Геометрические задачи на доказательство. Признаки равенства треугольников.

Все задачи взяты из книги “ОГЭ 2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко”

Задача 1. Два отрезка  и  пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников  и .

К задаче 1

 Рассмотрим треугольники COB и AOD. Они имеют равные стороны: CO=OD, AO=OB – по условию. Угол COB равен углу AOD (вертикальные). Таким образом, треугольники COB и AOD равны по первому признаку. Тогда CB=AD.

Рассмотрим треугольники COA и BOD. Они имеют равные стороны: CO=OD, AO=OB – по условию. Угол COA равен углу BOD (вертикальные). Таким образом, треугольники COA и BOD равны по первому признаку. Тогда CA=BD.

Треугольники ACD и  BDC имеют общую сторону – CD. Таким образом, они равны по третьему признаку, ч.т.д.

Задача 2. Лучи  и  пересекаются в точке О, угол 1 равен углу 2,  . Докажите, что  .

К задаче 2

 Чтобы доказать, что ОА=ОВ, потребуется доказать равенство треугольников AOC и OBD. В этих треугольниках мы имеем один равный элемент: нам дано, что OC=OD. Также известно, что угол 1 равен углу 2. Тогда угол , а угол , а это значит, что угол . Добавим к этому еще равенство углов AOC и BOD – они вертикальные. Таким образом, имеем равную сторону и два равных прилегающих к ней угла – а это второй признак равенства треугольников. Раз треугольники равны, то равны и их элементы: OA=OB, ч.т.д.

Задача 3. В треугольнике ABC  и угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол 3 равен углу 4.

К задаче 3

Рассмотрим треугольник АВС. Нам дано, что он равнобедренный. А это значит, что углы при его основании равны: угол C равен углу В. Тогда треугольники CDA и ABE равны по второму признаку: угол 1 равен углу 2 по условию, CA=AB. Тогда в этих треугольниках равны соответствующие элементы: DA=AE. Это значит, что, в свою очередь, треугольник DEA тоже равнобедренный. А это означает, что углы при его основании равны, т.е. угол 3 равен углу 4, ч.т.д.

Задача 4. На рисунке  и . Докажите, что .

К задаче 4

Равенство BD и CE  можно доказать, если удастся доказать равенство треугольников ABD и AEC.

Поскольку  и , то . Угол A у данных треугольников общий, таким образом, они равны по первому признаку. А это означает, что  , ч.т.д.

Задача 5. Докажите, что у равных треугольников  и  медианы, проведенные из вершин  и , равны.

Так как , то , то есть  , а еще из равенства треугольников следует, что . Так как треугольники  и  равны по условию, то равны и углы: угол  равен углу . Но тогда у треугольников  и  равны углы и прилегающие стороны, они равны по первому признаку. Тогда , ч.т.д.

К задаче 5