Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Геометрический способ решения алгебраического уравнения

В этой статье приведен очень необычный способ решения уравнения. Даже два способа. Оба они тесно связаны с геометрией. Это тот случай, когда геометрия помогает алгебре.

Задача. Решить уравнение.

    \[\sqrt{x^2-5x\sqrt{2}+25}+\sqrt{x^2-12x\sqrt{2}+144}=13\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 и гипотенузой 13. Пусть в нем проведена биссектриса прямого угла, длина которой x.

К первому способу решения

Тогда, с одной стороны,

    \[a^2=5^2+x^2-2x\cdot 5\cdot\cos 45^{\circ}=25+x^2-5x\sqrt{2}\]

    \[b^2=x^2+12^2-2x\cdot 12\cdot\cos 45^{\circ}= x^2+144-12x\sqrt{2}\]

С другой, по свойству биссектрисы,

    \[\frac{a}{b}=\frac{5}{12}\]

И

    \[a+b=13\]

Тогда

    \[a=\frac{5}{12}b\]

    \[\frac{5}{12}b+b=13\]

    \[\frac{17}{12}b=13\]

    \[b=\frac{156}{17}\]

    \[a=13-\frac{156}{17}=\frac{65}{17}\]

Длину биссектрисы – x – вычислим по формуле

    \[x=\sqrt{5\cdot12-a\cdot b}=\sqrt{60-\frac{65}{17}\cdot \frac{156}{17}}=\frac{60\sqrt{2}}{17}\]

Ответ: x=\frac{60\sqrt{2}}{17}

Второй способ решить эту задачу: выделить полный квадрат. Как говорится: «Не знаешь, что делать – выделяй полный квадрат».

    \[\sqrt{x^2-5x\sqrt{2}+25}+\sqrt{x^2-12x\sqrt{2}+144}=13\]

 

    \[\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}+0\right)^2+\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-5\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-12\right)^2+\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-0\right)^2}=\sqrt{(12-0)^2+(0-5)^2}\]

Первое слагаемое превратилось в расстояние от точки \left(\frac{x}{\sqrt{2}};\frac{x}{\sqrt{2}}\right) до точки (0;5), второе – в расстояние от точки \left(\frac{x}{\sqrt{2}};\frac{x}{\sqrt{2}}\right) до точки (12;0), третье – в расстояние от точки (12;0) до точки (0; 5).

 

Если точка расположена на прямой между двумя другими, то сумма двух расстояний (от нее до концов отрезка) равна длине этого отрезка. И иначе: если сумма расстояний от данной точки до двух других равна длине отрезка, то точка принадлежит этому отрезку.

Ко второму способу решения

Таким образом, точка с  координатами  \left(\frac{x}{\sqrt{2}};\frac{x}{\sqrt{2}}\right) должна принадлежать прямой, проходящей через точки (12;0) и (0; 5). Уравнение такой прямой –

    \[y=-\frac{5}{12}x+5\]

Подставим в него координаты нашей точки:

    \[\frac{x}{\sqrt{2}}=-\frac{5}{12}\cdot \frac{x}{\sqrt{2}}+5\]

 

    \[\frac{17x}{12\sqrt{2}}=5\]

    \[x=\frac{60\sqrt{2}}{17}\]

Ответ: x=\frac{60\sqrt{2}}{17}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *