Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница. Площади фигур-1

В этой статье предлагаю вспомнить (или познакомиться) с геометрическим смыслом интеграла, формулой Ньютона-Лейбница, и научиться определять площади различных фигур, ограниченных теми или иными кривыми.

Дадим определение определенного интеграла: пусть функция ) определена и интегрируема на отрезке [a,b] и пусть – некоторая ее первообразная. Тогда число называется интегралом от а до b функции и обозначается

   

Равенство называется формулой Ньютона–Лейбница.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции (), прямыми , равна разности значений первообразной для функции в точках b и a:  .

Формула Ньютона–Лейбница связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

В общем случае, если фигура ограничена графиками функций () и прямыми, то ее площадь равна:

   

 

Теперь решим несколько задач.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой и прямой, проходящей через точки и .

Про параболу все более-менее понятно, займемся сначала прямой. Найдем ее уравнение. Для этого запишем общее уравнение прямой: и подставим в него координаты точек. Получим систему:

   

   

То есть , . Таким образом, искомое уравнение .

Теперь надо построить обе функции.

– парабола с ветвями вниз, вершина расположена: , .

Определим сразу, где пересекутся наши функции (это будут пределы вычисления интеграла). Для этого приравняем

   

И решим уравнение:

   

   

Точки пересечения , . Строим!

К задаче 1

Выделяем на чертеже искомую область (выделена желтым). Важно, какой график ограничивает эту область сверху: при вычислении площади мы эту функцию запишем в формулу первой.

Теперь вычисляем:

   

Ответ:

 

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой и прямой .

Парабола ветвями вниз, вершина в начале координат, прямая параллельна оси . Строим!

К задаче 2

Определим точки пересечения графиков:

   

   

Теперь можно вычислять площадь:

   

Ответ:

 

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболами   и  .

Как такие параболы расположены, мы все знаем. Нетрудно также определить точки, где они пересекутся – эти точки служат нам пределами.

Строим!

К задаче 3

Вычисляем площадь:

   

Ответ: .

 

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: , и  .

Построим:

К задаче 4

Определим верхний предел интегрирования – точку пересечения графиков  и  : , .

Вычисляем площадь:

   

Ответ: .

Задача 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Итак, имеем две параболы и прямую. Первая парабола имеет абсциссу вершины , ординату вершины:

. Определим также корни уравнения

   

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому , .

Вторая парабола имеет абсциссу вершины , ординату вершины:

. Определим также корни уравнения

   

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому , .

Строим:

К задаче 5

Чтобы определить площадь фигурки, нужно разбить ее на удобные куски. Два возможных варианта разбиения показаны на рисунке, возможно, вы найдете еще какие-то.

Первый вариант разбиения

Второй вариант разбиения

Считаем площадь (с использованием разбиения на две части). Для этого определим пределы интегрирования. Точка пересечения парабол:

   

   

   

Точка пересечения параболы и прямой :

   

   

Корни по Виету: , . Нас сейчас интересует точка с абсциссой 4.

Точка пересечения параболы и прямой :

   

   

Корни по Виету: , . Нас сейчас интересует точка с абсциссой 5.

Тогда:

   

   

   

Ответ: .

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *