Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Относительность движения

Эскалаторы

В этой статье собраны задачи про эскалаторы. Пассажиры метро чего только на них не выделывают, и каких только способов подняться и спуститься не придумали! Встретятся и задачи на постоянную скорость, и задачи на относительность движения.

Задача 1. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору  метрополитена за время t_1=3 мин, а по движущемуся вверх – за t_2=2 минуты. Сможет ли он подняться по эскалатору, движущемуся с той же скоростью вниз? Если да, то за какое время?

Итак, дана, по сути, собственная скорость пассажира. Ее можно найти, зная время его подъема и обозначив длину расстояния от нижней точки до верхней за l:

    \[\upsilon_p=\frac{l}{t_1}\]

Когда эскалатор движется вверх, то скорости пассажира и эскалатора сложатся, и относительно земли пассажир будет двигаться со скоростью \upsilon_p+\upsilon, где \upsilon – скорость движения эскалатора. Тогда время подъема станет равным t_2:

    \[t_2=\frac{l}{\upsilon_p+\upsilon }=\frac{l}{\frac{l}{t_1}+\upsilon }\]

Отсюда можно определить скорость эскалатора:

    \[l=\frac{lt_2}{t_1}+\upsilon t_2\]

    \[\upsilon=\frac{l\left(1-\frac{t_2}{t_1}\right)}{t_2}=l\left(\frac{1}{t_2}-\frac{1}{t_1}\right)\]

Если пассажиру вздумается идти вверх по эскалатору, то скорость эскалатора вычтется из его собственной скорости, и общая скорость подъема станет равной \upsilon_p-\upsilon, тогда время подъема:

    \[t_3=\frac{l}{\upsilon_p-\upsilon}=\frac{l}{\frac{l}{t_1}-\left(\frac{l}{t_2}-\frac{l}{t_1}\right)}=\frac{1}{\frac{2}{t_1}-\frac{1}{t_2}}=\frac{t_1t_2}{2t_2-t_1}=6\]

Ответ: 6 минут.

 

Задача 2. Человек спускается по движущемуся вниз эскалатору. В первый раз он насчитал n_1=50 ступенек, второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью относительно  эскалатора втрое большей, он насчитал n_2=75 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

Так как в первом случае и во втором случае человек бежал с разной скоростью, то и время он затрачивал разное. Кроме того, он пробегает в каждом случае и разный путь, поскольку эскалатор тоже движется, и с каждой секундой расстояние, которое отделяет человека от конца эскалатора, все время сокращается. Поэтому пусть в первом случае наш пассажир двигался со скоростью \upsilon и  прошел путь S_1 за время t_1, а во втором случае скорость движения 3\upsilon, время движения t_2 и S_2 – пройденное расстояние. Тогда:

    \[S_1=\upsilon_1 \cdot t_1\]

    \[S_2=3\upsilon_1 \cdot t_2\]

Пути, пройденные в первом и втором случае, разные, но перемещение-то одно и то же! Человек достиг цели: спустился сверху вниз. Обозначим перемещение l. Тогда относительно земли человек в первом случае движется со скоростью \upsilon_1+u, где u – скорость эскалатора, а во втором случае 3\upsilon_1+u:

    \[l=t_1 \cdot (\upsilon_1+u)\]

    \[l=t_2 \cdot (3\upsilon_1+u)\]

    \[t_1=\frac{l}{\upsilon_1+u }\]

    \[t_2=\frac{l}{3\upsilon_1+u }\]

Подставим найденное время:

    \[S_1=\upsilon_1 \cdot \frac{l}{\upsilon_1+u }\]

    \[S_2=3\upsilon_1 \cdot \frac{l}{3\upsilon_1+u }\]

Разделим S_2 на S_1:

    \[\frac{S_2}{S_1}=\frac{3(\upsilon_1+u) }{3\upsilon_1+u }\]

Найдем отношение скорости человека к скорости эскалатора, разделив на u:

    \[\frac{S_2}{S_1}=\frac{3(\frac{\upsilon_1}{u}+1) }{3\frac{\upsilon_1}{u}+1}\]

    \[S_2(3\frac{\upsilon_1}{u}+1)=S_1(3\frac{\upsilon_1}{u}+3)\]

    \[75(3\frac{\upsilon_1}{u}+1)=50(3\frac{\upsilon_1}{u}+3)\]

    \[225\frac{\upsilon_1}{u}+75=150\frac{\upsilon_1}{u}+150\]

    \[75\frac{\upsilon_1}{u}=75\]

    \[\frac{\upsilon_1}{u}=1\]

    \[\upsilon_1=u\]

Тогда можно подставить:

    \[S_2=3\upsilon_1 \cdot \frac{l}{3\upsilon_1+\upsilon_1}\]

    \[S_2=\frac{3l}{4}\]

Откуда расстояние l, выраженное в числе ступенек, l=100.

Ответ: 100.

Задача 3. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за время t_1=1 мин. Если человек будет двигаться относительно эскалатора вдвое быстрее, то он спустится за t_2=45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

Пусть сначала скорость спуска человека относительно эскалатора равна u, тогда во второй раз  она будет 2u. Скорость эскалатора обозначим за \upsilon. Поскольку в обоих случаях и человек, и эскалатор движутся в одну сторону, то скорости будут складываться. Поэтому время первого спуска равно:

    \[t_1=\frac{l}{u+\upsilon}\]

А время второго спуска будет

    \[t_2=\frac{l}{2u+\upsilon}\]

Если человек на эскалаторе просто стоит, то он и движется со скоростью эскалатора, ее нам и надо найти. Составим из этих двух уравнений систему и решим ее.

    \[\begin{Bmatrix}{ u+\upsilon =\frac{l}{t_1}}\\{2u+\upsilon =\frac{l}{t_2}}\end{matrix}\]

Уравняем коэффициенты:

    \[\begin{Bmatrix}{ 2u+2\upsilon =\frac{2l}{t_1}}\\{2u+\upsilon =\frac{l}{t_2}}\end{matrix}\]

Вычтем из первого второе уравнение:

    \[\upsilon=\frac{2l}{t_1}-\frac{l}{t_2}\]

Теперь можно определить и время спуска, если человек стоит на эскалаторе. Оно будет равно

    \[t_3=\frac{l}{\upsilon}=\frac{1}{\frac{2}{t_1}-\frac{1}{t_2}}=\frac{t_1t_2}{2t_2-t_1}=\frac{60\cdot 45}{2\cdot 45-60}=90\]

Ответ: 90 с.

 

Задача 4. Два человека одновременно вступают на эскалатор с противоположных сторон и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями относительно эскалатора \upsilon=2 м/с. На каком расстоянии от входа на эскалатор они встретятся? Длина эскалатора 100 м, его скорость u=1,5 м/с.

Если наши пассажиры встретились, то, следовательно, прошли весь эскалатор: часть – один, а часть – второй. Тот, что двигался в ту же сторону, что и эскалатор, относительно земли перемещался со скоростью \upsilon+u, а тот, что шел навстречу движению – со скоростью \upsilon- u. Таким образом, скорость сближения двух людей равна \upsilon+u+\upsilon-u=2\upsilon. Таким образом, время их движения равно:

    \[t=\frac{l}{2\upsilon}\]

За это время тот, что шел в одну сторону с эскалатором, прошел

    \[l_1=t\cdot(\upsilon+u)= \frac{l(\upsilon+u)}{2\upsilon}=\frac{100(2+1,5)}{4}=25\cdot3,5=87,5\]

А тот, что шел навстречу движению эскалатора, прошел

    \[l_2=t\cdot(\upsilon-u)= \frac{l(\upsilon-u)}{2\upsilon}=\frac{100(2-1,5)}{4}=25\cdot0,5=12,5\]

Таким образом, если вход на эскалатор там, где ступил на него первый пассажир (что логично), то встретятся они в 87,5 м от этого места.

Ответ: 87,5 м.

 

Задача 5. Эскалатор метро движется со скоростью \upsilon=1 м/с. Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на ступеньку вперед и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время t=70 с. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шел другим способом: делал два шага вперед и один шаг назад?  Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперед и назад одинакова и равна u=0,5 м/с. Считать размеры ступеней много меньше длины эскалатора.

Итак, пусть человек затрачивает время t для того, чтобы шагнуть на одну ступеньку. Тогда сначала он будет двигаться со скоростью -\frac{1}{3t}, поскольку в итоге шагает назад на одну ступеньку, и делает это за тройное время. Иначе говоря, скорость человека в первом случае равна -\frac{u}{3}. Движется он в сторону, противоположную движению эскалатора,  поэтому его скорость относительно земли равна \upsilon-\frac{u}{3}. В конце концов он добирается до нижней точки, то есть совершает перемещение l:

    \[l=(\upsilon-\frac{u}{3})t\]

Если бы он шел вторым способом, то скорость относительно эскалатора была бы \frac{u}{3}, а относительно  земли \upsilon+\frac{u}{3}. Время перемещения тогда составило бы:

    \[t_1=\frac{l}{\upsilon+\frac{u}{3}}=\frac{(\upsilon-\frac{u}{3})t }{\upsilon+\frac{u}{3}}=\frac{(3\upsilon -u)t}{3\upsilon +u}=\frac{2,5\cdot 70}{3,5}=50\]

Ответ: 50 с.

Комментариев - 4

  • Илья
    |

    В задаче н2 в разделе эскалаторы непонятно из условия, ни в каком направлении двигается пассажир, ни по направлению движения эскалатора, ни против.

    Ответить
    • Анна
      |

      Поправила. Спасибо!

      Ответить
  • Наталья
    |

    задачу 2 можно сделать проще. )
    В первом случае на каждую пройденную человеком ступень уезжает хорошо ступеней эскалатора. И так 50 раз:
    50 (1+х)
    во втором случае – на каждую пройденную ступень уедет в три раза меньше:
    75 (1+х/3)
    Приравняем, решим, получим х=1 и
    50 (1+х)= 100
    Все!

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо большое! Красиво.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *