Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Гидродинамика, Давление, Олимпиадная физика

Газовые законы и гидростатика. Подготовка к олимпиадам, 10 класс.

Готовимся к олимпиадам. Здесь задачи, ориентированные на 10 класс, основные законы МКТ и гидростатики.

Задача 1. В горизонтальной трубке постоянного сечения, запаянной с одного конца, помещен столбик ртути длиной d=15 см, который отделяет воздух в трубке от атмосферы. Трубку расположили вертикально запаянным концом вниз и нагрели на \Delta T=60 К. При этом объем, занимаемый воздухом, не изменился. Давление атмосферы в лаборатории p_0=750 мм рт. ст. Какова температура воздуха в лаборатории? Ответ выразить в К, округлив до сотен.

Решение.

Из второго закона Ньютона, записанного для столбика ртути, получается, что давление воздуха в вертикальной трубке

    \[p=p_0+\rho\cdot g\cdot d,\]

где p_0=\rho\cdot g\cdot H — давление атмосферы, \rho — плотность ртути, а H=750 мм (давление, выраженное в мм рт. ст., удобно записывать таким образом).

Поскольку нагревание воздуха в трубке происходит до температуры T и первоначального объема, то по закону Менделеева-Клапейрона

    \[T=T_0+\Delta T.\]

    \[\frac{T}{T_0}=\frac{p}{p_0}=1+\frac{d}{H}.\]

Отсюда простыми алгебраическими преобразованиями получается, что

    \[T_0=\Delta T\cdot \frac{H}{d}=300.\]

Ответ: 300 К.

 

Задача 2. С какой глубины всплывал пузырек воздуха, если за время всплытия его объем увеличился в k=3 раза? Считать, что во время всплытия T=const, плотность воды \rho=1000 кг/м^3, атмосферное давление p_0=100 кПа, ускорение свободного падения g=10 м/с^2. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

Так как масса воздуха в пузырьке и температура постоянные, то справедливо уравнение Бойля-Мариотта, из которого

    \[p\cdot V=p_0\cdot k\cdot V,\]

где p=\rho \cdot g\cdot h+p_0 — давление на глубине. Отсюда получается, что

    \[h=\frac{(k-1)\cdot p_0}{\rho \cdot g}=20.\]

Ответ: 20 м.

Задача 3. Воздух охлаждали в сосуде постоянного объема. При этом температура воздуха в сосуде снизилась в k=4 раза, а его давление уменьшилось в n=2 раза. Оказалось, что кран у сосуда был закрыт плохо, и через него просачивался воздух. Чему равно отношение конечной массы воздуха к начальной?

Решение.

Запишем уравнения состояния для газа в начальном и конечном состояниях. В начальный момент времени воздух в стеклянном сосуде по закону Менделеева-Клапейрона удовлетворял следующему уравнению состояния:

    \[p_0\cdot V=\nu_0\cdot R\cdot T_0.\]

В конечный момент — другому уравнению:

    \[p\cdot V=\nu\cdot R\cdot T.\]

При этом, согласно условию

    \[T=\frac{T_0}{k},\]

    \[p=\frac{p_0}{m}.\]

Таким образом,

    \[\frac{\nu}{\nu_0}=\frac{k}{n},\]

а значит и отношение масс газов такое же. Следовательно, масса воздуха в сосуде увеличилась в

    \[\frac{k}{n}=2.\]

Ответ: 2.

 

Задача 4. Сферическую оболочку воздушного шара наполняют гелием при атмосферном давлении p=10^5 Па. Минимальная масса оболочки, при которой шар начинает поднимать сам себя, равна m=500 кг. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0^\circ C. Чему равна масса одного квадратного метра материала оболочки шара? (Площадь сферы S=4\pi R^2, объем шара V=\frac{4}{3}\pi R^3). Ответ выразить в кг, округлив до сотых. Молярные массы воздуха и гелия равны \mu_{_B}=29 г/моль и \mu_{_\Gamma}=4 г/моль соответственно.

Решение.

Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось: F_A=m_{_\Gamma}\cdot g+m\cdot g, m_{_\Gamma} — масса гелия. Перепишем данное уравнение, выразив величины через радиус шара r:

    \[\rho_{_B}\cdot g\cdot V=m\cdot g+m_{_\Gamma}\cdot g=b\cdot S\cdot g+\rho_{_\Gamma}\cdot g\cdot V\]

    \[\Downarrow\]

    \[\frac{4}{3}\pi r^3\cdot g\cdot\rho_{_B}=4\pi r^2\cdot g\cdot b+\frac{4}{3}\pi r^3\cdot g\cdot\rho_{_\Gamma},\]

откуда радиус шара

    \[r=\frac{3b}{\rho_{_B}-\rho_{_\Gamma}},\]

где b — отношение массы оболочки к ее площади.

Плотности гелия и воздуха можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

    \[p=\frac{\rho}{\mu}\cdot R\cdot T\]

    \[\Downarrow\]

    \[\rho=\frac{p\cdot\mu}{R\cdot T}\]

    \[\Downarrow\]

    \[\rho_{_B}=\frac{p\cdot\mu_{_B}}{R\cdot T},\]

    \[\rho_{_\Gamma}=\frac{p\cdot\mu_{_\Gamma}}{R\cdot T}.\]

Масса оболочки m=4\pi r^2\cdot b=4\pi\left(\frac{3R\cdot T}{p\cdot (\mu_{_B}-\mu_{_\Gamma})}\right)^2\cdot b^3, откуда

    \[b=\sqrt[3]{\frac{m}{4\pi}\cdot\left(\frac{p\cdot (\mu_{_B}-\mu_{_\Gamma})}{3R\cdot T}\right)^2}=1,75.\]

Ответ: 1,75 кг/м^2.

Задача 5. Поршень вставлен в трубку, наклоненную под углом 30^\circ к горизонту. Масса поршня m=1 кг. Площадь сечения трубки S=8 см^2. Поршень передвинули, увеличив объем воздуха под ним в n=2 раза. Чему равно начальное ускорение поршня после того, как его отпустили?

К задаче 5

Трением пренебречь. Наружное давление воздуха p_0=760 мм рт. ст., плотность ртути \rho=13,6 г/cм^3. Ответ выразить в м/с^2, округлив до целых. Считать температуру газа постоянной. Ускорение свободного падения g=10 м/с^2.

Решение.

Искомое ускорение определяется из уравнения

    \[m\cdot a=p\cdot S-p_1\cdot S,\]

где p и p_1 — давления воздуха под поршнем в исходном состоянии и после сжатия соответственно. Условие равновесия поршня в исходном состоянии:

    \[p_0\cdot S+m\cdot g\cdot\sin\alpha=p\cdot S.\]

Считая процесс перемещения поршня изотермическим, на основании закона Бойля-Мариотта находим

    \[p=2p_1.\]

Решая систему уравнений, получим:

    \[a=\left( \frac{g}{2}\right)\cdot\left(\sin\alpha+\frac{\rho\cdot h_0\cdot S}{m}\right)\approx 44.\]

Здесь h_0=760 мм.

Ответ: 44 м/с^2.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *