Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Квантово-оптические явления

Фотоэффект: красная граница и задерживающее напряжение

В этой статье будем рассчитывать красную границу фотоэффекта, скорости электронов и задерживающее напряжение.

Задача 1. С какой скоростью вылетают электроны с поверхности цезия при освещении желтым светом с длиной волны \lambda = 590 нм?
Скорость фотоэлектрона равна

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{2}{m}\left(h \nu-A\right)}= \sqrt{\frac{2}{m}\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda_0}\right)}=\sqrt{2hc}\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda}{m\lambda_0\lambda }}\]

Красная граница фотоэффекта для цезия равна \lambda_0=653 нм.

Подставим числа:

    \[\upsilon=\sqrt{2\cdot6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}\sqrt{\frac{(653-590)\cdot10^9}{9,1\cdot10^{-31}\cdot653\cdot590}}=2,67\cdot10^5\]

Ответ: \upsilon=2,67\cdot10^5 м/с.
Задача 2. Цезиевый катод фотоэлемента освещают светом натриевой лампы с длиной волны \lambda = 600 нм. Определить скорость вырываемых из катода фотоэлектронов, если красная граница фотоэффекта для цезия \lambda = 650 нм.

Из предыдущей задачи скорость равна

    \[\upsilon=\sqrt{2hc}\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda}{m\lambda_0\lambda }}=\sqrt{2\cdot6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}\sqrt{\frac{(650-600)\cdot10^9}{9,1\cdot10^{-31}\cdot650\cdot600}}=2,37\cdot10^5\]

Ответ: \upsilon=2,37\cdot10^5 м/с.

Задача 3. Если поочередно освещать поверхность металла излучением с длинами волн \lambda_1 = 350 нм и \lambda_2 = 540 нм, то максимальные скорости фотоэлектронов будут отличаться в n = 2 раза. Определить работу выхода электрона из этого металла.

Из предыдущей задачи:

    \[\upsilon_1=\sqrt{2hc}\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_1}{m\lambda_0\lambda_1 }}\]

    \[\upsilon_2=\sqrt{2hc}\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_2}{m\lambda_0\lambda_2 }}\]

Отношение скоростей:

    \[\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_1}{m\lambda_0\lambda_1 }}}{\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_2}{m\lambda_0\lambda_2 }}}\]

    \[\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_0-\lambda_2}\cdot\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}\]

Возведем в квадрат:

    \[\left(\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}\right)^2=\frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_0-\lambda_2}\cdot\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\]

    \[n^2=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot\frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_0-\lambda_2}\]

    \[n^2\frac{\lambda_1}{\lambda_2}(\lambda_0-\lambda_2)= \lambda_0-\lambda_1\]

    \[\lambda_1-n^2\lambda_1=\lambda_0\left(1-n^2\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)\]

    \[\lambda_0=\frac{\lambda_1(1-n^2)}{1-n^2\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}\]

Работа выхода равна:

    \[A=\frac{h c}{\lambda_0}=\frac{hc \left(1-n^2\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)}{ \lambda_1(1-n^2)}= \frac{hc \left(\lambda_2-n^2\lambda_1\right)}{ \lambda_1(1-n^2)}\]

Чтобы числитель и знаменатель имели положительные знаки, преобразуем еще раз и подставим числа:

    \[A= \frac{hc \left(n^2\lambda_1-\lambda_2\right)}{ \lambda_1(n^2-1)}= \frac{6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8 \left(2^2\cdot 350\cdot10^{-9}-540\cdot10^{-9}\right)}{ 350\cdot10^{-9} (2^2-1)}=3\cdot10^{-19}\]

Или в электронвольтах A=\frac{3\cdot10^{-19}}{1,6\cdot10^{-19}}=1,88

Ответ: A=3\cdot10^{-19} Дж, или 1,88 эВ.

Задача 4. Для некоторого металла красная граница фотоэффекта в k = 1,2 раза меньше частоты падающего излучения. Определить работу выхода электрона из данного металла, если максимальная скорость фотоэлектронов равна \upsilon = 6 \cdot 10^5 м /с.

Если частота красной границы фотоэффекта меньше частоты падающего излучения, то длина волны – больше.

    \[A=\frac{hc}{\lambda_0}=\frac{h c }{\lambda k }\]

Или

    \[Ak=\frac{h c}{\lambda}\]

Уравнение фотоэффекта:

    \[\frac{hc}{\lambda}=A+\frac{m \upsilon^2}{2}\]

Подставим Ak:

    \[Ak=A+\frac{m \upsilon^2}{2}\]

    \[\frac{m \upsilon^2}{2}=A(k-1)\]

    \[A={m \upsilon^2 }{2(k -1)}= {9,1\cdot10^{-31}\cdot36\cdot10^{10}}{2(1,2-1)}=8,2\cdot10^{-19}\]

Или в электронвольтах A=\frac{8,2\cdot10^{-19}}{1,6\cdot10^{-19}}=5,12

Ответ: A=8,2\cdot10^{-19} Дж, или 5,12 эВ.

Задача 5. Какую максимальную скорость будут иметь фотоэлектроны при облучении поверхности цинка ультрафиолетовым излучением с энергией квантов в k = 1,5 раза большей работы выхода?

Работа выхода для цинка равна A=6,8\cdot10^{-19}.

Уравнение фотоэффекта:

    \[\frac{hc}{\lambda}=A+\frac{m \upsilon^2}{2}\]

Или

    \[kA=A+\frac{m \upsilon^2}{2}\]

    \[\frac{m \upsilon^2}{2}=A(k-1)\]

    \[\upsilon^2=\frac{2 A(k-1)}{m}\]

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{2 A(k-1)}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 6,8\cdot10^{-19} (1,5-1)}{9,1\cdot10^{-31}}}=8,1\cdot10^5\]

Ответ: \upsilon=8,1\cdot10^5 м/с.
Задача 6. Определить, во сколько раз частота излучения, вызывающего фотоэффект с поверхности некоторого металла, больше красной границы фотоэффекта, если работа выхода электрона из этого металла в k = 2,5 раза больше максимальной кинетической энергии фотоэлектронов.

Уравнение фотоэффекта:

    \[\frac{hc}{\lambda}=A+\frac{m \upsilon^2}{2}\]

Или

    \[\frac{hc}{\lambda}=A+\frac{A}{k}\]

    \[\frac{hc}{\lambda}=\frac{A(k+1)}{k}\]

    \[\frac{hc}{\lambda}=\frac{hc}{\lambda_0}\frac{(k+1)}{k}\]

    \[\frac{\lambda_0}{\lambda}=\frac{\nu}{\nu_0}=\frac{(2,5+1)}{2,5}=1,4\]

Ответ: \frac{\lambda_0}{\lambda}=\frac{\nu}{\nu_0}=1,4.

Задача 7. При некотором минимальном значении задерживающей разности потенциалов фототок с поверхности лития, освещаемого светом с длиной волны \lambda_0, прекращается. Изменив длину волны света в n = 1 ‚5 раза, установили, что для прекращения фототока достаточно увеличить задерживающую разность потенциалов в k = 2 раза. Вычислить \lambda_0.

    \[h \nu_1=A+\frac{m \upsilon^2}{2}=A+Ue\]

Работа выхода для лития равна A=4\cdot10^{-19}.

А для второй частоты

    \[h \nu_2=A+kUe\]

Тогда

    \[Ue= h \nu_1-A\]

    \[Ue=\frac{ h \nu_2-A }{k}\]

Приравняем:

    \[h \nu_1-A=\frac{ h \nu_2-A }{k}\]

    \[\frac{hc}{\lambda_0}=\frac{ \frac{hc}{n\lambda_0}-A }{k}\]

    \[\frac{hc}{\lambda_0}-\frac{hcn}{k\lambda_0}=A-\frac{A}{k}\]

    \[\frac{hck-hcn}{\lambda_0k}=\frac{Ak-A}{k}\]

    \[\lambda_0=\frac{hc(k-n)}{A(k-1)}=\frac{6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8 (2-1,5)}{ 4\cdot10^{-19} (2-1)}=260\cdot10^{-9}\]

Ответ: \lambda_0=260 нм.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *