Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Геометрический подход к баллистическим задачам-2

Статья является продолжением статьи «Геометрический подход к баллистическим задачам кинематики». Теория изложена в первой статье серии.

Задача 8. Камень бросили со скоростью \upsilon_0 под углом \alpha  к горизонту.  Через какое время угол между вектором  скорости камня и горизонтом составит угол \beta? (\beta<\alpha).

Рисунок 1

Нарисуем треугольник скоростей для момента t_1.

Рисунок 2

Скорость в моменты времени t_1 и t_2  нам неизвестна, поэтому будем от нее избавляться. Применим теорему синусов.

    \[\frac{gt_1}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\upsilon_0}{\sin(90^{\circ}-\beta)}\]

Откуда

    \[t_1=\frac{\upsilon_0\sin(\alpha-\beta)}{g\cos{\beta}}\]

Теперь рассмотрим второй момент времени, когда скорость снова направлена под углом \beta к горизонту – t_2. Рисунок изменится:

Рисунок 3

Снова применяем теорему синусов:

    \[\frac{gt_2}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\upsilon_0}{\sin(90^{\circ}-\beta)}\]

Откуда

    \[t_2=\frac{\upsilon_0\sin(\alpha+\beta)}{g\cos{\beta}}\]

Ответ: t_1=\frac{\upsilon_0\sin(\alpha-\beta)}{g\cos{\beta}},

t_2=\frac{\upsilon_0\sin(\alpha+\beta)}{g\cos{\beta}}.

 

Задача 9. Начальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту, равна \upsilon_0=10 м/с, а спустя время \tau=0,8 c скорость камня стала равна \upsilon=6 м/с.  На какую максимальную высоту над уровнем бросания поднимется камень? Сопротивление воздуха не учитывать.

Рисунок 4

Запишем максимальную высоту подъема:

    \[h_m=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}\]

Из треугольника скоростей

    \[\upsilon^2=\upsilon_0^2+(g\tau)^2-2\upsilon_0 g \tau\cdot \cos(90^{\circ}-\alpha)\]

    \[\sin{\alpha}=\frac{\upsilon_0^2+(g\tau)^2-\upsilon^2}{2\upsilon_0 g \tau}\]

Теперь подставим полученный синус в выражение для максимальной высоты:

    \[h_m=\frac{\upsilon_0^2}{2g }\cdot\frac{(\upsilon_0^2+(g\tau)^2-\upsilon^2)^2}{4\upsilon_0^2 g^2 \tau^2}\]

Это способ решения задачи «в лоб». Попробуем упростить решение. На мысль о том, что существует более простое решение, наталкивают числа, данные в задаче.

Рассмотрим треугольник скоростей.

Рисунок 5

Запишем теорему косинусов для него:

    \[\upsilon_0^2=\upsilon^2+(g\tau)^2-2\upsilon g \tau\cdot \cos(90^{\circ}-\alpha)\]

Подставив числа, имеем:

    \[10^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\sin{\beta}\]

Видим, что в левой части уравнения последнее слагаемое равно 0, следовательно, \sin{\beta}=0, \beta=0.

Тогда максимальная высота

    \[\cos{\alpha}=\frac{\upsilon}{\upsilon_0}=0,6\]

    \[\sin{\alpha}=0,8\]

    \[h_m=\frac{\upsilon_0^2\sin^2{\alpha}}{2g}=\frac{100\cdot 0,64}{20}=3,2\]

Ответ: 3,2 м.

Задача 10. Со скалы, возвышающейся над морем на высоту h=15 м, бросили камень со скоростью \upsilon_0=10 м/с. Найти время полета камня, если известно, что непосредственно перед падением в воду его скорость была направлена под углом 120^{\circ} к направлению бросания. Сопротивление воздуха не учитывать.

Рисунок 6

Скорость в момент приводнения не зависит от угла, под которым камень был брошен. Она зависит от начальной скорости и высоты бросания – из закона сохранения энергии. Тогда

    \[2gh=\upsilon^2-\upsilon_0^2\]

    \[\upsilon=\sqrt{\upsilon_0^2+2gh}=\sqrt{10^2+2\cdot10\cdot15}=20\]

Теперь рассматриваем треугольник скоростей и по теореме косинусов найдем время:

    \[(gt)^2=\upsilon^2+\upsilon_0^2-2\upsilon \upsilon_0\cos \alpha\]

Откуда

    \[t=\frac{1}{g}\sqrt{\upsilon^2+\upsilon_0^2-2\upsilon \upsilon_0\cos \alpha }=\frac{1}{10}\sqrt{20^2+10^2-2\cdot20 \cdot10\cos 120^{\circ}}=0,1\sqrt{500+400\cdot \frac{1}{2}}=2,6\]

Ответ: t=2,6 с.

Задача 11. Камень бросают с высоты h=4 м вверх под углом \alpha=45^{\circ} к горизонту так, что к поверхности земли он подлетает под углом  \beta=60^{\circ}. Какое расстояние по горизонтали пролетит камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.

В этой задаче очень мало что известно. Поэтому кажется, что геометрический подход неприменим. Но здесь мы вспомним свойство, упомянутое в предыдущей статье: длина медианы треугольника скоростей равна \frac{\vec{S}}{t}.

Рисунок 7

А медиана в треугольнике делит противоположную сторону пополам, и для обеих половинок можно из рисунка записать:

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha}+\frac{h}{t}=\upsilon \sin{\beta}-\frac{h}{t}\]

Определим время:

    \[\frac{2h}{\upsilon \sin{\beta}-\upsilon_0 \sin{\alpha}}\]

Тогда

    \[L=\upsilon_0 \cos{\alpha}t=\frac{2h\upsilon_0\cos{\alpha}}{\upsilon \sin{\beta}-\upsilon_0 \sin{\alpha}}=\frac{2h\cos{\alpha}}{\frac{\upsilon}{\upsilon_0}\sin{\beta}-\sin{\alpha}}\]

Также используем факт, что горизонтальная составляющая скорости неизменна:

    \[\upsilon_0\cos{\alpha}=\upsilon \cos{\beta}\]

    \[\frac{\upsilon }{\upsilon_0}=\frac{\cos{\alpha}}{\cos{\beta}}\]

Тогда

    \[L=\frac{2h\cos{\alpha}}{\cos{\alpha}\operatorname{tg}{\beta}-\sin{\alpha}}=\frac{2h}{\operatorname{tg}{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{8}{\sqrt{3}-1}=10,9\]

Ответ: L=10,9 м.

Второй способ решения этой задачи – записать двумя разными способами площадь треугольника скоростей.

    \[S=\frac{1}{2}\upsilon_0\upsilon\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}gt\upsilon_x\]

    \[L=t\upsilon_x\]

    \[L=\frac{\upsilon_0\upsilon\sin(\alpha+\beta)}{g}\]

Далее надо было бы решить систему:

    \[\begin{Bmatrix}{\upsilon_0\cos{\alpha}=\upsilon \cos{\beta}}\\{\upsilon^2=\upsilon_0^2+2gh}\end{matrix}\]

Решение будет более длинным, но приведет к тому же ответу.

Задача 12. С поверхности земли под углом к горизонту бросают камень. Через время \tau он падает на поверхность холма, причем со скоростью, перпендикулярной начальной. Чему равно расстояние между точками броска и приземления? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рисунок 8

Из треугольника скоростей (который будет прямоугольным) видно, что медиана в этом случае является радиусом описанной окружности, поэтому

    \[\frac{S}{t}=\frac{g\tau}{2}\]

    \[S=\frac{g \tau^2}{2}\]

Ответ: S=\frac{g \tau^2}{2}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *