Фотоэффект: красная граница и задерживающее напряжение

[latexpage]

В этой статье будем рассчитывать красную границу фотоэффекта, скорости электронов и задерживающее напряжение.

Задача 1. С какой скоростью вылетают электроны с поверхности цезия при освещении желтым светом с длиной волны $\lambda = 590$ нм?
Скорость фотоэлектрона равна

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2}{m}\left(h \nu-A\right)}= \sqrt{\frac{2}{m}\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda_0}\right)}=\sqrt{2hc}\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda}{m\lambda_0\lambda }}$$

Красная граница фотоэффекта для цезия равна $\lambda_0=653$ нм.

Подставим числа:

$$\upsilon=\sqrt{2\cdot6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}\sqrt{\frac{(653-590)\cdot10^9}{9,1\cdot10^{-31}\cdot653\cdot590}}=2,67\cdot10^5$$

Ответ: $\upsilon=2,67\cdot10^5$ м/с.
Задача 2. Цезиевый катод фотоэлемента освещают светом натриевой лампы с длиной волны $\lambda = 600$ нм. Определить скорость вырываемых из катода фотоэлектронов, если красная граница фотоэффекта для цезия $\lambda = 650$ нм.

Из предыдущей задачи скорость равна

$$\upsilon=\sqrt{2hc}\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda}{m\lambda_0\lambda }}=\sqrt{2\cdot6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8}\sqrt{\frac{(650-600)\cdot10^9}{9,1\cdot10^{-31}\cdot650\cdot600}}=2,37\cdot10^5$$

Ответ: $\upsilon=2,37\cdot10^5$ м/с.

Задача 3. Если поочередно освещать поверхность металла излучением с длинами волн $\lambda_1 = 350$ нм и $\lambda_2 = 540$ нм, то максимальные скорости фотоэлектронов будут отличаться в $n = 2$ раза. Определить работу выхода электрона из этого металла.

Из предыдущей задачи:

$$\upsilon_1=\sqrt{2hc}\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_1}{m\lambda_0\lambda_1 }}$$
$$\upsilon_2=\sqrt{2hc}\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_2}{m\lambda_0\lambda_2 }}$$

Отношение скоростей:

$$\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_1}{m\lambda_0\lambda_1 }}}{\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_2}{m\lambda_0\lambda_2 }}}$$

$$\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_0-\lambda_2}\cdot\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}$$

Возведем в квадрат:

$$\left(\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}\right)^2=\frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_0-\lambda_2}\cdot\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$$

$$n^2=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\cdot\frac{\lambda_0-\lambda_1}{\lambda_0-\lambda_2}$$

$$ n^2\frac{\lambda_1}{\lambda_2}(\lambda_0-\lambda_2)= \lambda_0-\lambda_1$$

$$\lambda_1-n^2\lambda_1=\lambda_0\left(1-n^2\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)$$

$$\lambda_0=\frac{\lambda_1(1-n^2)}{1-n^2\frac{\lambda_1}{\lambda_2}}$$

Работа выхода равна:

$$A=\frac{h c}{\lambda_0}=\frac{hc \left(1-n^2\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)}{ \lambda_1(1-n^2)}= \frac{hc \left(\lambda_2-n^2\lambda_1\right)}{ \lambda_1(1-n^2)}$$

Чтобы числитель и знаменатель имели положительные знаки, преобразуем еще раз и подставим числа:

$$A= \frac{hc \left(n^2\lambda_1-\lambda_2\right)}{ \lambda_1(n^2-1)}= \frac{6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8 \left(2^2\cdot 350\cdot10^{-9}-540\cdot10^{-9}\right)}{ 350\cdot10^{-9} (2^2-1)}=3\cdot10^{-19}$$

Или в электронвольтах $A=\frac{3\cdot10^{-19}}{1,6\cdot10^{-19}}=1,88$

Ответ: $A=3\cdot10^{-19}$ Дж, или 1,88 эВ.

Задача 4. Для некоторого металла красная граница фотоэффекта в $k = 1,2$ раза меньше частоты падающего излучения. Определить работу выхода электрона из данного металла, если максимальная скорость фотоэлектронов равна $\upsilon = 6 \cdot 10^5$ м /с.

Если частота красной границы фотоэффекта меньше частоты падающего излучения, то длина волны – больше.

$$A=\frac{hc}{\lambda_0}=\frac{h c }{\lambda k }$$

Или

$$Ak=\frac{h c}{\lambda}$$

Уравнение фотоэффекта:

$$\frac{hc}{\lambda}=A+\frac{m \upsilon^2}{2}$$

Подставим $Ak$:

$$Ak=A+\frac{m \upsilon^2}{2}$$

$$\frac{m \upsilon^2}{2}=A(k-1)$$

$$A={m \upsilon^2 }{2(k -1)}= {9,1\cdot10^{-31}\cdot36\cdot10^{10}}{2(1,2-1)}=8,2\cdot10^{-19}$$

Или в электронвольтах $A=\frac{8,2\cdot10^{-19}}{1,6\cdot10^{-19}}=5,12$

Ответ: $A=8,2\cdot10^{-19}$ Дж, или 5,12 эВ.

Задача 5. Какую максимальную скорость будут иметь фотоэлектроны при облучении поверхности цинка ультрафиолетовым излучением с энергией квантов в $k = 1,5$ раза большей работы выхода?

Работа выхода для цинка равна $A=6,8\cdot10^{-19}$.

Уравнение фотоэффекта:

$$\frac{hc}{\lambda}=A+\frac{m \upsilon^2}{2}$$

Или

$$kA=A+\frac{m \upsilon^2}{2}$$

$$\frac{m \upsilon^2}{2}=A(k-1)$$
$$\upsilon^2=\frac{2 A(k-1)}{m}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2 A(k-1)}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot 6,8\cdot10^{-19} (1,5-1)}{9,1\cdot10^{-31}}}=8,1\cdot10^5$$

Ответ: $\upsilon=8,1\cdot10^5$ м/с.
Задача 6. Определить, во сколько раз частота излучения, вызывающего фотоэффект с поверхности некоторого металла, больше красной границы фотоэффекта, если работа выхода электрона из этого металла в $k = 2,5$ раза больше максимальной кинетической энергии фотоэлектронов.

Уравнение фотоэффекта:

$$\frac{hc}{\lambda}=A+\frac{m \upsilon^2}{2}$$

Или

$$\frac{hc}{\lambda}=A+\frac{A}{k}$$

$$\frac{hc}{\lambda}=\frac{A(k+1)}{k}$$

$$\frac{hc}{\lambda}=\frac{hc}{\lambda_0}\frac{(k+1)}{k}$$

$$\frac{\lambda_0}{\lambda}=\frac{\nu}{\nu_0}=\frac{(2,5+1)}{2,5}=1,4$$

Ответ: $\frac{\lambda_0}{\lambda}=\frac{\nu}{\nu_0}=1,4$.

Задача 7. При некотором минимальном значении задерживающей разности потенциалов фототок с поверхности лития, освещаемого светом с длиной волны $\lambda_0$, прекращается. Изменив длину волны света в $n = 1 ‚5$ раза, установили, что для прекращения фототока достаточно увеличить задерживающую разность потенциалов в $k = 2$ раза. Вычислить $\lambda_0$.
$$h \nu_1=A+\frac{m \upsilon^2}{2}=A+Ue$$

Работа выхода для лития равна $A=4\cdot10^{-19}$.

А для второй частоты
$$h \nu_2=A+kUe$$

Тогда

$$ Ue= h \nu_1-A$$

$$ Ue=\frac{ h \nu_2-A }{k}$$

Приравняем:

$$ h \nu_1-A=\frac{ h \nu_2-A }{k}$$

$$\frac{hc}{\lambda_0}=\frac{ \frac{hc}{n\lambda_0}-A }{k}$$

$$\frac{hc}{\lambda_0}-\frac{hcn}{k\lambda_0}=A-\frac{A}{k}$$

$$\frac{hck-hcn}{\lambda_0k}=\frac{Ak-A}{k}$$

$$\lambda_0=\frac{hc(k-n)}{A(k-1)}=\frac{6,62\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^8 (2-1,5)}{ 4\cdot10^{-19} (2-1)}=260\cdot10^{-9}$$

Ответ: $\lambda_0=260$ нм.