Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика

Геометрическая оптика: тень

Этой статьей я открываю серию статей по геометрической оптике. Все, что нам понадобится – это знания по элементарной тригонометрии: геометрические определения синуса, косинуса, тангенса угла и понятие о подобии треугольников.

Задача 1. Ученик заметил, что палка длиной 1,2 м, поставленная вертикально, отбрасывает тень длиной 0,8 м. Длина тени от дерева в то же время оказалась ровно в 12 раз больше длины палки. Какова высота дерева?

Так как лучи света мы считаем прямолинейными, то задача сводится к подобию треугольников и определению сходственных сторон.

К задаче 1

Тогда для подобных треугольников ABC и DEF запишем отношение сходственных сторон:

    \[\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\]

Определяем DE:

    \[DE=\frac{AB\cdotDF}{AC}=\frac{AB\cdot12AB}{AC}=\frac{1,2^2\cdot12}{0,8}=21,6\]

Ответ: высота дерева 21,6 м.

К задаче 2

Задача 2.  Уличный фонарь висит на высоте 4 м. Какой длины тень отбросит палка высотой 1 м, если ее установить вертикально на расстоянии 3 м от основания столба, на котором укреплен фонарь?

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников KPO и MNO:

    \[\frac{KP}{MN}=\frac{PO}{NO}\]

    \[\frac{4}{1}=\frac{3+x}{x}\]

    \[3+x=4x\]

    \[x=1\]

Ответ: 1 м.
Задача 3. Уличный фонарь висит на высоте 3 м от поверхности земли. Тень от палки длиной 1,2  м, установленной вертикально на некотором расстоянии от столба в точке А, равна 0,8 м. Когда палку переместили в другую точку В, длина тени оказалась равной 1,2 м. Каково расстояние между точками А и В? Известно, что основание столба и точки А и В лежат на одной прямой.

Сначала рассмотрим первую ситуацию.

К задаче 3

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников KPO и MAO:

    \[\frac{KP}{MA}=\frac{PO}{AO}\]

    \[\frac{3}{1,2}=\frac{AO+0,8}{0,8}\]

    \[AO+0,8=\frac{3\cdot0,8}{1,2}=2\]

    \[AO=1,2\]

Теперь все то же для второго состояния, когда палку передвинули.

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников KPO и MBO:

    \[\frac{KP}{MB}=\frac{PO}{BO}\]

    \[\frac{3}{1,2}=\frac{BO+1,2}{1,2}\]

    \[BO+1,2=\frac{3\cdot1,2}{1,2}=3\]

    \[BO=1,8\]

Расстояние между точками A и B равно BO-AO=1,8-1,2=0,6

Ответ: 0,6 м.


Задача 4. На какой высоте висит уличный фонарь, если тень от вертикально установленной палки высотой 0,9 м имеет длину 1,2 м и при перемещении палки на 1 м от фонаря вдоль направления тени длина тени увеличилась до 1‚5 м?

К задаче 4

Задача аналогична предыдущей. Составим отношение сходственных сторон

для треугольников KPO и MAO:

    \[\frac{KP}{MA}=\frac{PO}{AO}\]

    \[\frac{H}{0,9}=\frac{PA+1,2}{1,2}\]

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников KPO и MBO:

    \[\frac{KP}{MB}=\frac{PA+1+BO}{BO}\]

    \[\frac{H}{0,9}=\frac{PA+1+1,5}{1,5}\]

Приравняем правые части:

    \[\frac{PA+1,2}{1,2}=\frac{PA+1+1,5}{1,5}\]

    \[(PA+1,2)1,5=1,2(PA+2,5)\]

    \[1,5PA-1,2PA=1,2(2,5-1,5)\]

    \[0,3PA=1,2\]

    \[PA=4\]

Тогда высота подвеса фонаря равна

    \[H=\frac{0,9(PA+1,2)}{1,2}=3,9\]

Ответ: 3,9 м
Задача 5.  На какой высоте H находится аэростат, если с башни высотой h он виден под углом \alpha над горизонтом, его изображение в озере видно под углом \beta под горизонтом?

К задаче 5

От изображения аэростата до поверхности воды такое же расстояние, как и от аэростата до воды.

Тогда 2H=QL+LZ

Из треугольника LQT

    \[\frac{QL}{LT}=\operatorname{tg}{\alpha}\]

    \[LT=\frac{QL}{\operatorname{tg}{\alpha}}\]

А из треугольника LZT

    \[\frac{ZL}{LT}=\operatorname{tg}{\beta}\]

    \[LT=\frac{ZL}{\operatorname{tg}{\beta}}\]

Приравняем правые части:

    \[\frac{QL}{\operatorname{tg}{\alpha}}=\frac{ZL}{\operatorname{tg}{\beta}}\]

    \[ZL=\frac{QL\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\]

Тогда

    \[2H=QL+\frac{QL\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}=QL\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)= (H-h)\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)\]

    \[H=\frac{(H-h)}{2}\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)\]

    \[H=\frac{H}{2}\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)-\frac{h}{2}\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)\]

    \[\frac{H}{2}\left(\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}-1\right)=\frac{h}{2}\left(1+\frac{\operatorname{tg}{\beta}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right)\]

    \[H=h\cdot \frac{\operatorname{tg}{\beta}+\operatorname{tg}{\alpha}}{\operatorname{tg}{\alpha}}\cdot \frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{\operatorname{tg}{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}}\]

    \[H=h \cdot \frac{\operatorname{tg}{\beta}+\operatorname{tg}{\alpha}}{\operatorname{tg}{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}}\]

Ответ: H=h\cdot \frac{\operatorname{tg}{\beta}+\operatorname{tg}{\alpha}}{\operatorname{tg}{\beta}-\operatorname{tg}{\alpha}}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *