Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая задача повышенной сложности (26), Планиметрия (16 (C4))

Физическое решение геометрической задачи.

Задача эта давно решена мною традиционными, школьными методами. Но Александр Орлов предложил красивое, элегантное и простое решение данной задачи с применением физических законов, и мне ОЧЕНЬ понравилось такое краткое, практически устное, решение. Браво, Александр!

Задача. Найти отношение длин отрезков AK : KF и BK : KE, если BF : FC=3 :2, AE : EC=6: 2,5.

Решение Александра Орлова.

Рисунок 1

Применим правило моментов для решения данной задачи. Если представить отрезок AC рычагом, укрепленным в точке E, то, для того, чтобы он находился в равновесии, необходимо подвесить грузы, массы которых будут относиться как 5:12 согласно правилу моментов:

    \[m_A\cdot AE=m_C\cdot EC\]

    \[\frac{m_A}{m_C}=\frac{EC}{AE}=\frac{5}{12}\]

Пусть m_A=5, m_C=12.

Теперь применим правило моментов для отрезка BC.

    \[m_C\cdot FC=m_B\cdot BF\]

    \[\frac{m_C}{m_B}=\frac{BF}{FC}=\frac{3}{2}\]

Откуда

    \[m_B=8\]

Теперь то же правило моментов применим к отрезку AF:

    \[m_A\cdot AK=m_F\cdot KF\]

Но, так как точка F – центр тяжести отрезка BF, то можно в ней сосредоточить всю его массу: m_F=m_B+m_C=20, тогда

    \[\frac{AK}{KF}=\frac{m_F}{m_A}=\frac{20}{5}=\frac{4}{1}\]

И аналогично для отрезка BE:

    \[m_B\cdot BK=m_E\cdot KE\]

Но, так как точка E – центр тяжести отрезка AC, то можно в ней сосредоточить всю его массу: m_E=m_A+m_C=17, тогда

    \[\frac{BK}{KE}=\frac{m_E}{m_B}=\frac{17}{8}\]

Ответ: \frac{AK}{KF}=\frac{4}{1}, \frac{BK}{KE}=\frac{17}{8}.

Один комментарий

  • Alex
    |

    Барицентрический метод, или метод центра масс. Замечательно.

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *