Сегодня я предлагаю вашему вниманию интересную геометрическую задачу. Попробуйте решить ее самостоятельно прежде, чем посмотреть решение. Я предлагаю два способа решения этой задачи: первый основан на свойстве биссектрисы о пропорциональном делении ею противолежащей стороны, а второй, предложенный Инной Фельдман (сайт ЕГЭ?ОК!) – на теореме синусов.
Задача: в равнобедренном треугольнике проведены биссектриса
и медиана
, причем отношение
. Необходимо найти величину угла
.

Чертеж к задаче
Первое решение – на основе свойства биссектрисы.
Известно, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых относятся так же, как стороны угла, для которого проведена биссектриса. Именно этим свойством мы и воспользуемся.
Обозначим точку пересечения и
буквой
. Медиана
проведена в равнобедренном треугольнике, поэтому является также биссектрисой и высотой.
1.Для биссектрисы в треугольнике
запишем:
.
2.Для биссектрисы в треугольнике
запишем:
.
3.Для биссектрисы в треугольнике
запишем:
.
Так как , то
. Решив по правилу пропорции это равенство и выразив из него
, получим:
.
Полученное выше выражение подставим в 3, тогда получится:
, а так как
, то имеем
, или
Теперь запишем отрезок :
Таким образом, длина биссектрисы выражена нами через длины сторон треугольника. Проделаем то же и со второй биссектрисой –
:
Тогда из (1):
По условию задачи , то есть
После упрощений получим:
откуда следует вывод, что , и треугольник
– равнобедренный, то есть углы при его основании равны:
Надо отметить, что угол равен утроенному углу
, так как является внешним углом треугольника
, сумма несмежных с ним углов которого как раз и равна
(см. рисунок).
Тогда сумма углов треугольника :
Тогда
Второе решение куда более лаконично и красиво: запишем теорему синусов для треугольников и
.
Тогда:
Выразим из обоих равенств и приравняем полученные выражения:
или
Известно, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу второго и наоборот, поэтому , тогда
, а
– далее решение аналогично, по теореме о сумме углов треугольника.
Решайте больше хороших задач!
Комментариев - 2
Если вас заинтересует, то могу и 3 вариант решения данной задачи предложить х)))
Конечно, заинтересует, выкладывайте!