Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 9 класс, ОГЭ (ГИА) по математике, ОГЭ 25 (ГИА С5)

Геометрические задачи на доказательство. Признаки равенства треугольников.


Все задачи взяты из книги “ОГЭ 2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко”

Задача 1. Два отрезка AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.

К задаче 1

 Рассмотрим треугольники COB и AOD. Они имеют равные стороны: CO=OD, AO=OB – по условию. Угол COB равен углу AOD (вертикальные). Таким образом, треугольники COB и AOD равны по первому признаку. Тогда CB=AD.

Рассмотрим треугольники COA и BOD. Они имеют равные стороны: CO=OD, AO=OB – по условию. Угол COA равен углу BOD (вертикальные). Таким образом, треугольники COA и BOD равны по первому признаку. Тогда CA=BD.

Треугольники ACD и  BDC имеют общую сторону – CD. Таким образом, они равны по третьему признаку, ч.т.д.

 

Задача 2. Лучи AD и BC пересекаются в точке О, угол 1 равен углу 2,  OC=OD. Докажите, что  OA=OB.

К задаче 2

 Чтобы доказать, что ОА=ОВ, потребуется доказать равенство треугольников AOC и OBD. В этих треугольниках мы имеем один равный элемент: нам дано, что OC=OD. Также известно, что угол 1 равен углу 2. Тогда угол ACO=180{circ}- 1, а угол BDO=180{circ}-2, а это значит, что угол ACO=BDO. Добавим к этому еще равенство углов AOC и BOD – они вертикальные. Таким образом, имеем равную сторону и два равных прилегающих к ней угла – а это второй признак равенства треугольников. Раз треугольники равны, то равны и их элементы: OA=OB, ч.т.д.

Задача 3. В треугольнике ABC AB=AC и угол 1 равен углу 2. Докажите, что угол 3 равен углу 4.

К задаче 3

Рассмотрим треугольник АВС. Нам дано, что он равнобедренный. А это значит, что углы при его основании равны: угол C равен углу В. Тогда треугольники CDA и ABE равны по второму признаку: угол 1 равен углу 2 по условию, CA=AB. Тогда в этих треугольниках равны соответствующие элементы: DA=AE. Это значит, что, в свою очередь, треугольник DEA тоже равнобедренный. А это означает, что углы при его основании равны, т.е. угол 3 равен углу 4, ч.т.д.

 

Задача 4. На рисунке BE=CD и AE=AD. Докажите, что BD=CE.

К задаче 4

Равенство BD и CE  можно доказать, если удастся доказать равенство треугольников ABD и AEC.

Поскольку BE=CD и AE=AD, то BA=AC. Угол A у данных треугольников общий, таким образом, они равны по первому признаку. А это означает, что  BD=EC, ч.т.д.

 

Задача 5. Докажите, что у равных треугольников ABC и A_1B_1C_1 медианы, проведенные из вершин A и A_1, равны.

Так как BC=B_1C_1, то {1/2}BC={1/2}B_1C_1, то есть  BD=B_1D_1, а еще из равенства треугольников следует, что AB=A_1B_1. Так как треугольники ABC и A_1B_1C_1 равны по условию, то равны и углы: угол ABC равен углу A_1B_1C_1. Но тогда у треугольников ABD и A_1B_1D_1 равны углы и прилегающие стороны, они равны по первому признаку. Тогда AD=A_1D_1, ч.т.д.

К задаче 5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *