Формула Ньютона-Лейбница. Площади фигур-2

Мы продолжаем использовать формулу  Ньютона-Лейбница, и научимся определять площади различных фигур, ограниченных теми или иными кривыми. Задачи в этой статье сложнее, чем в предыдущей.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой и касательными к ней, проведенными из точки (0;1).

Так как касательная и график имеют только одну общую точку, то определить ее можно, приравняв выражения и . У полученного квадратного уравнения дискриминант должен быть равен 0:

Так как касательные проходят через точку (0;1), то :

Таким образом, уравнение первой касательной , а второй – . Строим!

К задаче 1

Определим пределы интегрирования:

Аналогично слева:

Эту фигуру нам придется разбить на две. Можно так:

Первый способ разбиения

Тогда будем вычислять площадь зеленого и бежевого участка отдельно и складывать их. А можно поступить так: вычислить площадь под параболой, а потом вычесть из нее площади  двух желтых  трапеций.

Второй способ разбиения

Покажем, что результат будет одинаков в обоих случаях. Вычисляем первым способом:

Вычисляем вторым способом. Для этого определим ординату точки касания:. То есть у трапеции основания 1 и 19, а высота . Тогда:

Ответ: .

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

гиперболой , прямой и касательной к кривой в точке с абсциссой .

Гипербола и касательная имеют одну общую точку. Уравнение прямой . Прямая эта по условию пройдет через точку с абсциссой 2. Определим ординату этой точки через уравнение гиперболы:

Таким образом, подставив координаты точки касания в уравнение прямой, получим:

Так как гипербола и касательная имеют одну общую точку, то приравняем:

Домножив на , имеем уравнение:

Дискриминант этого уравнения  равен 0: одна точка контакта, один корень.

Откуда .

Тогда .

Теперь имеем уравнение касательной:

Строим:

К задаче 2

Считаем площадь:

Ответ: .

Задача 3. В какой точке графика функции надо провести  касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми трапецию наибольшей площади?

Найдем уравнение касательной к графику.

Тогда уравнение касательной

К задаче 3

Прямая отсечет трапецию . Определим длины оснований этой трапеции и . Так как прямая пересечет ось , то координаты точки пересечения будут:

Абсцисса второй точки, которая нам нужна – точки , , поэтому

Таким образом, определены основания трапеции. Первое, малое: , второе, большое, , а высота . Определяем площадь:

Определим ее минимум. Для этого возьмем производную и приравняем к нулю:

Определим ординату искомой точки:

Ответ: нужно провести касательную через точку с координатами .