Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика

Геометрическая оптика: закон Снеллиуса – 1

В этой статье я будут представлены задачи на показатель преломления – самые простые, стартовые задачи в одно действие. Будем применять закон преломления Снеллиуса.

Задача 1.  Определите показатель преломления скипидара и скорость распространения света в скипидаре, если известно, что при угле падения 45^{\circ} угол преломления равен 30^{\circ}.

По закону преломления Снеллиуса

    \[\frac{1}{n}=\frac{\sin{\beta }}{\sin{\alpha }}\]

    \[n=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta }}=\frac{\sin{45^{\circ}}}{\sin{30^{\circ}}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}=1,41\]

Чтобы найти скорость распространения света в скипидаре, надо воспользоваться формулой:

    \[n=\frac{ c }{\upsilon }\]

Откуда

    \[\upsilon=\frac{c}{n}=\frac{3\cdot10^8}{1,41}=2,13\cdot10^8\]

Ответ: n=1,41, \upsilon=2,13\cdot10^8 м/с.

Задача 2.  Скорость распространения света в первой среде 225 000 км/с, а во второй -200 000 км/с. Луч света падает на поверхность раздела этих сред под углом 30^{\circ} и переходит во вторую среду. Определите угол преломления луча.

По закону преломления Снеллиуса

    \[\frac{1}{n_1}=\frac{\upsilon_1 }{c}\]

    \[\frac{1}{n_2}=\frac{\upsilon_2 }{c}\]

    \[\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin{\beta }}{\sin{\alpha }}\]

    \[\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\frac{\sin{\beta }}{\sin{\alpha }}\]

    \[\sin{\beta }=\frac{\upsilon_2 \sin{\alpha }}{\upsilon_1}=\frac{200000 \cdot\frac{1}{2}}{225000}=0,44\]

    \[\beta=\arcsin{0,44}=26,4^{\circ}\]

Ответ: 26 градусов.

Задача 3.  Скорость распространения света в некоторой жидкости равна 240 000 км/с. На поверхность этой жидкости из воздуха падает луч света под углом 25^{\circ}. Определите угол преломления луча.

По закону преломления Снеллиуса

    \[\frac{1}{n_1}=\frac{\upsilon_1 }{c}=\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}\]

    \[\sin{\beta }=\frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}}{ c }=\frac{ 24\cdot10^7 \sin{25^{\circ}}}{3\cdot10^8}=0,338\]

    \[\beta=\arcsin{0,338}=19,76^{\circ}\]

Ответ: \beta=20^{\circ}.

Задача 4.  Луч света падает на поверхность раздела двух прозрачных сред под углом 35^{\circ} и преломляется под углом 25^{\circ}. Чему равен угол преломления, если луч падает на эту границу раздела под углом 50^{\circ}?

По закону преломления Снеллиуса

    \[\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}\]

Для другого угла падения

    \[\frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin{\gamma }}{\sin{\delta}}\]

Приравняем правые части

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{\sin{\gamma }}{\sin{\delta}}\]

    \[\frac{\sin{35^{\circ}}}{\sin{25^{\circ}}}=\frac{\sin{50^{\circ}}}{\sin{\delta}}\]

Откуда

    \[\sin{\delta}=\frac{\sin{50^{\circ}}\sin{25^{\circ}}}{\sin{35^{\circ}}}=0,564\]

    \[\delta=\arcsin{0,564}=34,36^{\circ}\]

Ответ: \delta =34^{\circ}.

Задача 5.  Луч света переходит из глицерина в воду. Определите угол преломления луча, если угол падения равен 30^{\circ}.

Показатель преломления глицерина равен 1,47, а воды 1,33.

По закону Снеллиуса

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{n_v}{n_{gl}}\]

    \[\frac{\sin{30^{\circ}}}{\sin{\beta}}=\frac{1,33}{1,47}\]

    \[\beta=\arcsin{\frac{1,47\cdot\frac{1}{2}}{1,33}}=\arcsin{0,552}=33,5^{\circ}\]

Ответ: \beta=35,5^{\circ}.

Задача 6.  Луч света при переходе из льда в воздух падает на поверхность льда под углом 15^{\circ}. По какому направлению пойдет этот луч в воздухе?

По закону Снеллиуса

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=\frac{1}{n_l}}\]

Показатель преломления льда равен 1,39.

    \[\frac{\sin{15^{\circ}}}{\sin{\beta}}=\frac{1}{1,39}\]

    \[\beta=\arcsin{1,31\cdot\sin{15^{\circ}}=\arcsin{0,34}=19,8^{\circ}\]

Ответ: \beta=20^{\circ}.

Задача 7.  Определите угол падения луча в воздухе на поверхность воды, если угол между преломленным и отраженным от поверхности воды лучами равен 90^{\circ}.

Для угла AOB запишем

    \[\gamma+90^{\circ}+\delta=180^{\circ}\]

    \[\gamma+\delta=90^{\circ}\]

По закону преломления

    \[\frac{\sin{\gamma}}{\sin{\delta}}=n\]

    \[\frac{\sin{\gamma}}{\sin{90^{\circ}-\gamma}}=n\]

    \[\frac{\sin{\gamma}}{\cos{\gamma}}=n\]

    \[\operatorname{tg}{\gamma}=n\]

    \[\gamma=\operatorname{arctg} {n}=53^{\circ}\]

Ответ: 53^{\circ}.

Задача 8.  Определите угол преломления луча при переходе из воздуха в этиловый спирт, если угол между падающим и преломленным лучами равен 120^{\circ}.

Угол AOB равен по условию 120^{\circ}. Запишем этот угол как сумму других углов:

    \[(90^{\circ}-\alpha)+\beta+90^{\circ}=120^{\circ}\]

    \[\alpha-\beta=60^{\circ}\]

По закону преломления

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n\]

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\alpha-60^{\circ}}}=n\]

    \[\sin{\alpha}=n(\sin{\alpha}\cos60^{\circ}-\cos{\alpha}\sin60^{\circ})\]

    \[\sin{\alpha}(1-\frac{n}{2})=\cos{\alpha}\sin60^{\circ})\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{2\sin60^{\circ}}{2-n}\]

    \[\alpha=\operatorname{arctg}{\frac{2\sin60^{\circ}}{2-n}}=\operatorname{arctg}{\frac{\sqrt{3}}{2-1,35}=69,4^{\circ}\]

Ответ: \alpha=69^{\circ}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *