Газ в различных процессах

[latexpage]

В этих задачах газ участвует в различных процессах, и часто это изопроцессы, только это нужно понять и доказать.  А иногда процессы сложные, и в них давление прямо зависит от объема. Разбирали летом с учениками олимпиадной группы.

Задача 1. В нижней части вертикального цилиндрического сосуда, разделенного подвижным легким поршнем, находится аргон. Верхняя часть сосуда полностью заполнена водой массой $m = 1$ кг и открыта в атмосферу. При температуре $t_1 = 27^{\circ}$ С поршень расположен на высоте, составляющей 1/4 высоты сосуда. После нагревания всей системы до температуры $t_2 = 127^{\circ}$С равновесие достигается при расположении поршня на 1/2 высоты сосуда. Найдите площадь $S$ поперечного сечения сосуда и высоту $H$ сосуда. Атмосферное давление $p_0 = 10^5$ Па.

Решение. Первоначально можем записать, во-первых,

$$p_1\frac{V}{4}=\nu RT_1$$

И, во-вторых,

$$p_1=p_0+\frac{mg}{S}$$

В конце температура системы $t_2 = 127^{\circ}$С – а это значит, что вода испарилась. То есть

$$p_2\frac{V}{2}=\nu RT_2$$

И

$$p_2=p_0$$

Выразим давления из закона Менделеева-Клапейрона

$$p_1=\frac{4\nu RT_1}{V}$$

$$p_2=\frac{2\nu RT_2}{V}$$

Разделим уравнения:

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{4T_1}{2T_2}~~~~~~~~~~~(1)$$

Так как

$$p_1=p_0+\frac{mg}{S}= p_2+\frac{mg}{S}$$

Используем (1):

$$\frac{ p_0+\frac{mg}{S}}{p_0}=\frac{2T_1}{T_2}=\frac{3}{2}$$

$$3p_0=2p_0+\frac{2mg}{S}$$

$$ \frac{p_0}{2}=\frac{mg}{S}$$

Откуда

$$S=\frac{2mg}{p_0}=\frac{20}{10^5}=2\cdot 10^{-4}$$

Или 2 см$^2$. Теперь найдем высоту сосуда. Высота столба массой 1 кг при сечении сосуда 2 см$^2$ – 5 м. И это только три четверти полной высоты! Полная высота сосуда равна

$$H=\frac{5}{3}\cdot 4=6,7$$

Ответ: $S=2\cdot 10^{-4}$ м$^2$, $H=6,7$ м.

Задача 2.  Моль гелия используется в качестве рабочего вещества двигателя, работающего по циклу 1-2-3-1. На участке 1-2 этого цикла среднеквадратичная скорость $u$ теплового движения атомов гелия изменяется обратно пропорционально его концентрации $n$, на участке 2-3 $n$ остается неизменной, а на участке 3-1 величина $u$ изменяется обратно пропорционально квадратному корню из $n$. Найдите КПД этого цикла, если на участке 1-2 энергия теплового движения атомов гелия увеличивается в 4 раза.

Решение. Запишем все, что дано в задаче. Участок 1-2:

$$u \sim \frac{1}{n}$$

$$\frac{3RT}{M} \sim \frac{1}{n^2}$$

$$\frac{3RT}{M} \sim \frac{V^2}{N^2}$$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

$$T=\frac{pV}{\nu R}$$

Подставляем в уравнение выше:

$$\frac{3R}{M}\cdot\frac{pV}{\nu R}\sim \frac{V^2}{N^2}$$

$$p \sim \frac{\nu MV}{3N^2}$$

Давление прямо пропорционально объему! Это прямая, выходящая из начала координат.

Участок 2-3:

$$n=const$$

Следовательно, $V=const$ и данный участок – изохора.

Участок 3-1:

$$u\sim \frac{1}{\sqrt{n}}$$

$$\frac{3RT}{M} \sim \frac{1}{n}$$

$$\frac{3RT}{M} \sim \frac{V}{N}$$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

$$T=\frac{pV}{\nu R}$$

Подставляем в уравнение выше:

$$\frac{3R}{M}\cdot\frac{pV}{\nu R}\sim \frac{V}{N}$$

$$p \sim \frac{\nu M}{3N}$$

Давление не зависит от объема – это изобара! Перерисовываем цикл в координатах $pV$:

График в осях pV

Так как сказано, что температура в точке 2 вчетверо больше температуры в точке 1 – а в точке 2 в $k$ раз больше объем и в $k$ раз больше давление, – то получается, что $k=2$. Теперь можно и КПД посчитать:

$$\eta=\frac{A}{Q_{12}}=\frac{\frac{pV}{2}}{\frac{p+2p}{2}\cdot V+\frac{3}{2}(4pV-pV)}= \frac{\frac{pV}{2}}{\frac{12pV}{2}}=\frac{1}{12}$$

Ответ: 8,3%

Задача 3. Идеальный газ в количестве $\nu$ моль участвует в процессе АВ, изображённом на рисунке  в координатах $\rho(T)$, где $\rho$ — плотность газа, а $T$ — его температура. При каких условиях (температуре) давление газа на 25% меньше максимального? Температура $T_0$ известна.

К задаче 3

Решение. Запишем уравнение этой прямой.

$$\rho=\rho_0-kT$$

$$k=\operatorname{tg}\alpha=\frac{\rho_0}{T_0}$$

$\rho_0$ – ордината точки, где график пересечет ось плотностей.

$$\rho=\rho_0\left(1-\frac{T}{T_0}\right)$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu RT$$

$$p=\frac{\nu RT }{V}=\frac{mRT }{MV}=\frac{\rho RT }{M}$$

$$ p=\frac{RT }{M}\cdot \rho_0\left(1-\frac{T}{T_0}\right)~~~~~~~~~(2)$$

Эта зависимость – квадратичная (парабола ветвями вниз). Поэтому максимум давления – в ее вершине.

$$T(p_{max})=\frac{\rho_0 R}{2M}\cdot \frac{MT_0}{R\rho_0}=\frac{T_0}{2}$$

При такой температуре давление максимально. Найдем это максимальное давление:

$$ p_{max}=\frac{RT_0 }{2M}\cdot \rho_0\left(1-\frac{T_0}{2T_0}\right)= \frac{RT_0\rho_0 }{4M}$$

Значит, искомое давление равно трем четвертям данного максимального: $p_i=\frac{3}{4} p_{max}=\frac{3RT_0\rho_0 }{16M}$

Подставим его в (2), и определим температуру:

$$\frac{3RT_0\rho_0 }{16M}=\frac{R }{M}\cdot \rho_0\left(T-\frac{T^2}{T_0}\right)$$

$$\frac{3T_0}{16}=T-\frac{T^2}{T_0}$$

$$\frac{3T_0^2}{16}=T T_0-T^2$$

$$D=T_0^2-\frac{3}{4}T_0^2=\frac{T_0^2}{4}$$

$$T=\frac{T_0\pm\frac{T_0}{2}}{2}$$

$$T_1=0,75T_0$$

$$T_2=0,25T_0$$

Ответ: либо $0,25T_0$, либо $0,75T_0$.