[latexpage]
Еще пара задач на кинематические связи. Главное – составить уравнения по второму закону Ньютона для всех тел, и затем добавить уравнение на связь ускорений. Тут главное – следить за знаками: если какой-то участок нити укорачивается – ставим минус, удлиняется – ставим плюс. На сайте множество статей на эту тему в рубрике с таким же названием.
Задача 1. К горизонтальному стержню прикреплены неподвижные блоки. К ним с помощью легкой нерастяжимой нити подвешены подвижные блоки, к которым, в свою очередь, подвешено $N$ грузов массами $m_1, m_2, \ldots m_N$. Нить проходит между торцевыми блоками, не провисая. Систему удерживают в равновесии, затем отпускают. Найдите ускорения всех грузов. Массами блоков можно пренебречь, трение в осях блоков отсутствует.

К задаче 1
Решение. Необходимо расставить силы и ускорения. Поскольку мы не знаем, куда направлены ускорения, направим их пока все вниз. Для любого блока расстановка сил одинакова:

Расстановка сил на n-тый блок
Пишем уравнения по второму закону Ньютона для каждого блока.
$$m_1g-2T=m_1a_1$$
$$m_2g-2T=m_2a_2$$
$$\ldots$$
$$m_ng-2T=m_na_n$$
Поскольку неизвестных больше, чем уравнений (неизвестны $n$ ускорений и натяжение нити), то нужно составить еще одно уравнение, исходя из условия нерастяжимости нити.

Расстояния в задаче 1
$$l=y_1+y_1-h+(y_2-h)\cdot 2+\ldots++y_n-h+y_n=C+2y_1+2y_2+\ldots+ 2y_n$$
Берем два раза производную (кто знает), и получаем
$$a_1+a_2+\ldots+ a_n=0$$
Кто производной не знает, делаем так:
$$l=C+2\left(y_1+\frac{a_1 \Delta t^2}{2}\right)+ +2\left(y_2+\frac{a_2 \Delta t^2}{2}\right)+\ldots+ 2\left(y_n+\frac{a_n \Delta t^2}{2}\right)$$
$$0=\frac{a_1 \Delta t^2}{2}+\frac{a_2 \Delta t^2}{2}+\ldots+\frac{a_n \Delta t^2}{2}$$
И получаем ровно то же самое:
$$a_1+a_2+\ldots+ a_n=0$$
Тогда
$$g-\frac{2T}{m_1}+g-\frac{2T}{m_2}+\ldots+ g-\frac{2T}{m_n}=0$$
$$ng-2T\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\ldots+ \frac{1}{m_n}\right)$$
$$2T=\frac{ng}{\sum^{n}_{i=1} {\frac{1}{m_i}}}$$
Тогда ускорение любого блока
$$a_i=g-\frac{2T}{m_i}=g-\frac{ng}{m_i \sum^{n}_{i=1} {\frac{1}{m_i}}}$$
Ответ: $a_i= g-\frac{ng}{m_i \sum^{n}_{i=1} {\frac{1}{m_i}}}$.
Задача 2. В системе, изображенной на рисунке, т ело массой $M$ может скользить по горизонтальной плоскости без трения. Коэффициент трения между телами $M$ и $m$ равен $\mu$. Найдите ускорение тела массой $M$. Массой блоков и нерастяжимой нити пренебречь.

К задаче 2
Решение.
Расставим силы.

Силы, ускорения и расстояния в задаче 2
Здесь силы на малое тело показаны синим, на большое – рыжим. Сила трения, действующая на большое тело – зеленым. Большое тело движется вправо и его ускорение направлено вправо, а составляющих ускорения малого тела две: одна – вправо и равна ускорению большего тела, а вторая – вниз.
Чтобы решить задачу, составляем уравнения по второму закону Ньютона и дополняем его уравнением, связывающим ускорения. Но сначала – второй закон:
$$2T-N=Ma_1$$
$$N=ma_1$$
$$mg-F_{tr}-T=ma_2$$
$$ F_{tr}=\mu N=\mu m a_1$$
Теперь составим уравнение, связывающее ускорения. Оно всегда составляется с опорой на условие нерастяжимости нити.
$$l=2x_1+y_2=const$$
Берем две производные. Так как длины отрезков $x_1$ уменьшаются, то производная отрицательна:
$$-2a_1+a_2=0$$
$$a_2=2a_1$$
Теперь вернемся к ранее составленным уравнениям по второму закону:
$$2T-ma_1=Ma_1$$
$$T=\frac{(m+M)a_1}{2}$$
$$mg-\mu m a_1-\frac{m+M}{2}a_1=m\cdot 2a_1$$
$$a_1=\frac{mg}{\mu m+\frac{M}{2}+\frac{5m}{2}}$$
Ответ: $a_1=\frac{mg}{\mu m+\frac{M}{2}+\frac{5m}{2}}$
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...