Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 11, ОГЭ 6 (ГИА В4), Прогрессии

Геометрическая прогрессия. Задачи на прогрессии и последовательности.


В этой статье рассмотрены задачи на геометрические прогрессии, и последовательности, которые нельзя отнести ни к арифметическим, ни  к геометрическим прогрессиям.

Сначала вспомним, что мы знаем о последовательностях.

Последовательность – это ряд чисел, который подчиняется определенному правилу. Если каждое последующее больше (или же меньше) предыдущего на определенное число, то это арифметическая прогрессия. Если числа отличаются во сколько-то раз, то такой ряд – геометрическая прогрессия. Если правило получения последующих членов ряда сложнее – то это просто последовательность.

Числа в геометрической прогрессии можно получить умножением (или делением) на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Члены геометрической прогрессии обозначают обычно буквой b с индексом, указывающим на номер элемента в ряду. А знаменатель обозначают буквой q. Тогда, зная первый член прогрессии и знаменатель, можно найти n-ный член:

b_n=b_1q^{n-1}

Сумму нескольких членов прогрессии можно найти по формуле:

S_n=b_1{{1-q^{n}}/{1-q}}

Или еще можно использовать такую:

S_n={{b_n}q-b_1}/{q-1}

Свойства:

{b_1}{b_n}={b_2}{b_{n-1}}=...={b_{k+1}}{b_{n-k}}

delim{|}{{b_n}}{|}=sqrt{{b_{n-1}}{b_{n+1}}}

Ну, к бою! Решаем задачи.

1. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия  за­да­на усло­ви­я­ми:b_1=3b_{n+1}=3b_n. Най­ди­те b_8.

Сначала определим знаменатель прогрессии: q=b_{n+1}/b_n=3

Теперь можем определить и восьмой член: b_n=b_1q^{n-1}=3*3^7=6561

2. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них – геометрическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;…              б) 1; 2; 4; 8;…                 в) 1; 3; 5; 7;…             г)1/2; 1/3; 1/4; 1/5;....

Нужно выбрать последовательность, в которой каждое последующее число больше или меньше предыдущего в определенное количество раз. Из всех представленных последовательностей только во второй каждое последующее число вдвое больше предыдущего. Именно она и является геометрической прогрессией. Такая закономерность более не наблюдается ни в одной из представленных последовательностей, поэтому ответ: б).

3. Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, зна­ме­на­тель ко­то­рой равен 2, а b_1=-3/4. Най­ди­те сумму пер­вых шести её чле­нов.

Воспользуемся формулой суммы:

S_6=b_1{{1-q^{6}}/{1-q}}={-3/4}{{1-{2}^{6}}/{1-2}}=47,25

Ответ: 47,25

4. В гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии сумма пер­во­го и вто­ро­го чле­нов равна 40, а сумма вто­ро­го и тре­тье­го чле­нов равна 120. Най­ди­те пер­вые три члена этой про­грес­сии.

Дано следующее:

b_1+b_2=40;  b_2+b_3=120

Запишем условие, применяя формулу n-ного члена:

b_1+b_1q=40

b_1q+b_1q^2=120

Во втором уравнении вынесем за скобку q:

q(b_1+b_1q)=120

Оказывается, можно заменить выражение в скобках, воспользовавшись первым уравнением, и это позволит найти знаменатель прогрессии:

q(40)=120

q=3

Тогда из первого уравнения 4b_1=40b_1=10. Отсюда легко найти остальные члены: b_2=30b_3=90.

Ответ: 10, 30, 90.

5. Биз­не­смен Руб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 50000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 200% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Руб­ли­ков за 2003 год?

С первого прочтения может быть не ясно сразу, что эта задача – на геометрическую прогрессию. Увидев слова “на 200%” некоторые могут ошибиться, подумав, что тут надо применять формулы арифметической прогрессии. Давайте разберемся, что же означает это условие задачи. Если бы прибыль бизнесмена выросла на 100 %, то это значило бы, что он получил столько, сколько в прошлом году, да еще столько же – то есть в два раза больше. Прибыль увеличилась на 200 % – значит, бизнесмен заработал столько же, сколько в прошлом году, да еще в 2 раза больше – то есть всего в три раза больше! А на следующий год – еще в три раза,  вот и вырисовывается геометрическая прогрессия со знаменателем 3. Первый ее член: b_1=50000. Всего бизнесмен трудился три года, поэтому искомое – b_3:

b_3=b_1q^3=50000*3^3=1350000 – был Рубликов –  стал Миллиончиков!

Рассмотрим теперь задачи на последовательности.

6. По­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой  b_n=n^2+3. Какое из ука­зан­ных чисел яв­ля­ет­ся чле­ном этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

а)6                       б)16                 в)9              г)19

Чтобы выяснить, является ли какое-либо из чисел членом данной последовательности, нужно идти от обратного: подставить данное число в формулу и посмотреть, будут ли у полученного уравнения целые корни. Уравнение простое, решается устно. При вычитании 3 из 6, 16 и 9 квадрата целого числа не получится, а вот если вычесть 3 из 19 – получится 16, это и есть решение.

Ответ: 16

7. Последовательность задана формулой: c_n=12/{n+1}. Сколько членов в этой последовательности больше 2?

Можно перефразировать задачу: сколько членов данной последовательности удовлетворяют неравенству c_n>2″ title=”c_n>2″/><img src=? Поскольку неравенство строгое, то число 2 ему не удовлетворяет, поэтому знаменатель должен быть меньше 6. Решаем неравенство:

n+1<6

n<5

Получили n=4.

Можно было и сразу решать неравенство: 12/{n+1}>2″ title=”12/{n+1}>2″/><img src=.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *