Геометрическая задача и два способа ее решения.

Сегодня я предлагаю вашему вниманию интересную геометрическую задачу. Попробуйте решить ее самостоятельно прежде, чем посмотреть решение. Я предлагаю два способа решения этой задачи: первый основан на свойстве биссектрисы о пропорциональном делении ею противолежащей стороны, а второй, предложенный Инной Фельдман (сайт ЕГЭ?ОК!) – на теореме синусов.

Задача: в равнобедренном треугольнике   проведены биссектриса   и медиана , причем отношение . Необходимо найти величину угла .

Чертеж к задаче

Первое решение – на основе свойства биссектрисы.

Известно, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых относятся так же, как стороны угла, для которого проведена биссектриса. Именно этим свойством мы и воспользуемся.

Обозначим точку пересечения   и  буквой . Медиана  проведена в равнобедренном треугольнике, поэтому является также биссектрисой и высотой.

1.Для биссектрисы в треугольнике    запишем: .

2.Для биссектрисы в треугольнике    запишем: .

3.Для биссектрисы в треугольнике    запишем: .

Так как , то  . Решив по правилу пропорции это равенство и выразив из него , получим:

.

Полученное выше выражение подставим в 3, тогда получится:

, а так как , то имеем , или

Теперь запишем отрезок :

Таким образом, длина биссектрисы выражена нами через длины сторон треугольника. Проделаем то же и со второй биссектрисой – :

Тогда из (1):

По условию задачи , то есть

После упрощений получим:

откуда следует вывод, что , и треугольник – равнобедренный, то есть углы при его основании равны:

Надо отметить, что угол равен утроенному углу , так как является внешним углом треугольника , сумма несмежных с ним углов которого как раз и равна (см. рисунок).

Тогда сумма углов треугольника :

Тогда

Второе решение куда более лаконично и красиво: запишем теорему синусов для треугольников и .

Тогда:

Выразим из обоих равенств и приравняем полученные выражения:

или 

Известно, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу второго и наоборот, поэтому , тогда

, а  – далее решение аналогично, по теореме о сумме углов треугольника.

Решайте больше хороших задач!