Формула Ньютона-Лейбница. Площади фигур-2

Мы продолжаем использовать формулу Ньютона-Лейбница, и научимся определять площади различных фигур, ограниченных теми или иными кривыми. Задачи в этой статье сложнее, чем в предыдущей.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой $y=x^2+10$ и касательными к ней, проведенными из точки (0;1).

Так как касательная и график имеют только одну общую точку, то определить ее можно, приравняв выражения $y=kx+b$ и $y=x^2+10$ . У полученного квадратного уравнения дискриминант должен быть равен 0:

$x^2+10= kx+b$

$x^2- kx +10 -b=0$

$D=k^2-4\cdot(10-b)=0$

Так как касательные проходят через точку (0;1), то $b=1$ :

$D=k^2-4\cdot(10-1)=0$

$k^2-4\cdot9=0$

$k^2=36$

$k=\pm 6$

Таким образом, уравнение первой касательной $y=-6x+1$ , а второй – $y=6x+1$ . Строим!

К задаче 1

Определим пределы интегрирования:

$x^2+10= 6x+1$

$x^2-6x+9= 0$

$(x-3)^2= 0$

$x=3$

Аналогично слева:

$x^2+10= -6x+1$

$x^2+6x+9= 0$

$(x+3)^2= 0$

$x=-3$

Эту фигуру нам придется разбить на две. Можно так:

Первый способ разбиения

Тогда будем вычислять площадь зеленого и бежевого участка отдельно и складывать их. А можно поступить так: вычислить площадь под параболой, а потом вычесть из нее площади двух желтых трапеций.

Второй способ разбиения

Покажем, что результат будет одинаков в обоих случаях. Вычисляем первым способом:

$S=S_1+S_2=\int\limits_{-3}^0 (x^2+10-(-6x+1))\,dx+\int\limits_0^3 (x^2+10-(6x+1)\,dx =\int\limits_{-3}^0 (x^2+6x+9))\,dx+\int\limits_0^3 (x^2-6x+9)\,dx =$

$=\Bigl.\left(\frac{1}{3}x^3+3x^2+9x\right) \Bigr|_{-3}^0+\Bigl.\left(\frac{1}{3}x^3-3x^2+9x\right) \Bigr|_0^3=-(-\frac{1}{3}\cdot27+27-27)+\frac{1}{3}\cdot3^3-27+9\cdot 3=0+9=18$

Вычисляем вторым способом. Для этого определим ординату точки касания: $y_k=(-3)^2+10=19$ . То есть у трапеции $ABCD$ основания 1 и 19, а высота $AD=3$ . Тогда:

$S=S_3-2S_4=\int\limits_{-3}^3 (x^2+10)\,dx-2\cdot\frac{1+19}{2}\cdot3=\Bigl.\left(\frac{1}{3}x^3+10x\right) \Bigr|_{-3}^3-60=\frac{1}{3}(3)^3+10(3)-( \frac{1}{3}(-3)^3-10(3))-60=9+30+9+30-60=18$

Ответ: $S=18$ .

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

гиперболой $y=\frac{1}{x}$ , прямой $x=1$ и касательной к кривой $y=\frac{1}{x}$ в точке с абсциссой $x=2$ .

Гипербола и касательная имеют одну общую точку. Уравнение прямой $y=kx+b$ . Прямая эта по условию пройдет через точку с абсциссой 2. Определим ординату этой точки через уравнение гиперболы:

$y=\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$

Таким образом, подставив координаты точки касания $(2; \frac{1}{2})$ в уравнение прямой, получим:

$\frac{1}{2}=2k+b$

$b=\frac{1}{2}-2k$

Так как гипербола и касательная имеют одну общую точку, то приравняем:

$\frac{1}{x}=kx+\frac{1}{2}-2k$

Домножив на $x$ , имеем уравнение:

$1=kx^2+\frac{1}{2}x-2kx$

$kx^2+\left(\frac{1}{2}-2k\right)x-1=0$

Дискриминант этого уравнения равен 0: одна точка контакта, один корень.

$D=(\frac{1}{2}-2k\right)^2+4k=0$

$\frac{1}{4}-2k+4k^2+4k=\frac{1}{4}+2k+4k^2=(\frac{1}{2}+2k\right)^2=0$

Откуда $k=-\frac{1}{4}$ .

Тогда $b=\frac{1}{2}-2k=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ .

Теперь имеем уравнение касательной:

$y=-\frac{1}{4}x+1$

Строим:

К задаче 2

Считаем площадь:

$S=\int\limits_{1}^2 (\frac{1}{x}-(-\frac{1}{4}x+1))\,dx=\int\limits_{1}^2 (\frac{1}{x}+\frac{1}{4}x-1)\,dx= \Bigl. \left(\ln x +\frac{1}{8}x^2-x\right) \Bigr|_1^2=\ln 2+\frac{1}{8}\cdot 2^2-2-(\ln 1+\frac{1}{8}-1)=\ln 2+\frac{1}{2}-2-\frac{1}{8}+1=\ln 2-\frac{5}{8}$

Ответ: $S=\ln 2-\frac{5}{8}$ .

Задача 3. В какой точке графика функции $y=x^2+1$ надо провести касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми $y=0, x=0, x=1$ трапецию наибольшей площади?

Найдем уравнение касательной к графику.

$y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)$

$f'(x^2+1)=2x$

$f'(x_0)=2x_0$

Тогда уравнение касательной

$y=x_0^2+1+2x_0(x-x_0)$

К задаче 3

Прямая отсечет трапецию $PMNQ$ . Определим длины оснований этой трапеции $PM$ и $NQ$ . Так как прямая пересечет ось $y$ , то координаты точки пересечения $M$ будут:

$\begin{Bmatrix}{x_1= 0}\\{ y_1= x_0^2+1+2x_0(x-x_0)=-x_0^2+1 }\end{matrix}$

Абсцисса второй точки, которая нам нужна – точки $N$ , $x_2=1$ , поэтому

$\begin{Bmatrix}{x_2= 1}\\{ y_2= x_0^2+1+2x_0(x-x_0)=-x_0^2+2x_0+1 }\end{matrix}$

Таким образом, определены основания трапеции. Первое, малое: $y_1=-x_0^2+1$ , второе, большое, $y_2= -x_0^2+2x_0+1$ , а высота $x_2-x_1=1$ . Определяем площадь: