Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 9 класс, ОГЭ (ГИА) по математике, ОГЭ 25 (ГИА С5)

Геометрические задачи на доказательство с окружностями


Все задачи взяты из книги “ОГЭ 2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко”

Задача 1. Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки В и С пересекаются в точке P. Докажите, что треугольник APD равнобедренный.

К задаче 1

Вспомним, что равные хорды всегда стягивают равные дуги. А равные дуги соответствуют равным центральным углам, и также равным вписанным углам, если они опираются на такие дуги. Рассмотрим углы ADB и DAC. Это как раз вписанные углы, которые опираются на равные дуги окружности AB и DC.

 Теперь рассмотрим углы BAC и BDC. Эти углы являются вписанными, и опираются на одну дугу – BC, и поэтому они также равны. Получили, что угол BAD равен углу ADC, так как они представляют собой суммы равных углов. А раз углы при основании треугольника APD равны, то он является равнобедренным, ч.т.д.

 

Задача 2. Из концов диаметра АВ окружности опущены перпендикуляры AA_1 и  BB_1 на касательную. Докажите, что точка касания С является серединой отрезка A_1B_1.

К задаче 2

Так как AA_1 и BB_1 перпендикулярны A_1B_1, то они параллельны. Проведем OC – радиус окружности к точке касания. По теореме о касательной и радиусе, проведенном в точку касания, отрезок OC перпендикулярен A_1B_1, а, следовательно, параллелен AA_1 и BB_1. Имеем таким образом трапецию AA_1BB_1, а так как AO=OB – это радиусы, то OC – средняя линия данной трапеции, и, таким образом, A_1C=CB_1, то есть точка С – середина A_1B_1, ч.т.д.

 

Задача 3. К двум окружностям с центрами в точках O_1O_2, касающимся внешним образом в точке А, проведена общая касательная ВС, (В и С – точки касания). Докажите, что угол ВАС прямой.

К задаче 3

 Проведем радиусы O_1B и O_2C. Эти радиусы проведены в точки касания, и поэтому перпендикулярны BC. Тогда углы O_1BC и BCO_2 – прямые. Пусть угол  O_1BA={alpha}, а угол  ACO_2={beta}. Тогда угол  ACB=90-{beta}, а угол  ABC=90-{alpha}. Теперь рассмотрим треугольник ABC: сумма его углов равна  180{circ}.

Найдем угол ВАС:  BAC=180{circ}-{ACB}-{ABC}, или alpha+beta. Теперь рассмотрим треугольники   AO_1B и AO_2C. Они равнобедренные, так как образованы радиусами. Тогда углы при их основаниях равны. Угол  O_1AO_2 – развернутый, и равен  {O_1AO_2}=alpha+beta+BAC=180{circ}. Подставим в это равенство ранее полученное: {BAC}=alpha+beta, получим:  O_1AO_2={alpha}+{beta}+{alpha}+{beta}=180{circ}, или 2{alpha}+2{beta}=180{circ}, тогда {alpha}+{beta}=90{circ}, и  BAC={alpha}+{beta}=90{circ}, ч.т.д.

 

Задача 4. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.

К задаче 4

 Достроим радиусы окружностей  O_1A, O_1B, O_2A, O_2B и рассмотрим треугольники   O_1AB и  ABO_2. Они равнобедренные, так как их боковые стороны – радиусы. Тогда фигура O_1AO_2B – ромбоид, а у ромбоида диагонали, как и у ромба, перпендикулярны.

Второй способ доказать: углы  O_1AB= O_1BA и  O_2AB=O_2BA, и соответственно, равны углы  O_1AO_2=O_1ABO_2. Тогда треугольники  O_1AO_2 и O_1ABO_2 равны по первому признаку (O_1A=O_1BO_2A=O_2B,

углы O_1AO_2=O_1BO_2). Получается, что отрезок DO_2 – биссектриса угла AO_2B, а так как треугольник  AO_2B равнобедренный, то и высота. Аналогично доказываем, что DO_1 – также высота.

 

Задача 5. На стороне равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. Докажите, что она делится на три равные части точками ее пересечения с двумя другими сторонами треугольника.

К задаче 5

 Отметим середину отрезка AC O,  – это центр нашей рыжей окружности. Центр окружности О соединим отрезками с точками D и E. Углы DAO и ECO равны по условию 60{circ}, и, так

как  EO=OC,  AO=OD (радиусы), то треугольники DAO и ECO – равнобедренные, и, более того, равносторонние. Тогда угол DEO:  DEO=180{circ}-DOA-EOC=60{circ}, а раз равны центральные углы, то равны и дуги окружности, им соответствующие, ч.т.д.

 

Задача 6. Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

К задаче 6

Рассмотрим угол ADC. Он вписанный, опирается на дугу ABC. Противоположный углу ADC угол четырехугольника – ABC – тоже вписанный, опирается на дугу ADC. Вместе обе дуги образуют целую окружность, или соответствуют центральному углу 360{circ}, тогда сумма вписанных углов вдвое меньше, то есть  180{circ}, ч.т.д.

 

Задача 7. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Проведем радиусы в точки касания: IK и CJ. Эти радиусы перпендикулярны касательной и треугольники IKO и CJO прямоугольные. Кроме того, углы KOI и JOC равны как вертикальные и, таким образом, треугольники подобны по двум углам. Тогда, если их гипотенузы относятся как m:n, то и катеты будут относиться в такой же пропорции:  KI:CJ=m:n, ч.т.д.

К задаче 7

К задаче 7

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *