку и начинаем двигать повернутую немного коробку, и снова видим, что данный угол наклона не позволяет кузнечику выпрыгнуть.

Наклоняем коробку – а кузнечику пока не выпрыгнуть

Еще больше наклоняем коробку, а потом начинаем ее двигать, пока край коробки не окажется на параболе безопасности. Вот теперь кузнечик сможет выпрыгнуть.

Кузнечик (звездочка) может выпрыгнуть

Касательная к параболе безопасности при этом параллельна полу коробки. А вообще скорость кузнечика на краю коробки совпадает с касательной к параболе безопасности. И можно теперь построить треугольник скоростей. В нем строим векторы $\frac{S}{t}, \frac{h}{t}, \frac{x}{t}$. Заметим, что вектор $\frac{h}{t}$ – средняя линия треугольника.

Треугольник скоростей

$$\frac{\upsilon_0}{2}=\frac{h}{t}$$

С другой стороны,

$$\upsilon_0=\cos \alpha \cdot gt$$

Перемножаем:

$$\frac{\upsilon_0^2}{2}=gh\cos \alpha$$

$$\cos \alpha=\frac{\upsilon_0^2}{2gh}=\frac{9}{2\cdot 10\cdot 0,52}=0,87$$

Ответ: угол равен 30 градусам.

Решим эту же задачу через параболу безопасности. $ADC$ – коробка, в точке $A$ сидит кузнечик. Рисуем окружность радиусом $\frac{\upsilon_0^2}{2g}$ и окружность радиусом $\frac{\upsilon_k^2}{2g}$. Эти окружности должны касаться (потому что кузнечик прыгает максимально далеко и настильная и навесная траектории схлопываются) и иметь общую директрису. Скорости (начальная и конечная) перпендикулярны друг другу. Таким образом, $ABCD$ – прямоугольник, и $AB=h$.

Решение через параболу безопасности

Тогда

$$h\cos \alpha=\frac{\upsilon_0^2}{2g}$$

$$\cos \alpha=\frac{\upsilon_0^2}{2gh}$$

И получили тот же ответ.