Геометрическая задача и два способа ее решения.

Сегодня я предлагаю вашему вниманию интересную геометрическую задачу. Попробуйте решить ее самостоятельно прежде, чем посмотреть решение. Я предлагаю два способа решения этой задачи: первый основан на свойстве биссектрисы о пропорциональном делении ею противолежащей стороны, а второй, предложенный Инной Фельдман (сайт ЕГЭ?ОК!) – на теореме синусов.

Задача: в равнобедренном треугольнике $KLM$ проведены биссектриса $KK_1$ и медиана $LL_1$ , причем отношение $\frac { KK_1}{ LL_1}=\frac {2}{1}$ . Необходимо найти величину угла $\angle{KLM}$ .

Чертеж к задаче

Первое решение – на основе свойства биссектрисы.

Известно, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых относятся так же, как стороны угла, для которого проведена биссектриса. Именно этим свойством мы и воспользуемся.

Обозначим точку пересечения $KK_1$ и $LL_1$ буквой $O$ . Медиана $LL_1$ проведена в равнобедренном треугольнике, поэтому является также биссектрисой и высотой.

1.Для биссектрисы $KO$ в треугольнике $KLL_1$ запишем: $\frac { LO}{ OL_1}=\frac {KL}{KL_1}$ .

2.Для биссектрисы $KK_1$ в треугольнике $KLM$ запишем: $\frac { LK_1}{ K_1M}=\frac {KL}{KM}$ .

3.Для биссектрисы $LO$ в треугольнике $KLK_1$ запишем: $\frac { K_{1}O}{ KO}=\frac {LK_1}{KL}$ .

Так как $K_1M=LM-LK_1$ , то $\frac { LK_1}{ LM-LK_1}=\frac {KL}{KM}$ . Решив по правилу пропорции это равенство и выразив из него $LK_1$ , получим:

$LK_1=\frac {{LM}^2}{LM+KM}$ .

Полученное выше выражение подставим в 3, тогда получится:

$\frac { K_{1}O}{ KO}=\frac {\frac {{LM}^2}{LM+KM}}{KL}$ , а так как $KL=KM$ , то имеем $\frac { K_{1}O}{ KO}=\frac{LM}{LM+KM}$ , или

${ K_{1}O}={ KO}\times{\frac{LM}{LM+KM}}$

Теперь запишем отрезок $KK_1$ :

$KK_1=K_1O+KO=KO\times(1+\frac{LM}{LM+KM})$

Таким образом, длина биссектрисы $KK_1$ выражена нами через длины сторон треугольника. Проделаем то же и со второй биссектрисой – $LL_1$ :

$LL_1=LO+OL_1$

Тогда из (1):

$LL_1=LO+LO\times{\frac{\frac{KM}{2}}{KL}}=LO\times(\frac{2KL+KM}{2KL})$

По условию задачи $\frac { KK_1}{ LL_1}=\frac {2}{1}$ , то есть

$\frac { KK_1}{ LL_1}={\frac{KO}{LO}} \times {\frac{1+\frac{LM}{LM+KM}}{\frac{2KL+KM}{2KL}}}$

После упрощений получим:

${\frac{LO}{KO}}={\frac{LM}{LM+KM}}=\frac { K_{1}O}{ KO}$

откуда следует вывод, что $LO=K_{1}O$ , и треугольник $LOK_1$ – равнобедренный, то есть углы при его основании равны:

$\angle 3\alpha = \angle \beta$

Надо отметить, что угол $\angle LK_1O$ равен утроенному углу $\angle \alpha$ , так как является внешним углом треугольника $KK_1M$ , сумма несмежных с ним углов которого как раз и равна $3\alpha$ (см. рисунок).