Газовые законы: графические задачи

Графические задачи часто трудно даются моим ученикам. Думаю, эти задачи вообще труднее расчетных. Но этот пробел можно закрыть: всякое умение тренируется. Не устаю повторять: опыт решения делает из “задач-врагов” –  “задачи – старые знакомые”, “задачи- детективы”, “задачи – открытия”.

Задача 1. Изобразить на и диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 1.

Рисунок 1

Рассмотрим внимательно рисунок. Сначала определимся с процессом 1-2. Из рисунка видно, что соблюдается пропорциональность: единичному объему соответствует  единичная температура, а двойному объему – удвоенная. Следовательно, прямая пересечет начало координат (это важно – если бы выяснилось, что прямая через начало координат не проходит, это заставило бы нас задуматься о характере процесса) и перед нами – изобара (температура растет и с ее ростом растет объем).

Тогда на диаграмме можно нарисовать горизонтальный участок, следя за тем, чтобы величины объемов относились бы как – «вышли» из точки , «пришли» в точку .

Рисунок 2

Участок 2-3: температура неизменна. Следовательно, перед нами изотерма. Как мы знаем, изотерма в осях имеет вид гиперболы. Внимательно посмотрим на исходный график: объем уменьшается! Следовательно, к этому привело увеличение давления. Значит, в осях мы будем двигаться по гиперболе вверх, и должны продолжать подъем, пока не будет достигнут первоначальный объем :

Рисунок 3

Давление при этом, согласно объединенному закону,

Следовательно, давление увеличилось вдвое.

Участок 3-4: объем постоянен.  Однако температура растет, следовательно, молекулы становятся «быстрее» и сильнее бьют по стенкам сосуда: давление растет. При неизменном объеме линия в осях имеет вид вертикали. Температура на протяжении этого процесса выросла вдвое, следовательно, и давление также выросло вдвое, и стало равно :

Рисунок 4

Теперь попробуем нарисовать то же в осях  . Теперь мы можем пользоваться двумя «подсказками» – тем графиком, что дан в задаче и своим собственным, построенным ранее.

Участок 1-2: давление постоянно, температура выросла вдвое, рисуем горизонталь:

Рисунок 5

Участок 2-3: температура неизменна. Изотерма в осях – вертикаль. Так как мы вернулись в точке 3 к тому же объему, что и в точке 1, следовательно, эти точки лежат на одной изохоре. В данных осях изохора – прямая, выходящая из начала координат. Построим эту прямую и найдем точку пересечения изохоры с изотермой процесса 2-3. Пересечение – это и будет точка 3.

Рисунок 6

Участок 3-4: объем постоянен.  То есть далее мы должны двигаться по той же изохоре, а, поскольку температура растет, то и давление тоже: то есть двигаемся вверх, пока температура не станет равна :

Рисунок 7

Задача 2. Изобразить на и диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 8.

Рисунок 8

Проанализируем происходящее пошагово. Сначала участок 1-2: очевидно, что это изотерма. В то же время давление на протяжении участка выросло вчетверо, следовательно, объем уменьшился во столько же раз. На – диаграмме такой процесс – стандартного вида изотерма, то есть гипербола, и мы двигаемся по ней вверх. Внимательно следим за соответствием величин на концах участка, в точках 1 и 2.

Рисунок 9

Участок 2-3: Из рисунка видно, что соблюдается пропорциональность: единичному давлению соответствует  единичная температура, а учетверенному объему – учетверенная. Следовательно, прямая пересечет начало координат (это важно – если бы выяснилось, что прямая через начало координат не проходит, это заставило бы нас задуматься о характере процесса) и перед нами – изохора (падают и температура, и давление, причем давление сравнивается с изначальным, следовательно, двигаемся вертикально вниз по изохоре до начального давления).

Рисунок 10

Участок 3-4 – вот тут понадобится анализ, потому что данная прямая не является изохорой, и в осях , вероятно, этот участок не будет изображаться прямолинейным отрезком.

Давайте запишем уравнение прямой, совпадающей с отрезком 3-4. Общее уравнение прямой , а у нас будет . Так как по уравнению Менделеева-Клапейрона

То, подставляя , получим

И зависимость давления от объема тогда

Так как зависимость обратная, то график должен выглядеть как гипербола. Но как ее изобразить? Понятно, что подниматься по ней следует до уровня , а каков будет при этом объем?

Для точки 3 справедливо:

Для точки 4:

Делаем вывод, что в точке 4 объем вдвое меньше, чем в точке 3.

Рисунок 11

Наконец, рисуем весь процесс:

Теперь все то же повторим, чтобы изобразить процесс в осях . Изотерму участка 1-2 изобразим вертикальной прямой, так как температура неизменна, а давление растет – следовательно, объем падает:

Рисунок 12

Участок 2-3 – изохора – будет изображена нами горизонтальной линией.  В точке 3 давление,  по условию,  равно давлению в точке 1, поэтому они должны оказаться на  одной изобаре:

Рисунок 13

Для участка 3-4 нужно получить зависимость объема от температуры.

Из (1) можно получить, аналогично (2), что зависимость будет обратная – гиперболическая. Так как объем, как мы выяснили ранее, уменьшится в процессе 3-4 вдвое, то выглядеть кусочек такой гиперболы будет так:

Рисунок 14

Задача 3. Изобразить на и диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 15.

Рисунок 15

Здесь, глядя на график, мы сразу понимаем, что легко не будет: процесс 1-2   не будет изображаться прямой линией в осях .

Но сначала займемся рисованием в осях . Для точки 1

Для точки 2

Или

Рисуем:

Рисунок 16

Участок 2-3 – изохора. Давление падает в три раза, следовательно,

Или

Рисуем горизонталь:

Рисунок 17

Участок 3-1 – изобара, я это подчеркнула на графике:

Рисунок 18

Теперь рассмотрим оси  . На участке 1-2 объем линейно зависит от давления:

Подставим:

Зависимость температуры от давления – парабола, ветвями вверх. Но тогда зависимость будет выглядеть иначе, мы как бы взглянем на эту параболу из-за изображения, следовательно, парабола как бы ляжет на бок:

Рисунок 19

Рисунок 20

Участок 2-3, как было указано ранее, изохора. Тогда точку 2 соединим с началом координат, намечая направление, и проведем участок 2-3 до достижения давления .

Рисунок 21

После этого останется дополнить наш график горизонтальным участком – изобарой 3-1.

Рисунок 22