В серии статей на эту тему предложен интересный подход к решению задач кинематики, позволяющий решать их значительно проще. Некоторые задачи с помощью данного метода можно решить в одну строчку, в то время как другие можно решить только с его помощью. Конспект занятий, проводимых Пенкиным М.А.
Сначала немного теории.
Так как статья посвящена равноускоренному движению, то мы с вами будем использовать следующие формулы.
Здесь – перепад высот, «минус» соответствует движению вверх, «плюс» – движению вниз. Формула хороша тем, что в ней отсутствует время
. В общем виде формула записывается так:
Так как скалярное произведение равно , а в нашем случае
.

Рисунок 1
Последнюю формулу можно вывести из энергетических соображений:
Наконец, нам понадобится еще формула
При решении будем пользоваться векторными треугольниками. Выделяют два векторных треугольника: треугольник скоростей и треугольник перемещений.
Изобразим первый.

Рисунок 2
Вектор направлен вниз. Сумма векторов
и
в сумме дают вектор
. Проведем высоту в этом треугольнике. Тогда угол
– угол, под которым произведен бросок. Угол при вершине треугольника тогда будет равен
. Достроим наш треугольник до параллелограмма. В параллелограмме диагонали делятся пополам точкой пересечения. Половина диагонали параллелограмма, таким образом, будет медианой треугольника. А длина этого вектора будет равна
. Этот вектор будет направлен вниз, если тело приземляется ниже точки броска. В случае же, если тело падает на тот же горизонтальный уровень, он будет направлен горизонтально и треугольник в этом случае равнобедренный,
. Если мы закидываем тело вверх, указанный вектор будет направлен вверх.
Представим себе, что вектор перпендикулярен
. Тогда указанный вектор (
) равен радиусу описанной окружности (из геометрии). Кроме того, в этом случае вектор
направлен по биссектрисе угла между вектором перемещения и вертикалью. Это очень важный факт, который позволяет существенно упростить решение некоторых задач. Доказательство будет приведено ниже.
Если говорить о площади этого треугольника, то она пропорциональна перемещению (дальности полета).
Теперь нарисуем второй треугольник -треугольник перемещений. Высота этого треугольника – не что иное, как дальность полета .

Рисунок 3
Задача 1. С поверхности земли под углом к горизонту выстрелила пушка. Через время
она поразила наземную цель. Определите дальность полета снаряда. Пушка и ее цель неподвижны и расположены на одном горизонтальном уровне. Сопротивлением воздуха пренебречь. Размеры пушки, снаряда и цели не учитывать.
Первый способ решения. Введем систему координат, ось направим горизонтально,
– вертикально.

Рисунок 4
Запишем уравнения по осям:
Минус этого способа – два уравнения. Плюс – привычные нам оси.
Выражаем :
Подставим скорость в первое уравнение:
Второй способ. Метод тоже аналитический. Выберем другие оси: выберем ось , совпадающую с направлением скорости
, а ось
– перпендикулярно ей.

Рисунок 5
Тогда в проекциях на эту ось (проекция
равна нулю):
Третий способ. Нарисуем векторный треугольник перемещений.

Рисунок 6
Тогда в этом треугольнике
Ответ: .
Задача 2. Мячик бросили со скоростью под углом к горизонту. В полете он находился время
. Чему равна дальность полета мячика, если точки бросания и приземления находятся на одном горизонтальном уровне? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Снова рисуем векторный треугольник перемещений.

Рисунок 7
По теореме Пифагора
Ответ: .
Задача 3. С поверхности земли под углом к горизонту бросают камень со скоростью . Какова максимальная дальность полета камня, если точки бросания и приземления находятся на одном горизонтальном уровне? Сопротивлением воздуха пренебречь.
По аналогии с задачей 2 запишем
Проанализируем выражение под корнем. . Так как выражение под корнем – парабола, то
Тогда
Ответ: .
Задача 4. С обрыва под углом к горизонту бросили камушек со скоростью
м/с. Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость составила
м/с и была направлена под углом
к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок 8
Из того, что дано, заключаем, что конечная и начальная скорость перпендикулярны друг другу. Поэтому можно записать из треугольника скоростей
Ответ:
Задача 5. С обрыва под углом к горизонту бросили камушек со скоростью
м/с. Сколько времени камушек находился в полете, если его конечная скорость была направлена под углом
к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Эта задача – вариант предыдущей. Из данных понимаем, что конечная и начальная скорость перпендикулярны друг другу. Мы в этой задаче не знаем конечную скорость, но знаем угол.
Поэтому можно записать из треугольника скоростей
Откуда
Ответ: .
Задача 6. Камень бросили со скоростью под углом
к горизонту. Чему равен модуль перемещения, если до места падения он летел время
? Сопротивление воздуха не учитывать.
Заметим, что нам не известно, на каком уровне упал камень: на том же самом или ниже.

Рисунок 9
Рассмотрим треугольник перемещений и применим для него теорему косинусов. Тогда
Это готовый ответ.
Задача 7. С крутого берега реки со скоростью бросили камень под углом
к горизонту. С какой скоростью он упал в воду, если до места падения он летел время
? Сопротивление воздуха не учитывать.
В этой задаче мы также применим теорему косинусов для треугольника скоростей.

Рисунок 10
Ответ: .
В авторском решении пуля летит вниз под углом к горизонту. По тексту задачи этого...
Добрый день, почему мы не учитываем вертикальную составляющую скорости системы...
[latexpage] Это объемы, которые я сократила на площадь сечения $S$. Вначале правый сосуд...
Анна, а почему в 27 задании для изотермического процесса умножаем p0 на ho? ведь...
Конечно, нет. Спасибо за...