Геометрическая задача и два способа ее решения.

[latexpage]

Сегодня я предлагаю вашему вниманию интересную геометрическую задачу. Попробуйте решить ее самостоятельно прежде, чем посмотреть решение. Я предлагаю два способа решения этой задачи: первый основан на свойстве биссектрисы о пропорциональном делении ею противолежащей стороны, а второй, предложенный Инной Фельдман (сайт ЕГЭ?ОК!) – на теореме синусов.

Задача: в равнобедренном треугольнике $KLM$  проведены биссектриса $KK_1$  и медиана $LL_1$, причем отношение $\frac { KK_1}{ LL_1}=\frac {2}{1}$. Необходимо найти величину угла $\angle{KLM}$.

Чертеж к задаче

Первое решение – на основе свойства биссектрисы.

Известно, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых относятся так же, как стороны угла, для которого проведена биссектриса. Именно этим свойством мы и воспользуемся.

Обозначим точку пересечения $KK_1$  и  $LL_1$ буквой $O$. Медиана  $LL_1$ проведена в равнобедренном треугольнике, поэтому является также биссектрисой и высотой.

1.Для биссектрисы $KO$ в треугольнике  $KLL_1$  запишем: $\frac { LO}{ OL_1}=\frac {KL}{KL_1}$.

2.Для биссектрисы $KK_1$ в треугольнике  $KLM$  запишем: $\frac { LK_1}{ K_1M}=\frac {KL}{KM}$.

3.Для биссектрисы $LO$ в треугольнике  $KLK_1$  запишем: $\frac { K_{1}O}{ KO}=\frac {LK_1}{KL}$.

Так как $K_1M=LM-LK_1$, то  $\frac { LK_1}{ LM-LK_1}=\frac {KL}{KM}$. Решив по правилу пропорции это равенство и выразив из него $LK_1$, получим:

$LK_1=\frac {{LM}^2}{LM+KM}$.

Полученное выше выражение подставим в 3, тогда получится:

$\frac { K_{1}O}{ KO}=\frac {\frac {{LM}^2}{LM+KM}}{KL}$, а так как $KL=KM$, то имеем $\frac { K_{1}O}{ KO}=\frac{LM}{LM+KM}$, или

$ { K_{1}O}={ KO}\times{\frac{LM}{LM+KM}}$

Теперь запишем отрезок $KK_1$:

$$KK_1=K_1O+KO=KO\times(1+\frac{LM}{LM+KM})$$

Таким образом, длина биссектрисы $KK_1$ выражена нами через длины сторон треугольника. Проделаем то же и со второй биссектрисой – $LL_1$:

$$LL_1=LO+OL_1$$

Тогда из (1):

$$LL_1=LO+LO\times{\frac{\frac{KM}{2}}{KL}}=LO\times(\frac{2KL+KM}{2KL})$$

По условию задачи $\frac { KK_1}{ LL_1}=\frac {2}{1}$, то есть

$$\frac { KK_1}{ LL_1}={\frac{KO}{LO}} \times {\frac{1+\frac{LM}{LM+KM}}{\frac{2KL+KM}{2KL}}}$$

После упрощений получим:

$${\frac{LO}{KO}}={\frac{LM}{LM+KM}}=\frac { K_{1}O}{ KO}$$ откуда следует вывод, что $LO=K_{1}O$, и треугольник $LOK_1$ – равнобедренный, то есть углы при его основании равны:

$$\angle 3\alpha = \angle \beta$$

Надо отметить, что угол $\angle LK_1O$ равен утроенному углу $\angle \alpha$, так как является внешним углом треугольника $KK_1M$, сумма несмежных с ним углов которого как раз и равна $3\alpha $ (см. рисунок).

Тогда сумма углов треугольника $KLM$:

$$4\alpha + 2\beta = 180 ^\circ$$

$$4\alpha + 6\alpha = 180 ^\circ$$

$$ \alpha  = 18 ^\circ$$

Тогда $$\angle KLM=\angle 2\beta  = 108 ^\circ$$

Второе решение куда более лаконично и красиво: запишем теорему синусов для треугольников $KLL_1$ и $KLK_1$.

Тогда: $\frac{l}{sin{2\alpha}}=\frac{KL}{sin{90^\circ}}$

$\frac{2l}{sin{2\beta}}=\frac{KL}{sin{3\alpha}}$

Выразим $KL$ из обоих равенств и приравняем полученные выражения:

$\frac{1}{sin{2\alpha}}=\frac{2sin 3\alpha}{sin 2\beta}}$

или $\frac{1}{sin{2\alpha}}=\frac{2sin 3\alpha}{2sin \beta cos\beta}}$

Известно, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу второго и наоборот, поэтому $sin{2\alpha}= cos\beta}}$, тогда

${sin{3\alpha}}=sin {\beta} $, а $3\alpha=\beta $ – далее решение аналогично, по теореме о сумме углов треугольника.

Решайте больше хороших задач!