Мы продолжаем использовать формулу Ньютона-Лейбница, и научимся определять площади различных фигур, ограниченных теми или иными кривыми. Задачи в этой статье сложнее, чем в предыдущей.
Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой и касательными к ней, проведенными из точки (0;1).
Так как касательная и график имеют только одну общую точку, то определить ее можно, приравняв выражения и
. У полученного квадратного уравнения дискриминант должен быть равен 0:
Так как касательные проходят через точку (0;1), то :
Таким образом, уравнение первой касательной , а второй –
. Строим!

К задаче 1
Определим пределы интегрирования:
Аналогично слева:
Эту фигуру нам придется разбить на две. Можно так:

Первый способ разбиения
Тогда будем вычислять площадь зеленого и бежевого участка отдельно и складывать их. А можно поступить так: вычислить площадь под параболой, а потом вычесть из нее площади двух желтых трапеций.

Второй способ разбиения
Покажем, что результат будет одинаков в обоих случаях. Вычисляем первым способом:
Вычисляем вторым способом. Для этого определим ординату точки касания:. То есть у трапеции
основания 1 и 19, а высота
. Тогда:
Ответ: .
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
гиперболой , прямой
и касательной к кривой
в точке с абсциссой
.
Гипербола и касательная имеют одну общую точку. Уравнение прямой . Прямая эта по условию пройдет через точку с абсциссой 2. Определим ординату этой точки через уравнение гиперболы:
Таким образом, подставив координаты точки касания в уравнение прямой, получим:
Так как гипербола и касательная имеют одну общую точку, то приравняем:
Домножив на , имеем уравнение:
Дискриминант этого уравнения равен 0: одна точка контакта, один корень.
Откуда .
Тогда .
Теперь имеем уравнение касательной:
Строим:

К задаче 2
Считаем площадь:
Ответ: .
Задача 3. В какой точке графика функции надо провести касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми
трапецию наибольшей площади?
Найдем уравнение касательной к графику.
Тогда уравнение касательной

К задаче 3
Прямая отсечет трапецию . Определим длины оснований этой трапеции
и
. Так как прямая пересечет ось
, то координаты точки пересечения
будут:
Абсцисса второй точки, которая нам нужна – точки ,
, поэтому
Таким образом, определены основания трапеции. Первое, малое: , второе, большое,
, а высота
. Определяем площадь:
Определим ее минимум. Для этого возьмем производную и приравняем к нулю:
Определим ординату искомой точки:
Ответ: нужно провести касательную через точку с координатами .
Эта потеря есть для обоих лучей. Ведь каждый в итоге отразился от...
Доброго времени суток! Разве во второй задаче не надо учесть потерю половины...
...
[latexpage] $$\Delta l_1=\frac{(m_A+M)g}{k_1}$$ $$\Delta l_2=\frac{Mg}{k_2}$$ $$\Delta l_1+\Delta...
В таких ситуациях я обычно говорю ученикам: не надо думать, надо формулы писать :)))...