Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Определенный интеграл

Формула Ньютона-Лейбница. Площади фигур-1

[latexpage]

В этой статье предлагаю вспомнить (или познакомиться) с геометрическим смыслом интеграла, формулой Ньютона-Лейбница, и научиться определять площади различных фигур, ограниченных теми или иными кривыми.

Дадим определение определенного интеграла: пусть функция $y=f(x$) определена и интегрируема на отрезке [a,b] и пусть $F(x)$ – некоторая ее первообразная. Тогда число $F(b)–F(a)$ называется интегралом от а до b функции $f(x)$ и обозначается

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx$$

Равенство $\int\limits_a^b f(x)\,dx= F(b)–F(a)$ называется формулой Ньютона–Лейбница.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ ($f(x)>0$), прямыми $x=a; x=b; y=0$, равна разности значений первообразной для функции $y=f(x)$ в точках b и a:  $S=F(b)–F(a)$.

Формула Ньютона–Лейбница связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

В общем случае, если фигура ограничена графиками функций $y=f(x); y=g(x)$ ($f(x)>g(x)$) и прямыми$x=a; x=b$, то ее площадь равна:

$$S=\int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx$$

 

Теперь решим несколько задач.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой $y=-x^2+4x-3$ и прямой, проходящей через точки $(1;0)$ и $(0;-3)$.

Про параболу все более-менее понятно, займемся сначала прямой. Найдем ее уравнение. Для этого запишем общее уравнение прямой: $y=kx+b$ и подставим в него координаты точек. Получим систему:

$$\begin{Bmatrix}{y_1= kx_1+b}\\{ y_2= kx_2+b }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{0= 1k+b}\\{ -3= 0x_2+b }\end{matrix}$$

То есть $b=-3$, $k=-b=3$. Таким образом, искомое уравнение $y=3x-3$.

Теперь надо построить обе функции.

$y=-x^2+4x-3$ – парабола с ветвями вниз, вершина расположена: $x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$, $y_0=-x_0^2+4x_0-3=-4+8-3=1$.

Определим сразу, где пересекутся наши функции (это будут пределы вычисления интеграла). Для этого приравняем

$$-x^2+4x-3=3x-3$$

И решим уравнение:

$$x^2-4x+3+3x-3=0$$

$$x^2-x=0$$

Точки пересечения $x_1=0$, $x_2=1$. Строим!

К задаче 1

Выделяем на чертеже искомую область (выделена желтым). Важно, какой график ограничивает эту область сверху: при вычислении площади мы эту функцию запишем в формулу первой.

Теперь вычисляем:

$$S=\int\limits_0^1 ((-x^2+4x-3)-(3x-3))\,dx=\int\limits_0^1 (-x^2+x)\,dx=

-\Bigl.\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\right) \Bigr|_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

Ответ: $S=\frac{1}{6}$

 

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболой $y=-x^2$ и прямой $y=-2$.

Парабола ветвями вниз, вершина в начале координат, прямая параллельна оси $x$. Строим!

К задаче 2

Определим точки пересечения графиков:

$$-x^2=-2$$

$$x_{1,2}=\pm\sqrt{2}$$

Теперь можно вычислять площадь:

$$S=\int\limits_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2-2)\,dx=

\Bigl.\left(-\frac{1}{3}x^3+2x\right) \Bigr|_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=-\frac{1}{3}(2\sqrt{2}+2\sqrt{2})+2(\sqrt{2}+\sqrt{2})=\frac{8\sqrt{2}}{3}$$

Ответ: $S=\frac{8\sqrt{2}}{3}$

 

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: параболами  $y=1-x^2$ и  $y=x^2-1$.

Как такие параболы расположены, мы все знаем. Нетрудно также определить точки, где они пересекутся – эти точки служат нам пределами.

Строим!

К задаче 3

Вычисляем площадь:

$$S=\int\limits_{-1}^1 (1-x^2-(x^2-1))\,dx=\int\limits_{-1}^1 (2-2x^2)\,dx=

\Bigl.\left(2x -\frac{2}{3}x^3\right) \Bigr|_{-1}^1=2-\frac{2}{3}-(-2+\frac{2}{3})=4-\frac{4}{3}=2\frac{2}{3}$$

Ответ: $S=2\frac{2}{3}$.

 

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: $y=x^3$, $y=1$ и  $x=-2$.

Построим:

К задаче 4

Определим верхний предел интегрирования – точку пересечения графиков $y=x^3$  и  $y=1$: $x^3=1$, $x=1$.

Вычисляем площадь:

$$S=\int\limits_{-2}^1 (1-x^3)\,dx=

\Bigl.\left(x -\frac{1}{4}x^4\right) \Bigr|_{-2}^1=1-\frac{1}{4}-(-2-\frac{1}{4}\cdot(-2)^4)=1-\frac{1}{4}+2+\frac{16}{4}=6\frac{3}{4}$$

Ответ: $S=6\frac{3}{4}$.

Задача 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $ y=-x^2+6x-5$, $ y=-x^2+4x-3$, $y=3x-15$.

Итак, имеем две параболы и прямую. Первая парабола $ y=-x^2+6x-5$ имеет абсциссу вершины $x_{10}=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{-2}=3$, ординату вершины:

$y_{10}=-3^2+6\cdot3-5=4$. Определим также корни уравнения

$$-x^2+6x-5=0$$

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому $x_1=1$, $x_2=5$.

Вторая парабола $ y=-x^2+4x-3$ имеет абсциссу вершины $x_{20}=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$, ординату вершины:

$y_{20}=-2^2+4\cdot2-3=1$. Определим также корни уравнения

$$-x^2+4x-3=0$$

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому $x_1=1$, $x_2=3$.

Строим:

К задаче 5

Чтобы определить площадь фигурки, нужно разбить ее на удобные куски. Два возможных варианта разбиения показаны на рисунке, возможно, вы найдете еще какие-то.

Первый вариант разбиения

Второй вариант разбиения

Считаем площадь (с использованием разбиения на две части). Для этого определим пределы интегрирования. Точка пересечения парабол:

$$-x^2+6x-5=-x^2+4x-3$$

$$2x=2$$

$$x=1$$

Точка пересечения параболы $ y=-x^2+4x-3$ и прямой $y=3x-15$:

$$-x^2+4x-3=3x-15$$

$$x^2-x-12=0$$

Корни по Виету: $x_1=4$, $x_2=-3$. Нас сейчас интересует точка с абсциссой 4.

Точка пересечения параболы $ y=-x^2+6x-5$ и прямой $y=3x-15$:

$$-x^2+6x-5=3x-15$$

$$x^2-3x-10=0$$

Корни по Виету: $x_1=5$, $x_2=-2$. Нас сейчас интересует точка с абсциссой 5.

Тогда:

$$S=\int\limits_1^4 (-x^2+6x-5-(-x^2+4x-3))\,dx+\int\limits_4^5 (-x^2+6x-5-(3x-15))\,dx =\int\limits_1^4 (2x-2)\,dx+\int\limits_4^5 (-x^2+3x+10)\,dx =$$

$$=\Bigl.\left(x^2 -2x\right) \Bigr|_1^4+\Bigl.\left(-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+10x\right) \Bigr|_4^5=16-8-(1-2)-\frac{1}{3}\cdot5^3+\frac{3}{2}\cdot25+50-(-\frac{1}{3}\cdot4^3+\frac{3}{2}\cdot16+40)=$$

$$=9-\frac{125}{3}+37,5+50+\frac{64}{3}-24-40=32,5-\frac{61}{3}=\frac{65}{2}-\frac{61}{3}=\frac{195}{6}-\frac{122}{6}=\frac{73}{6}$$

Ответ: $S=\frac{73}{6}$.

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *