Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 10-11 класс, 9 класс, Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Геометрическая задача и два способа ее решения.

Сегодня я предлагаю вашему вниманию интересную геометрическую задачу. Попробуйте решить ее самостоятельно прежде, чем посмотреть решение. Я предлагаю два способа решения этой задачи: первый основан на свойстве биссектрисы о пропорциональном делении ею противолежащей стороны, а второй, предложенный Инной Фельдман (сайт ЕГЭ?ОК!) – на теореме синусов.

Задача: в равнобедренном треугольнике KLM  проведены биссектриса KK_1  и медиана LL_1, причем отношение \frac { KK_1}{ LL_1}=\frac {2}{1}. Необходимо найти величину угла \angle{KLM}.


 

Чертеж к задаче

Первое решение – на основе свойства биссектрисы.

Известно, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых относятся так же, как стороны угла, для которого проведена биссектриса. Именно этим свойством мы и воспользуемся.

Обозначим точку пересечения KK_1  и  LL_1 буквой O. Медиана  LL_1 проведена в равнобедренном треугольнике, поэтому является также биссектрисой и высотой.

1.Для биссектрисы KO в треугольнике  KLL_1  запишем: \frac { LO}{ OL_1}=\frac {KL}{KL_1}.

2.Для биссектрисы KK_1 в треугольнике  KLM  запишем: \frac { LK_1}{ K_1M}=\frac {KL}{KM}.

3.Для биссектрисы LO в треугольнике  KLK_1  запишем: \frac { K_{1}O}{ KO}=\frac {LK_1}{KL}.

Так как K_1M=LM-LK_1, то  \frac { LK_1}{ LM-LK_1}=\frac {KL}{KM}. Решив по правилу пропорции это равенство и выразив из него LK_1, получим:

LK_1=\frac {{LM}^2}{LM+KM}.

Полученное выше выражение подставим в 3, тогда получится:

\frac { K_{1}O}{ KO}=\frac {\frac {{LM}^2}{LM+KM}}{KL}, а так как KL=KM, то имеем \frac { K_{1}O}{ KO}=\frac{LM}{LM+KM}, или

{ K_{1}O}={ KO}\times{\frac{LM}{LM+KM}}

Теперь запишем отрезок KK_1:

    \[KK_1=K_1O+KO=KO\times(1+\frac{LM}{LM+KM})\]

Таким образом, длина биссектрисы KK_1 выражена нами через длины сторон треугольника. Проделаем то же и со второй биссектрисой – LL_1:

    \[LL_1=LO+OL_1\]

Тогда из (1):

    \[LL_1=LO+LO\times{\frac{\frac{KM}{2}}{KL}}=LO\times(\frac{2KL+KM}{2KL})\]

По условию задачи \frac { KK_1}{ LL_1}=\frac {2}{1}, то есть

    \[\frac { KK_1}{ LL_1}={\frac{KO}{LO}} \times {\frac{1+\frac{LM}{LM+KM}}{\frac{2KL+KM}{2KL}}}\]

После упрощений получим:

    \[{\frac{LO}{KO}}={\frac{LM}{LM+KM}}=\frac { K_{1}O}{ KO}\]

откуда следует вывод, что LO=K_{1}O, и треугольник LOK_1 – равнобедренный, то есть углы при его основании равны:

    \[\angle 3\alpha = \angle \beta\]

Надо отметить, что угол \angle LK_1O равен утроенному углу \angle \alpha, так как является внешним углом треугольника KK_1M, сумма несмежных с ним углов которого как раз и равна 3\alpha (см. рисунок).

Тогда сумма углов треугольника KLM:

    \[4\alpha + 2\beta = 180 ^\circ\]

    \[4\alpha + 6\alpha = 180 ^\circ\]

    \[\alpha  = 18 ^\circ\]

Тогда

    \[\angle KLM=\angle 2\beta  = 108 ^\circ\]

Второе решение куда более лаконично и красиво: запишем теорему синусов для треугольников KLL_1 и KLK_1.

Тогда: \frac{l}{sin{2\alpha}}=\frac{KL}{sin{90^\circ}}

\frac{2l}{sin{2\beta}}=\frac{KL}{sin{3\alpha}}

Выразим KL из обоих равенств и приравняем полученные выражения:

\frac{1}{sin{2\alpha}}=\frac{2sin 3\alpha}{sin 2\beta}}

или \frac{1}{sin{2\alpha}}=\frac{2sin 3\alpha}{2sin \beta cos\beta}}

Известно, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу второго и наоборот, поэтому sin{2\alpha}= cos\beta}}, тогда

{sin{3\alpha}}=sin {\beta}, а 3\alpha=\beta – далее решение аналогично, по теореме о сумме углов треугольника.

Решайте больше хороших задач!

Комментариев - 2

  • Александр
    |

    Если вас заинтересует, то могу и 3 вариант решения данной задачи предложить х)))

    Ответить
    • Анна
      |

      Конечно, заинтересует, выкладывайте!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *