Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрический подход к баллистическим задачам-3

Статья является продолжением двух первых статей «Геометрический подход к баллистическим задачам кинематики» и «Геометрический подход к баллистическим задачам кинематики»-2

Задача 13. Из точки под разными углами к горизонту бросили два камня с одинаковыми по величине начальными скоростями. Они приземлились в точке , причем время полета первого из них составило , а второго – , .  Точки и находятся на одном горизонтальном уровне. Пренебрегая сопротивлением воздуха, ответьте на вопросы:

а) Чему равна величина начальной скорости камней?

б) Под каким углом к горизонту бросили каждый из камней?

в) Найдите расстояние – горизонтальную дальность полета.

Нарисуем траектории полета камней. Так как второй летел дольше, следовательно, его траектория должна лежать выше первого. Также изобразим векторные треугольники перемещений.

Рисунок 1

Сравним два треугольника. Запишем теорему Пифагора для них, так как углы неизвестны.

   

   

Приравниваем правые части:

   

   

   

Подставим эту найденную нами скорость в любое из выражений, составленных по теореме Пифагора:

   

Определяем углы из треугольников перемещений:

   

   

Тогда

   

Косинусы углов:

   

   

   

Тогда

   

Или

   

Синус принимает одно и то же значение при двух разных углах, дополняющих друг друга до .

Тогда

   

   

Тогда один из углов

   

Это следует из треугольника перемещений:

   

Заметим важный факт: биссектриса угла между векторами начальных скоростей камней будет наклонена под углом к горизонтали.

Обозначим угол между вектором и биссектрисой . Тогда

   

   

   

Ответ: , , , .

 

Задача 14. Из одной точки, расположенной достаточно высоко над поверхностью земли, вылетают две частицы с горизонтальными противоположно направленными скоростями и . Через какое время угол между направлениями скоростей этих частиц станет равным ? На каком расстоянии друг от друга они при этом будут находиться? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решим эту задачу двумя способами. Первый способ.

Рисунок 2

Изобразим векторы скоростей частиц в момент вылета и в исследуемый момент. Заметим, что для обеих частиц длина вектора одинакова. Если обозначить угол меджу начальной и конечной скоростью первой частицы , то для второй частицы этот угол окажется равным .

Тогда треугольники скоростей подобны. Запишем тангенс этого угла из обоих треугольников:

   

Откуда

   

Второй способ.

Скалярное произведение векторов конечных скоростей частиц равно нулю, так как они перпендикулярны друг другу. Тогда

   

   

   

   

   

Тогда

   

Откуда

   

Остался еще один вопрос в этой задаче: расстояние между частицами в этот момент. Для этого перейдем в систему координат, падающую с ускорением . В такой системе частицы удаляются друг от друга со скоростью , тогда они разлетятся на расстояние

   

Ответ: , .

Задача 15. Над горизонтальной поверхностью земли на несколько осколков разорвался снаряд. Они разлетелись во все стороны с одинаковыми по величине начальными скоростями. Осколок, полетевший вертикально вниз, достиг земли за время . Осколок, полетевший вертикально вверх, упал на землю через  время . Пренебрегая сопротивлением воздуха, ответьте на вопросы:

а) Чему равна величина начальной скорости осколков?

б) На какой высоте над землей разорвался снаряд?

в) Сколько времени падали осколки, полетевшие горизонтально?

г) Какое расстояние по горизонтали они преодолели?

Рисунок 3

Так как перемещение тел 1 и 2 одинаково (просто расстояние от точки разрыва до земли), то их можно приравнять. Запишем перемещения обоих тел:

   

Откуда

   

   

Второй вопрос задачи: для определения высоты просто подставим найденную скорость в одно из ранее написанных выражений для перемещения.

   

Третий вопрос: из треугольника перемещений

   

   

Четвертый вопрос: расстояние по горизонтали можно найти, умножив скорость на время полета этих осколков.

   

Ответ: , , , .

Задача 16. В прямоугольной коробке, упруго ударяясь о ее дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает шарик. Промежуток времени между ударами о дно и стенку равен . Дно коробки образует угол с горизонтом. Найдите скорости шарика сразу после ударов.

Рисунок 4

Самое важное в этой задаче то, что шарик прыгает по одной и той же траектории. Действительно, при упругом ударе угол падения равен углу отскока. Если шарик падает на стенку коробки так, что его скорость не перпендикулярна стенке, то при отскоке его траектория отличалась бы от траектории подлета – я показала это дополнительным маленьким рисунком. Следовательно, перпендикулярен стенке. А это значит, что вектора скоростей и  перпендикулярны друг другу.  Нарисуем треугольник скоростей.

Из него следует, что

   

   

Это и будет ответом.

Задача 17. Шарик свободно падает с высоты на наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом. Определите расстояние между ее точками, в которых шарик совершил первый и второй удары. Соударения шарика с плоскостью считать абсолютно упругими.

Заметим, что шарик при отскоках от наклонной плоскости никогда не окажется выше прямой, проведенной через место падения параллельно плоскости. К этому факту вернемся ниже.

Скорость, с которой шарик упадет на плоскость, найти несложно:

   

Нарисуем треугольник перемещений.

Рисунок 5

Он оказывается равнобедренным – это довольно сложно заметить и использовать. Я показала углы на рисунке. Тогда можно приравнять равные стороны этого треугольника:

   

Откуда

   

Теперь опустим в этом треугольнике высоту. Она же будет медианой. Тогда

   

Подставим скорость:

   

Второй способ решения этой задачи:

Рисунок 6

Мы помним, что если тело брошено вверх, то время его полета вверх до максимальной точки подъема и время падения равны. Если ускорение будет равно не , а , то этот факт не изменится. Спроецируем ускорение свободного падения на оси координат:

   

   

Теперь развернем нашу плоскость горизонтально. Тогда время спуска и подъема одинаково, что я и показала на рисунке. Вниз направлено ускорение . Скорость по оси меняется, но по оси – нет. Скорость, с которой ударяемся – равна скорости отскока. Именно поэтому шарик при отскоках от наклонной плоскости никогда не окажется выше прямой, проведенной через место падения параллельно плоскости.

Нарисуем зависимость скорости от времени. Это прямая. Тогда несложно заметить, что применимо правило нечетных чисел: за первый промежуток времени прошли расстояние , за второй такой же – , за следующий и так далее. Тогда до места первого удара по оси шарик пройдет расстояние , и

   

Также это позволит найти число ударов, если известна длина наклонной плоскости.

Ответ: .

Задача 18.  Облетая грозовые тучи, самолет, летящий на восток со скоростью м/с, сделал несколько маневров. Сначала он в течение некоторого времени двигался с ускорением , направленным на юг, в результате чего его скорость выросла до . Затем он летел еще такое же время с ускорением , но направленным на восток. И наконец, он двигался в течение времени с ускорением , направленным на  север. Какой стала скорость самолета, и под каким углом к курсу на восток она направлена после завершения всего маневрирования?

Последовательно нарисуем, что происходило.

Рисунок 7

Тогда из факта, что можно заключить, что .

Тогда из прямоугольного треугольника скоростей

   

Угол найдем из этого же треугольника:

   

Ответ: 300 м/c, .

Задача 19. В область пространства, где создано горизонтальное  однородное электрическое поле с напряженностью , вертикально вверх запускают шарик со скоростью .  Какова минимальная скорость шарика в процессе движения, если его масса равна , а заряд  – ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок 8

Находим ускорение, пользуясь рисунком.

   

Отметим угол, под которым направлено ускорение. Изобразим треугольник скоростей:

Рисунок 9

Поскольку направление искомой скорости неизвестно, изобразим синими линиями возможные направления. Тогда из рисунка становится ясно, что минимальная скорость – это перпендикуляр к направлению ускорения.

   

Определяем косинус угла:

   

Тогда минимальная скорость равна

   

Ответ: .

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *