Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение с постоянной скоростью, Относительность движения

Эскалаторы

В этой статье собраны задачи про эскалаторы. Пассажиры метро чего только на них не выделывают, и каких только способов подняться и спуститься не придумали! Встретятся и задачи на постоянную скорость, и задачи на относительность движения.

Задача 1. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору  метрополитена за время мин, а по движущемуся вверх – за минуты. Сможет ли он подняться по эскалатору, движущемуся с той же скоростью вниз? Если да, то за какое время?

Итак, дана, по сути, собственная скорость пассажира. Ее можно найти, зная время его подъема и обозначив длину расстояния от нижней точки до верхней за :

   

Когда эскалатор движется вверх, то скорости пассажира и эскалатора сложатся, и относительно земли пассажир будет двигаться со скоростью , где – скорость движения эскалатора. Тогда время подъема станет равным :

   

Отсюда можно определить скорость эскалатора:

   

   

Если пассажиру вздумается идти вверх по эскалатору, то скорость эскалатора вычтется из его собственной скорости, и общая скорость подъема станет равной , тогда время подъема:

   

Ответ: 6 минут.

 

Задача 2. Человек бежит по движущемуся эскалатору. В первый раз он насчитал ступенек, второй раз, двигаясь в ту же сторону со скоростью относительно  эскалатора втрое большей, он насчитал ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы на неподвижном эскалаторе?

Так как в первом случае и во втором случае человек бежал с разной скоростью, то и время он затрачивал разное. Кроме того, он пробегает в каждом случае и разный путь, поскольку эскалатор тоже движется, и с каждой секундой расстояние, которое отделяет человека от конца эскалатора, все время сокращается. Поэтому пусть в первом случае наш пассажир двигался со скоростью и  прошел путь за время , а во втором случае скорость движения , время движения и – пройденное расстояние. Тогда:

   

   

Пути, пройденные в первом и втором случае, разные, но перемещение-то одно и то же! Человек достиг цели: спустился сверху вниз. Обозначим перемещение . Тогда относительно земли человек в первом случае движется со скоростью , где – скорость эскалатора, а во втором случае :

   

   

   

   

Подставим найденное время:

   

   

Разделим на :

   

Найдем отношение скорости человека к скорости эскалатора, разделив на :

   

   

   

   

   

   

   

Тогда можно подставить:

   

   

Откуда расстояние , выраженное в числе ступенек, .

Ответ: 100.

Задача 3. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за время мин. Если человек будет двигаться относительно эскалатора вдвое быстрее, то он спустится за с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе?

Пусть сначала скорость спуска человека относительно эскалатора равна , тогда во второй раз  она будет . Скорость эскалатора обозначим за . Поскольку в обоих случаях и человек, и эскалатор движутся в одну сторону, то скорости будут складываться. Поэтому время первого спуска равно:

   

А время второго спуска будет

   

Если человек на эскалаторе просто стоит, то он и движется со скоростью эскалатора, ее нам и надо найти. Составим из этих двух уравнений систему и решим ее.

   

Уравняем коэффициенты:

   

Вычтем из первого второе уравнение:

   

Теперь можно определить и время спуска, если человек стоит на эскалаторе. Оно будет равно

   

Ответ: 90 с.

 

Задача 4. Два человека одновременно вступают на эскалатор с противоположных сторон и движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями относительно эскалатора м/с. На каком расстоянии от входа на эскалатор они встретятся? Длина эскалатора 100 м, его скорость м/с.

Если наши пассажиры встретились, то, следовательно, прошли весь эскалатор: часть – один, а часть – второй. Тот, что двигался в ту же сторону, что и эскалатор, относительно земли перемещался со скоростью , а тот, что шел навстречу движению – со скоростью . Таким образом, скорость сближения двух людей равна . Таким образом, время их движения равно:

   

За это время тот, что шел в одну сторону с эскалатором, прошел

   

А тот, что шел навстречу движению эскалатора, прошел

   

Таким образом, если вход на эскалатор там, где ступил на него первый пассажир (что логично), то встретятся они в 87,5 м от этого места.

Ответ: 87,5 м.

 

Задача 5. Эскалатор метро движется со скоростью м/с. Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на ступеньку вперед и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время с. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шел другим способом: делал два шага вперед и один шаг назад?  Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперед и назад одинакова и равна м/с. Считать размеры ступеней много меньше длины эскалатора.

Итак, пусть человек затрачивает время для того, чтобы шагнуть на одну ступеньку. Тогда сначала он будет двигаться со скоростью , поскольку в итоге шагает назад на одну ступеньку, и делает это за тройное время. Иначе говоря, скорость человека в первом случае равна . Движется он в сторону, противоположную движению эскалатора,  поэтому его скорость относительно земли равна . В конце концов он добирается до нижней точки, то есть совершает перемещение :

   

Если бы он шел вторым способом, то скорость относительно эскалатора была бы , а относительно  земли . Время перемещения тогда составило бы:

   

Ответ: 50 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *