Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 03, ОГЭ 12 (ГИА В9)

Фигуры на квадратной решетке

 

 

В этой статье речь пойдет о фигурах на квадратной решетке. В этом разделе присутствует несколько типов задач, это:

1) определение градусной меры угла;

2) определение тангенса угла (косинуса, синуса);

3) определение площади той или иной фигуры – трапеции, параллелограмма, сектора круга, треугольника и т.п.;

4) определение наибольшей (наименьшей) медианы (высоты) треугольника;

5) определение радиуса вписанной в треугольник (описанной около треугольника) окружности;

6) определение площади сложных или составных фигур.

Разберем задачи каждого типа.

Определение градусной меры угла.

1. Определите градусную меру угла:

 

 

 

 

 

 

Данный угол – тупой, и можно заметить, что левый луч, образующий его, является биссектрисой прямого угла (см. второй рисунок, угол показан рыжими прямыми). Тогда градусная мера этого угла равна:90circ+({90circ}/2)=135circ

Ответ: 135circ

2. Определите градусную меру угла (имеется в виду “рыжий” угол):

 

В этой задаче все просто, если вспомнить, что любой угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, равен 90circ

Ответ: 90circ

3.  Определите градусную меру угла (рыжий).

Имеем правильный шестиугольник. Угол, градусную меру которого нам надо определить – вписанный.

Он опирается на дугу, которую стягивает хорда, являющаяся стороной шестиугольника. Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу, это 1/6 часть всей окружности, или  60circ. Вписанный угол вдвое меньше центрального, если они опираются на одну и ту же дугу, значит, искомый угол равен  30circ.

 

4. Определите градусную меру угла.

“Нехорошая” задача. В данной задаче определить градусную меру угла можно только приближенно, однако мы не можем вписать приближенный ответ в бланк. Выделенный рыжим угол – тупой, можно заметить , что он состоит из прямого угла и еще некоторой части. Эту часть можно определить только “на глаз” – прикинуть, что она составляет примерно третью часть прямого угла, или 30circ. Тогда весь угол – 90circ+30circ=120circ. Ответ – 120circ. К сожалению такие задачи, где приходится прикидывать, встречаются.

Определение синусов, косинусов, тангенсов углов.

Здесь придется вспомнить геометрические определения синуса, косинуса, тангенса:

 

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

5. Определить синус, косинус и тангенс угла.

Для того, чтобы воспользоваться определениями синуса, косинуса и тангенса, надо сначала выделить прямоугольный треугольник.

Конечно, удобнее вычислять, если катеты и гипотенуза этого треугольника будут целыми числами. Катеты, понятно, лежат на прямых, образующих саму решетку, поэтому нужно смотреть на луч этого угла, который станет гипотенузой нашего треугольника, и найти такое место, где этот луч пересечет узел решетки:

Тогда в нашем треугольнике катеты  – 3 и 4 клетки, а гипотенузу найдем по теореме Пифагора.

Тогда: синус угла – 4/5, или 0,8, косинус угла – 3/5, или 0,6, тангенс угла – 4/3, или 1,33 – кстати, вы подумали, как записать такое число в бланк ответов?

6. Определить тангенс угла:

Вспомним, что тангенс тупого угла равен тангенсу острого, смежного с ним, взятого с отрицательным знаком.

Надо найти тангенс смежного острого угла. Так как луч, образующий его – гипотенуза прямого угла и проходит прямо по узлам решетки, то катеты треугольников, образуемых этим лучом, всегда равны. Тогда тангенс равен:1/1=2/2=3/3=1. Искомый тангенс тупого угла – (-1).

Ответ: -1

7. Определить тангенс угла.

Данный угол – острый, его тангенс – положительный. Осталось найти подходящий узел решетки, чтобы построить прямоугольный треугольник (для этого черным помечена опорная точка – узел решетки). В этом треугольнике считаем количество клеточек в каждом из катетов и определяем тангенс. У нас катеты – 1 и 4 клеточки, искомый тангенс – 1/4.

8. Определить тангенс угла.

Данный угол – тупой, значит, его тангенс – отрицателен. Определяем тангенс смежного с ним острого угла, ставим перед ним минус – и дело в шляпе. Чтобы определить тангенс острого угла, выбираем целый узел, через который проходит луч, образующий угол – помечен черной точкой. Катеты получившегося треугольника – 1 и 3 клетки, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему, значит,  3/1=3. Искомый тангенс тупого угла – (-3).

Ответ: -3

9 и 10. Попробуйте сами определить тангенсы углов на рисунках ниже. Ответ – в конце статьи.

 

 

 

 

 

Определение площади той или иной фигуры.

11. Определите площадь трапеции:

 

 Несмотря на то, что трапецию уложили на бок, сразу можем определить, где у нее основания – ведь, чтобы определить площадь трапеции, нужно знать основания и высоту трапеции:

S_TR={{a+b}/2}h

У нас верхнее (малое) основание – 2 клетки, нижнее (большое) – 4 клетки. Высота трапеции – 2 клетки. Тогда вычисляем площадь: S_TR={{2+4}/2}2=6

Ответ: 6

12. Определите площадь параллелограмма:

Для вычисления площади параллелограмма достаточно высоты и основания (есть, конечно, и другие формулы, но в данном случае, на решетке, они вряд ли пригодятся): S_PAR=a*h. У данного параллелограмма основание равно 1 клетке, а вот высота? Высота – всегда перпендикуляр к основанию… или к его продолжению! Вы согласны, что высота этого параллелограмма равна 4 клеткам? Тогда его площадь S_PAR=1*4=4.

Ответ:4.

13. Определите площадь ромба.

 Нетрудно понять, что посчитать площадь ромба удобно, разделив его на треугольники либо по вертикали, либо по горизонтали. Имеем два треугольника с основанием 6 клеток, высотой 2 клетки (поделила по горизонтали). Площадь треугольника определяем по формуле: S_Delta={a*h}/2=6.

Площадь ромба равна  2S_Delta=a*h=12.

Кстати, площадь ромба здесь еще очень удобно определить как половину произведения его диагоналей:  2S_Delta={d_1*d_2}/2={6*4}/2=12.

14. Определите площадь кругового сектора, в ответ запишите площадь, деленную на pi.

Радиус окружности равен 3, поэтому площадь всего круга будет: S_kr={pi}r^2=9{pi}.

Так как центральный угол сектора равен 120circ, а это 1/3 от  360circ, то площадь сектора будет равна 1/3 от площади всего круга, то есть S={1/3}S_kr=3{pi}. Делим на число  pi и записываем ответ: 3

15. Определите площадь треугольника:

Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать его основание и высоту. За основание может быть принята любая удобная сторона, удобная – значит, она расположена строго вертикально или горизонтально – так, чтобы ее длину в клеточках было удобно считать. Здесь возьмем за основание самую длинную сторону, расположенную вертикально, ее длина в клеточках – 10. Проведем к этой стороне высоту из правой вершины, высота получится равной 3 клеточкам.  Тогда площадь этого треугольника: S_Delta={a*h}/2={10*3}/2=15.

Ответ:15.

 

 

16. Определите площадь треугольника:

Основание его равно 2 клеткам, высота – 4 клеточки, и неважно, что она не “попала” в основание, ведь она может быть опущена и на его продолжение. Тогда площадь равна: S_Delta={a*h}/2={2*4}/2=4.

Ответ: 4.

Определение наибольшей или наименьшей высоты (или медианы) треугольника.

17. Определите наименьшую высоту треугольника. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в см.

Проведем высоты из вершин данного треугольника к основаниям или их продолжениям:

 

 

Понятно, что самая маленькая высота  – та, что внутри треугольника (а). Ее длина – 1 клеточка.

Ответ: 1

18. Найдите наибольшую медиану треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

 

В этом треугольнике нетрудно определить середины сторон – точки, в которых медианы пересекутся со сторонами треугольника (отмечены черными кружочками). Но медианы получаются близкими по длине – как узнать, какая все же длиннее?

Очевидно, что борьба развернется между медианами “b” и “c”, “а” – не конкурент, она явно короче. Длину “с” можно определить сразу – это 5 клеточек. Осталось разобраться с медианой “b”, и здесь нельзя выполнить расчет неточно. Воспользуемся тем, что треугольник изображен на сетке – тогда можно использовать теорему Пифагора. Построим прямоугольный треугольник на гипотенузе “b”:

 

Видно, что катеты этого треугольника 3 и 4 клетки, тогда гипотенуза (это и есть наша медиана “b”) равна 5 и равна медиане “с”. В ответ нужно записать длину наибольшей медианы, ответ: 5

 

19. Найдите наименьшую медиану  треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

 

 

 

 

Проведем медианы. Самую длинную медиану (к самой короткой стороне треугольника) не проводим.

Какая из медиан короче – рыжая или зеленая? Если заметить, что два этих отрезка являются перпендикуляром и наклонной между двумя параллельными прямыми, образующими саму сетку, то очевидно, что перпендикуляр – рыжая медиана – короче (по теореме). Ее длина – 2 клетки, записываем ответ: 2.

20. Найдите наибольшую высоту  треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см. Ответ дайте в см.

Очевидно, что здесь наибольшая высота – это высота, проведенная к продолжению наименьшей стороны треугольника, ее длина составит 4 клетки. Ответ: 4.

Определение радиуса вписанной в треугольник (описанной около треугольника) окружности.

21. Для данного треугольника определите радиус описанной около него окружности. Размер клетки – 1 см. Ответ дайте в см.

В такого типа задачах может помочь знание формул. Нужно помнить, что

 

 

 

S_Delta={a*b*c}/{4R}, где a, b и c – стороны треугольника, R – радиус описанной окружности.

S_Delta=rp, где p={a+b+c}/2 – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

Площадь этого треугольника – S_Delta={a*h}/2={8*2}/2=8. Длины его сторон: основание – 8, боковые – по теореме Пифагора – l=sqrt{4^2+2^2}=sqrt{20}

Считаем радиус описанной окружности: R={a*b*c}/{4S_Delta}={(sqrt{20})^2*8}/{4*8}=5

Ответ: 5

22. Определить радиус вписанной в треугольник окружности. Размер клетки 1 см.

Снова понадобятся стороны – чтобы определить полупериметр. Катеты: 5 и 12, тогда гипотенуза – 13 (пифагорова тройка).

Полупериметр: p={a+b+c}/2={5+12+13}/2=15

Это прямоугольный треугольник, площадь найдем через катеты: S_Delta={a*b}/2={5*12}/2=30

Тогда радиус вписанной окружности: r=S_Delta/p=30/15=2

Ответ:2

 

23. Определим радиус описанной около треугольника окружности:

Самая длинная – 10, самая короткая – l=sqrt{1^2+3^2}=sqrt{10}.Его площадь мы нашли в задаче 15, она равна 15 квадратным см. Осталось найти стороны.

Средняя: l=sqrt{9^2+3^2}=sqrt{90}.

Считаем радиус описанной окружности: R={a*b*c}/{4S_Delta}={(sqrt{10})*(sqrt{90})*10}/{4*15}=300/60=5

Ответ:5

 

Определение площади сложных или составных фигур.

При определении площадей сложных фигур часто их можно разбить на более простые, определить их площади и затем сложить. Но в ряде случаев можно пользоваться и формулой Пика. Она подходит для фигур, нарисованных на клетчатой бумаге, и невырожденых -площадь фигуры ненулевая,  все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга.

S=V+G/2-1

Здесь V – число целочисленных точек внутри фигуры (целочисленные точки – это узлы нашей решетки), G – число целочисленных точек на границе фигуры (на линиях, ограничивающих фигуру). Применять формулу для фигур, содержащих элементы круга не стоит – речь идет о фигурах, полученных при пересечении прямых.

Однако сначала разберем простые случаи.

24. Определите площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Видно, что фигура состоит из двух треугольников, причем площадь маленького нужно вычесть из площади большого. Определяем площади, большой треугольник: S_Delta={a*h}/2={4*3}/2=6. Малый треугольник: S={a*h}/2={4*1}/2=2. Вычитаем из большей площади меньшую: 4. Ответ: 4.

Попробуем воспользоваться формулой Пика:  S=V+G/2-1. Внутри фигуры три узла решетки, на границе – 4. Тогда площадь: S=3+4/2-1=4 – как видите, ответ тот же.

25. Определите площадь квадрата, размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Очень хочется повернуть квадрат так, чтобы стоял на стороне, и сказать, что сторона равна 3, а площадь – 9. Но это не так. Определим длину стороны квадрата по теореме Пифагора:  a=sqrt{3^2+1^2}=sqrt{10}. Тогда площадь этого квадрата равна 10. Ответ: 10.

Получится ли такой же ответ по нашей волшебной формуле? Внутри фигуры девять узлов решетки, на границе – 4 (вершины квадрата). Тогда площадь: S=9+4/2-1=10.

26. Определите площадь заштрихованной фигуры, размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

При отыскании площади такой фигуры принцип тот же: находим площадь большого квадрата и вычитаем площадь малого.

Сторона большого квадрата:  a=sqrt{3^2+3^2}=sqrt{18}, значит, его площадь – 18 кв. см.

Сторона малого:  a=sqrt{2^2+2^2}=sqrt{8}, его площадь 8 кв. см.

Разность площадей составляет 10 кв. см – это и есть искомая площадь.

По формуле Пика площадь этой фигуры определить нельзя: верный ответ не получится, так как, строго говоря, здесь не одна фигура, а две.

27. Определите площадь кольца.  Размер клетки 1 см. В ответ запишите площадь  в кв. см, деленную на  pi.

Здесь легко по клеткам определить радиус как большего, так и меньшего круга, посчитать их площади и затем вычесть одно из другого.

Больший круг:  S=pi{r^2}=4pi

Меньший круг: s=pi{r^2}=pi

Разность составляет:  S-s=4pi-pi=3pi. В ответ записываем найденную площадь, деленную на число  pi: 3

28. Определить площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

Эту фигуру можно разбить на три треугольника и определить сумму их площадей: 3+1+1=5.

По формуле Пика имеем то же самое:  S=V+G/2-1. Внутри фигуры два узла решетки, на границе – 8. Тогда площадь: S=2+8/2-1=5 –  ответ тот же.

 

29. Определить площадь изображенной на клетчатой бумаге фигуры. Размер клетки 1 см. Ответ дайте в кв. см.

В этом случае надо еще придумать, как разбить нашу фигуру на более простые. Нужно сделать это так, чтобы площади определялись точно, без “ну, там примерно полклеточки”. И это не обязательно должны быть треугольники!

Это могут быть  трапеция и треугольник, а площадь трапеции мы уже научились находить. Но в этом случае точно определить площадь можно только разбив фигуру на треугольники: у меня вышло 4 кв. см.

По формуле Пика: внутри два узла решетки, на границе – 6. Тогда площадь: S=2+6/2-1=4. Ответ: 4

30. Самостоятельно определите площадь фигуры удобным вам способом:

 Ответ – в конце статьи.

31. Вот такая интересная фигура встретилась на пробном ЕГЭ в 2014 году одному из учеников:

Как тут быть? Можно вычленить полный круг и определить его площадь, но остается еще “рыбий хвост” – этакий сдавленный ромб, и как определить его площадь?

Этот “хвост” – круг, из которого вырезали 8 сегментов – см. рисунок, а площадь сегмента – это площадь сектора (в нашем случае – четверть круга) минус площадь треугольника (красными линиями). Считаем: “тело” рыбы – полный круг. Радиус его 2 клетки, площадь тогда  4pi. Площадь сектора –  pi, площадь треугольника – 2. Площадь сегмента равна:  pi-2, а восьми сегментов –  8pi-16. Площадь “хвоста”:

4pi-(8pi-16)=16-4pi. Соединим “хвост” и “тело”:  16-4pi+4pi=16.

Ответ: 16

Ответ на 9 задачу: 1,5

Ответ на 10 задачу: 1/2

Ответ на 30 задачу: 5

Если что-то все же осталось непонятно, задавайте ваши вопросы в комментариях, я обязательно отвечу!

 

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *