Все задачи взяты из книги “ОГЭ 2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко”
Задача 1. Два отрезка и
пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников
и
.

К задаче 1
Рассмотрим треугольники COB и AOD. Они имеют равные стороны: CO=OD, AO=OB – по условию. Угол COB равен углу AOD (вертикальные). Таким образом, треугольники COB и AOD равны по первому признаку. Тогда CB=AD.
Рассмотрим треугольники COA и BOD. Они имеют равные стороны: CO=OD, AO=OB – по условию. Угол COA равен углу BOD (вертикальные). Таким образом, треугольники COA и BOD равны по первому признаку. Тогда CA=BD.
Треугольники ACD и BDC имеют общую сторону – CD. Таким образом, они равны по третьему признаку, ч.т.д.
Задача 2. Лучи и
пересекаются в точке О, угол 1 равен углу 2,
. Докажите, что
.

К задаче 2
Чтобы доказать, что ОА=ОВ, потребуется доказать равенство треугольников AOC и OBD. В этих треугольниках мы имеем один равный элемент: нам дано, что OC=OD. Также известно, что угол 1 равен углу 2. Тогда угол , а угол
, а это значит, что угол
. Добавим к этому еще равенство углов AOC и BOD – они вертикальные. Таким образом, имеем равную сторону и два равных прилегающих к ней угла – а это второй признак равенства треугольников. Раз треугольники равны, то равны и их элементы: OA=OB, ч.т.д.
Задача 3. В треугольнике ABC и угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол 3 равен углу 4.

К задаче 3
Рассмотрим треугольник АВС. Нам дано, что он равнобедренный. А это значит, что углы при его основании равны: угол C равен углу В. Тогда треугольники CDA и ABE равны по второму признаку: угол 1 равен углу 2 по условию, CA=AB. Тогда в этих треугольниках равны соответствующие элементы: DA=AE. Это значит, что, в свою очередь, треугольник DEA тоже равнобедренный. А это означает, что углы при его основании равны, т.е. угол 3 равен углу 4, ч.т.д.
Задача 4. На рисунке и
. Докажите, что
.

К задаче 4
Равенство BD и CE можно доказать, если удастся доказать равенство треугольников ABD и AEC.
Поскольку и
, то
. Угол A у данных треугольников общий, таким образом, они равны по первому признаку. А это означает, что
, ч.т.д.
Задача 5. Докажите, что у равных треугольников и
медианы, проведенные из вершин
и
, равны.
Так как , то
, то есть
, а еще из равенства треугольников следует, что
. Так как треугольники
и
равны по условию, то равны и углы: угол
равен углу
. Но тогда у треугольников
и
равны углы и прилегающие стороны, они равны по первому признаку. Тогда
, ч.т.д.

К задаче 5
Все верно, Антон. Ошибок...
2 задача- во втором случае чашка a не весит НИЧЕГО!...
А куда делся квадрат синуса альфа в точке...
К зад.20 и аналогичным: Вектор конечной скорости можно разложить на...
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...