Все задачи взяты из книги “ОГЭ 2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко”
Задача 1. Продолжения равных хорд и
окружности соответственно за точки В и С пересекаются в точке P. Докажите, что треугольник APD равнобедренный.

К задаче 1
Вспомним, что равные хорды всегда стягивают равные дуги. А равные дуги соответствуют равным центральным углам, и также равным вписанным углам, если они опираются на такие дуги. Рассмотрим углы ADB и DAC. Это как раз вписанные углы, которые опираются на равные дуги окружности AB и DC.
Теперь рассмотрим углы BAC и BDC. Эти углы являются вписанными, и опираются на одну дугу – BC, и поэтому они также равны. Получили, что угол BAD равен углу ADC, так как они представляют собой суммы равных углов. А раз углы при основании треугольника APD равны, то он является равнобедренным, ч.т.д.
Задача 2. Из концов диаметра АВ окружности опущены перпендикуляры и
на касательную. Докажите, что точка касания С является серединой отрезка
.

К задаче 2
Так как и
перпендикулярны
, то они параллельны. Проведем
– радиус окружности к точке касания. По теореме о касательной и радиусе, проведенном в точку касания, отрезок OC перпендикулярен
, а, следовательно, параллелен
и
. Имеем таким образом трапецию
, а так как
– это радиусы, то
– средняя линия данной трапеции, и, таким образом,
, то есть точка С – середина
, ч.т.д.
Задача 3. К двум окружностям с центрами в точках ,
, касающимся внешним образом в точке А, проведена общая касательная ВС, (В и С – точки касания). Докажите, что угол ВАС прямой.

К задаче 3
Проведем радиусы и
. Эти радиусы проведены в точки касания, и поэтому перпендикулярны BC. Тогда углы
и
– прямые. Пусть угол
, а угол
. Тогда угол
, а угол
. Теперь рассмотрим треугольник ABC: сумма его углов равна
.
Найдем угол ВАС: , или
. Теперь рассмотрим треугольники
и
. Они равнобедренные, так как образованы радиусами. Тогда углы при их основаниях равны. Угол
– развернутый, и равен
. Подставим в это равенство ранее полученное:
, получим:
, или
, тогда
, и
, ч.т.д.
Задача 4. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.

К задаче 4
Достроим радиусы окружностей и рассмотрим треугольники
и
. Они равнобедренные, так как их боковые стороны – радиусы. Тогда фигура
– ромбоид, а у ромбоида диагонали, как и у ромба, перпендикулярны.
Второй способ доказать: углы и
, и соответственно, равны углы
. Тогда треугольники
и
равны по первому признаку (
,
,
углы ). Получается, что отрезок
– биссектриса угла
, а так как треугольник
равнобедренный, то и высота. Аналогично доказываем, что
– также высота.
Задача 5. На стороне равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. Докажите, что она делится на три равные части точками ее пересечения с двумя другими сторонами треугольника.

К задаче 5
Отметим середину отрезка AC O, – это центр нашей рыжей окружности. Центр окружности О соединим отрезками с точками D и E. Углы DAO и ECO равны по условию , и, так
как ,
(радиусы), то треугольники DAO и ECO – равнобедренные, и, более того, равносторонние. Тогда угол DEO:
, а раз равны центральные углы, то равны и дуги окружности, им соответствующие, ч.т.д.
Задача 6. Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

К задаче 6
Рассмотрим угол ADC. Он вписанный, опирается на дугу ABC. Противоположный углу ADC угол четырехугольника – ABC – тоже вписанный, опирается на дугу ADC. Вместе обе дуги образуют целую окружность, или соответствуют центральному углу , тогда сумма вписанных углов вдвое меньше, то есть
, ч.т.д.
Задача 7. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как
.
Проведем радиусы в точки касания: IK и CJ. Эти радиусы перпендикулярны касательной и треугольники IKO и CJO прямоугольные. Кроме того, углы KOI и JOC равны как вертикальные и, таким образом, треугольники подобны по двум углам. Тогда, если их гипотенузы относятся как , то и катеты будут относиться в такой же пропорции:
, ч.т.д.

К задаче 7

К задаче 7
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Вот в том и вопрос, что при решении задачи 20 используется геометрия треугольника...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...