Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика

Геометрическая оптика: пластинки

В этой статье решаем задачи с пластинками – средние по сложности. Будем применять закон преломления Снеллиуса, а также геометрические знания.


Задача 1.   Прямоугольная стеклянная пластинка толщиной 4 см имеет показатель преломления 1,6. На ее поверхность падает луч света под углом 55^{\circ}. Определите, на сколько сместится луч после выхода из пластинки в воздух.

К задаче 1

По закону Снеллиуса

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n\]

    \[\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}\]

Из рисунка

    \[\frac{x}{h}=\operatorname{tg}{\beta}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{55^{\circ}}}{1,6}}}=0,6\]

    \[x=0,6\cdot4=2,4\]

Ответ: 2,4 см.

Задача 2.  Луч света падает под углом 30^{\circ} на плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно первоначальному лучу. Показатель преломления стекла равен 1,5. Какова толщина пластинки, если расстояние между лучами равно 1,94 см?

К задаче 2

По закону Снеллиуса

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n\]

    \[\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}\]

    \[\sin{\beta}=\frac{0,5}{1,5}=0,33\]

    \[\beta=19,5^{\circ}\]

Из рисунка

    \[\frac{x}{h}=\operatorname{tg}{\beta}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{30^{\circ}}}{1,5}}}=0,35\]

Откуда

    \[x=0,35h\]

По теореме Пифагора

    \[m=\sqrt{x^2+h^2}\]

    \[\frac{l}{m}=\sin(\alpha-\beta)\]

    \[m=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}\]

    \[\sqrt{x^2+h^2}=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}\]

    \[h^2+0,35^2h^2=\frac{l^2}{\sin^2(\alpha-\beta)}\]

    \[h^2=\frac{l^2}{\sin^2(\alpha-\beta)\cdot(1+0,35^2)}\]

    \[h=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}\sqrt{\frac{1}{\cdot(1+0,35^2)}}= \frac{1,94}{\sin(30^{\circ}-19,5^{\circ})}\sqrt{\frac{1}{1+0,35^2}}=10\]

Ответ: 10 см.


Задача 3.  Узкий параллельный пучок света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом \alpha, синус которого равен 0,8. Вышедший из пластинки пучок оказался смещенным относительно продолжения падающего пучка на расстояние 2 см. Какова толщина пластинки, если показатель преломления стекла равен 1,7?

Задача аналогична предыдущей, только данные чуть-чуть иные, поэтому просто подставим их в готовую формулу:

По закону Снеллиуса

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n\]

    \[\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}\]

    \[\sin{\beta}=\frac{0,8}{1,7}=0,47\]

    \[\beta=28^{\circ}\]

    \[\alpha=\arcsin{0,8}=53^{\circ}\]

Из рисунка

    \[\frac{x}{h}=\operatorname{tg}{\beta}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{0,8}{1,5}}}=0, 53\]

Откуда

    \[x=0, 53h\]

По теореме Пифагора

    \[m=\sqrt{x^2+h^2}\]

    \[\frac{l}{m}=\sin(\alpha-\beta)\]

    \[m=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}\]

    \[\sqrt{x^2+h^2}=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}\]

    \[h^2+0, 53^2h^2=\frac{l^2}{\sin^2(\alpha-\beta)}\]

    \[h^2=\frac{l^2}{\sin^2(\alpha-\beta)\cdot(1+0, 53^2)}\]

    \[h=\frac{l}{\sin(\alpha-\beta)}\sqrt{\frac{1}{\cdot(1+0,35^2)}}= \frac{2}{\sin(53^{\circ}-28^{\circ})}\sqrt{\frac{1}{1+0, 53^2}}=4,73\]

Ответ: 4,73 см.

Задача 4.  Имеются две плоскопараллельные пластинки толщиной 16 и 24 мм, сложенные вплотную. Первая сделана из кронгласа с показателем преломления 1,5, а вторая – из флинтгласа с показателем преломления 1,8. На поверхность одной из них падает луч света под углом 48^{\circ}. Определите, на сколько сместится этот луч после выхода из пластинок в воздух. Зависит ли полученный результат от того, в какой последовательности свет проходит пластинки?

Порядок установки пластинок неважен: это показано на рисунке.

К задаче 4

К задаче 4

    \[a=c \sin (\alpha-\beta)\]

    \[b=d\sin(\alpha-\gamma)\]

    \[a=h_1 \cos {\beta}\sin (\alpha-\beta)\]

    \[b=h_2\cos {\gamma}\sin(\alpha-\gamma)\]

По закону Снеллиуса

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n_1\]

    \[\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n_1}\]

    \[\beta=30^{\circ}\]

    \[\frac{\sin{\beta}}{\sin{\gamma}}=\frac{n_2}{n_1}\]

    \[\sin{\gamma}=\frac{n_1\sin{\beta}}{n_2}\]

    \[\gamma=24^{\circ}\]

Тогда

    \[a=h_1 \cos {\beta}\sin (\alpha-\beta)= 16 \cos {30^{\circ}}\sin (18^{\circ})=4,28\]

    \[b= h_2\cos {\gamma}\sin(\alpha-\gamma)=24\cos {24^{\circ}}\sin(24^{\circ})=8,91\]

    \[a+b=4,28+8,91=13,2\]

Ответ: 13,2 мм.

Задача 5.  На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной 1 см падает луч света под углом 60^{\circ}. Показатель преломления стекла равен 1,73. Часть света отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит в воздух параллельно первому отраженному лучу. Найдите расстояние между отраженными лучами.

К задаче 5

 

В треугольнике ABC угол A равен 30^{\circ}. В этом треугольнике нам нужно найти BC, а его гипотенуза:

    \[2x=AC\]

    \[\sin{30^{\circ}}=\frac{BC}{AC}\]

    \[BC=AC\sin{30^{\circ}}=2x\cdot\sin{30^{\circ}}=x\]

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{x}{h}\]

    \[x=h \operatorname{tg}{\beta}\]

По закону Снеллиуса

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n\]

    \[\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}\]

    \[x=h \operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=1\cdot\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{60^{\circ}}}{1,73}}}\]

Ответ: x=0,58 см.


Задача 6.  Плоскопараллельная пластинка толщиной 5 см посеребрена с нижней стороны. Луч падает на верхнюю поверхность пластинки под углом 30^{\circ}, частично отражается, а часть света проходит в пластинку, отражается от нижней ее поверхности и, преломляясь вторично, выходит в воздух параллельно первому отраженному лучу. Определите показатель преломления материала пластинки, если расстояние между двумя отраженными лучами 2,5 см.

К задаче 6

В треугольнике ABC угол A равен 60^{\circ}. В этом треугольнике нам известен катет BC=2,5 см, что позволяет нам найти гипотенузу:

    \[2x=AC=\frac{BC}{\sin{60^{\circ}}}\]

    \[x=\frac{BC}{2\sin{60^{\circ}}}\]

    \[\operatorname{tg}{\beta}=\frac{x}{h}=\frac{BC}{2h\sin{60^{\circ}}}\]

По закону Снеллиуса

    \[\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n\]

    \[n=\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\operatorname{arctg}{\frac{BC}{2h\sin{60^{\circ}}}}}}=\frac{0,5}{\sin{\operatorname{arctg}{\frac{2,5}{2\cdot5\sin{60^{\circ}}}}}}=1,8\]

Ответ: n=1,8

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *