Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница. Площади фигур-1

В этой статье предлагаю вспомнить (или познакомиться) с геометрическим смыслом интеграла, формулой Ньютона-Лейбница, и научиться определять площади различных фигур, ограниченных теми или иными кривыми.

Дадим определение определенного интеграла: пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a,b] и пусть F(x) – некоторая ее первообразная. Тогда число F(b)-F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается

    \[\int\limits_a^b f(x)\,dx\]

Равенство \int\limits_a^b f(x)\,dx= F(b)-F(a) называется формулой Ньютона–Лейбница.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x) (f(x)>0), прямыми x=a; x=b; y=0, равна разности значений первообразной для функции y=f(x) в точках b и a:  S=F(b)-F(a).

Формула Ньютона–Лейбница связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

В общем случае, если фигура ограничена графиками функций y=f(x); y=g(x) (f(x)>g(x)) и прямымиx=a; x=b, то ее площадь равна:

    \[S=\int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx\]

 

Теперь решим несколько задач.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой y=-x^2+4x-3 и прямой, проходящей через точки (1;0) и (0;-3).

Про параболу все более-менее понятно, займемся сначала прямой. Найдем ее уравнение. Для этого запишем общее уравнение прямой: y=kx+b и подставим в него координаты точек. Получим систему:

    \[\begin{Bmatrix}{y_1= kx_1+b}\\{ y_2= kx_2+b }\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{0= 1k+b}\\{ -3= 0x_2+b }\end{matrix}\]

То есть b=-3, k=-b=3. Таким образом, искомое уравнение y=3x-3.

Теперь надо построить обе функции.

y=-x^2+4x-3 – парабола с ветвями вниз, вершина расположена: x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2, y_0=-x_0^2+4x_0-3=-4+8-3=1.

Определим сразу, где пересекутся наши функции (это будут пределы вычисления интеграла). Для этого приравняем

    \[-x^2+4x-3=3x-3\]

И решим уравнение:

    \[x^2-4x+3+3x-3=0\]

    \[x^2-x=0\]

Точки пересечения x_1=0, x_2=1. Строим!

К задаче 1

Выделяем на чертеже искомую область (выделена желтым). Важно, какой график ограничивает эту область сверху: при вычислении площади мы эту функцию запишем в формулу первой.

Теперь вычисляем:

    \[S=\int\limits_0^1 ((-x^2+4x-3)-(3x-3))\,dx=\int\limits_0^1 (-x^2+x)\,dx= -\Bigl.\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\right) \Bigr|_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\]

Ответ: S=\frac{1}{6}

 

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой y=-x^2 и прямой y=-2.

Парабола ветвями вниз, вершина в начале координат, прямая параллельна оси x. Строим!

К задаче 2

Определим точки пересечения графиков:

    \[-x^2=-2\]

    \[x_{1,2}=\pm\sqrt{2}\]

Теперь можно вычислять площадь:

    \[S=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2-2)\,dx= \Bigl.\left(-\frac{1}{3}x^3+2x\right) \Bigr|_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=-\frac{1}{3}(2\sqrt{2}+2\sqrt{2})+2(\sqrt{2}+\sqrt{2})=\frac{8\sqrt{2}}{3}\]

Ответ: S=\frac{8\sqrt{2}}{3}

 

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболами  y=1-x^2 и  y=x^2-1.

Как такие параболы расположены, мы все знаем. Нетрудно также определить точки, где они пересекутся – эти точки служат нам пределами.

Строим!

К задаче 3

Вычисляем площадь:

    \[S=\int\limits_{-1}^1 (1-x^2-(x^2-1))\,dx=\int\limits_{-1}^1 (2-2x^2)\,dx= \Bigl.\left(2x -\frac{2}{3}x^3\right) \Bigr|_{-1}^1=2-\frac{2}{3}-(-2+\frac{2}{3})=4-\frac{4}{3}=2\frac{2}{3}\]

Ответ: S=2\frac{2}{3}.

 

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=x^3, y=1 и  x=-2.

Построим:

К задаче 4

Определим верхний предел интегрирования – точку пересечения графиков y=x^3  и  y=1: x^3=1, x=1.

Вычисляем площадь:

    \[S=\int\limits_{-2}^1 (1-x^3)\,dx= \Bigl.\left(x -\frac{1}{4}x^4\right) \Bigr|_{-2}^1=1-\frac{1}{4}-(-2-\frac{1}{4}\cdot(-2)^4)=1-\frac{1}{4}+2+\frac{16}{4}=6\frac{3}{4}\]

Ответ: S=6\frac{3}{4}.

Задача 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+6x-5, y=-x^2+4x-3, y=3x-15.

Итак, имеем две параболы и прямую. Первая парабола y=-x^2+6x-5 имеет абсциссу вершины x_{10}=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3, ординату вершины:

y_{10}=-3^2+6\cdot3-5=4. Определим также корни уравнения

    \[-x^2+6x-5=0\]

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому x_1=1, x_2=5.

Вторая парабола y=-x^2+4x-3 имеет абсциссу вершины x_{20}=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2, ординату вершины:

y_{20}=-2^2+4\cdot2-3=1. Определим также корни уравнения

    \[-x^2+4x-3=0\]

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому x_1=1, x_2=3.

Строим:

К задаче 5

Чтобы определить площадь фигурки, нужно разбить ее на удобные куски. Два возможных варианта разбиения показаны на рисунке, возможно, вы найдете еще какие-то.

Первый вариант разбиения

Второй вариант разбиения

Считаем площадь (с использованием разбиения на две части). Для этого определим пределы интегрирования. Точка пересечения парабол:

    \[-x^2+6x-5=-x^2+4x-3\]

    \[2x=2\]

    \[x=1\]

Точка пересечения параболы y=-x^2+4x-3 и прямой y=3x-15:

    \[-x^2+4x-3=3x-15\]

    \[x^2-x-12=0\]

Корни по Виету: x_1=4, x_2=-3. Нас сейчас интересует точка с абсциссой 4.

Точка пересечения параболы y=-x^2+6x-5 и прямой y=3x-15:

    \[-x^2+6x-5=3x-15\]

    \[x^2-3x-10=0\]

Корни по Виету: x_1=5, x_2=-2. Нас сейчас интересует точка с абсциссой 5.

Тогда:

    \[S=\int\limits_1^4 (-x^2+6x-5-(-x^2+4x-3))\,dx+\int\limits_4^5 (-x^2+6x-5-(3x-15))\,dx =\int\limits_1^4 (2x-2)\,dx+\int\limits_4^5 (-x^2+3x+10)\,dx =\]

    \[=\Bigl.\left(x^2 -2x\right) \Bigr|_1^4+\Bigl.\left(-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+10x\right) \Bigr|_4^5=16-8-(1-2)-\frac{1}{3}\cdot5^3+\frac{3}{2}\cdot25+50-(-\frac{1}{3}\cdot4^3+\frac{3}{2}\cdot16+40)=\]

    \[=9-\frac{125}{3}+37,5+50+\frac{64}{3}-24-40=32,5-\frac{61}{3}=\frac{65}{2}-\frac{61}{3}=\frac{195}{6}-\frac{122}{6}=\frac{73}{6}\]

Ответ: S=\frac{73}{6}.

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *