Геометрический подход к баллистическим задачам

В серии статей на эту тему предложен интересный подход к решению задач кинематики, позволяющий решать их значительно проще. Некоторые задачи с помощью данного метода можно решить в одну строчку, в то время как другие можно решить только с его помощью.

Сначала немного теории.

Так как статья посвящена равноускоренному движению, то мы с вами будем использовать следующие формулы.

Здесь – перепад высот, «минус» соответствует движению вверх, «плюс» – движению вниз. Формула хороша тем, что в ней отсутствует время . В общем виде формула записывается так:

Так как скалярное произведение равно , а в нашем случае .

Рисунок 1

Последнюю формулу можно вывести из энергетических соображений:

Наконец, нам понадобится еще формула

При решении будем пользоваться векторными треугольниками. Выделяют два векторных треугольника: треугольник скоростей и треугольник перемещений.

Изобразим первый.

Рисунок 2

Вектор направлен вниз. Сумма векторов   и в сумме дают вектор . Проведем высоту в этом треугольнике. Тогда угол – угол, под которым произведен бросок. Угол при вершине треугольника тогда будет равен . Достроим наш треугольник до параллелограмма. В параллелограмме диагонали делятся пополам точкой пересечения. Половина диагонали параллелограмма, таким образом, будет медианой треугольника. А длина этого вектора будет равна . Этот вектор будет направлен вниз, если тело приземляется ниже точки броска. В случае же, если тело падает на тот же горизонтальный уровень, он будет направлен горизонтально и треугольник в этом случае равнобедренный, . Если мы закидываем тело вверх, указанный вектор будет направлен вверх.

Представим себе, что вектор перпендикулярен . Тогда указанный вектор () равен радиусу описанной окружности (из геометрии). Кроме того, в этом случае вектор направлен по биссектрисе угла между вектором перемещения и вертикалью. Это очень важный факт, который позволяет существенно упростить решение некоторых задач. Доказательство будет приведено ниже.

Если говорить о площади этого треугольника, то она пропорциональна перемещению (дальности полета).

Теперь нарисуем второй треугольник  -треугольник перемещений. Высота этого треугольника – не что иное, как дальность полета .

Рисунок 3

Задача 1. С поверхности земли под углом  к горизонту выстрелила пушка. Через время она поразила наземную цель. Определите дальность полета снаряда. Пушка и ее цель неподвижны и расположены на одном горизонтальном уровне. Сопротивлением воздуха пренебречь. Размеры пушки, снаряда и цели не учитывать.

Первый способ решения. Введем систему координат, ось направим горизонтально, – вертикально.

Рисунок 4

Запишем уравнения по осям:

Минус этого способа – два уравнения. Плюс – привычные нам оси.

Выражаем :

Подставим скорость в первое уравнение:

Второй способ. Метод тоже аналитический. Выберем другие оси: выберем ось , совпадающую с направлением скорости , а ось – перпендикулярно ей.

Рисунок 5

Тогда в проекциях на эту ось (проекция равна нулю):

Третий способ. Нарисуем векторный треугольник перемещений.

Рисунок 6

Тогда в этом треугольнике

Ответ: .

Задача 2. Мячик бросили со скоростью под углом к горизонту. В полете он находился время . Чему равна дальность полета мячика, если точки бросания и приземления находятся на одном горизонтальном уровне? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Снова рисуем векторный треугольник перемещений.

Рисунок 7

По теореме Пифагора

Ответ: .

Задача 3. С поверхности земли под углом к горизонту бросают камень со скоростью . Какова максимальная дальность полета камня, если точки бросания и приземления находятся на одном горизонтальном уровне? Сопротивлением воздуха пренебречь.

По аналогии с задачей 2 запишем

Проанализируем выражение под корнем.  . Так как выражение под корнем – парабола, то

Тогда

Ответ: .

Задача 4. С обрыва под углом  к горизонту бросили камушек со скоростью м/с. Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость составила м/с и была направлена под углом к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок 8

Из того, что дано, заключаем, что конечная и начальная скорость перпендикулярны друг другу. Поэтому можно записать из треугольника скоростей

Ответ:

Задача 5. С обрыва под углом  к горизонту бросили камушек со скоростью м/с.  Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость  была направлена под углом к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Эта задача – вариант предыдущей. Из данных понимаем, что конечная и начальная скорость перпендикулярны друг другу. Мы в этой задаче не знаем конечную скорость, но знаем угол.

Поэтому можно записать из треугольника скоростей

Откуда

Ответ: .

Задача 6. Камень бросили со скоростью под углом  к горизонту.  Чему равен модуль перемещения, если до места падения он летел время ? Сопротивление воздуха не учитывать.

Заметим, что нам не известно, на каком уровне упал камень: на том же самом или ниже.

Рисунок 9

Рассмотрим треугольник перемещений и применим для него теорему косинусов. Тогда

Это готовый ответ.

Задача 7. С крутого берега реки со скоростью бросили камень под углом  к горизонту. С какой скоростью он упал в воду, если до места падения он летел время ? Сопротивление воздуха не учитывать.

В этой задаче мы также применим теорему косинусов для треугольника скоростей.

Рисунок 10

Ответ: .