Еще раз про кинематические связи

[latexpage]

Еще пара задач на кинематические связи. Главное – составить уравнения по второму закону Ньютона для всех тел, и затем добавить уравнение на связь ускорений. Тут главное – следить за знаками: если какой-то участок нити укорачивается – ставим минус, удлиняется – ставим плюс. На сайте множество статей на эту тему в рубрике с таким же названием.

Задача 1. К горизонтальному стержню прикреплены неподвижные блоки. К ним с помощью легкой нерастяжимой нити подвешены подвижные блоки, к которым, в свою очередь, подвешено $N$ грузов массами $m_1, m_2, \ldots m_N$. Нить проходит между торцевыми блоками, не провисая. Систему удерживают в равновесии, затем отпускают. Найдите ускорения всех грузов. Массами блоков можно пренебречь, трение в осях блоков отсутствует.

К задаче 1

Решение. Необходимо расставить силы и ускорения. Поскольку мы не знаем, куда направлены ускорения, направим их пока все вниз. Для любого блока расстановка сил одинакова:

Расстановка сил на n-тый блок

Пишем уравнения по второму закону Ньютона для каждого блока.

$$m_1g-2T=m_1a_1$$

$$m_2g-2T=m_2a_2$$

$$\ldots$$

$$m_ng-2T=m_na_n$$

Поскольку неизвестных больше, чем уравнений (неизвестны $n$ ускорений и натяжение нити), то нужно составить еще одно уравнение, исходя из условия нерастяжимости нити.

Расстояния в задаче 1

$$l=y_1+y_1-h+(y_2-h)\cdot 2+\ldots++y_n-h+y_n=C+2y_1+2y_2+\ldots+ 2y_n$$

Берем два раза производную (кто знает), и получаем

$$a_1+a_2+\ldots+ a_n=0$$

Кто производной не знает, делаем так:

$$l=C+2\left(y_1+\frac{a_1 \Delta t^2}{2}\right)+ +2\left(y_2+\frac{a_2 \Delta t^2}{2}\right)+\ldots+ 2\left(y_n+\frac{a_n \Delta t^2}{2}\right)$$

$$0=\frac{a_1 \Delta t^2}{2}+\frac{a_2 \Delta t^2}{2}+\ldots+\frac{a_n \Delta t^2}{2}$$

И получаем ровно то же самое:

$$a_1+a_2+\ldots+ a_n=0$$

Тогда

$$g-\frac{2T}{m_1}+g-\frac{2T}{m_2}+\ldots+ g-\frac{2T}{m_n}=0$$

$$ng-2T\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\ldots+ \frac{1}{m_n}\right)$$

$$2T=\frac{ng}{\sum^{n}_{i=1} {\frac{1}{m_i}}}$$

Тогда ускорение любого блока

$$a_i=g-\frac{2T}{m_i}=g-\frac{ng}{m_i \sum^{n}_{i=1} {\frac{1}{m_i}}}$$

Ответ: $a_i= g-\frac{ng}{m_i \sum^{n}_{i=1} {\frac{1}{m_i}}}$.

Задача 2. В системе, изображенной на рисунке, т ело массой $M$ может скользить по горизонтальной плоскости без трения. Коэффициент трения между телами $M$ и $m$ равен $\mu$. Найдите ускорение тела массой $M$. Массой блоков и нерастяжимой нити пренебречь.

К задаче 2

Решение.

Расставим силы.

Силы, ускорения и расстояния в задаче 2

Здесь силы на малое тело показаны синим, на большое – рыжим. Сила трения, действующая на большое тело – зеленым. Большое тело движется вправо и его ускорение направлено вправо, а составляющих ускорения малого тела две: одна – вправо и равна ускорению большего тела, а вторая – вниз.

Чтобы решить задачу, составляем уравнения по второму закону Ньютона и дополняем его уравнением, связывающим ускорения. Но сначала – второй закон:

$$2T-N=Ma_1$$

$$N=ma_1$$

$$mg-F_{tr}-T=ma_2$$

$$ F_{tr}=\mu N=\mu m a_1$$

Теперь составим уравнение, связывающее ускорения. Оно всегда составляется с опорой на условие нерастяжимости нити.

$$l=2x_1+y_2=const$$

Берем две производные. Так как длины отрезков $x_1$ уменьшаются, то производная отрицательна:

$$-2a_1+a_2=0$$

$$a_2=2a_1$$

Теперь вернемся к ранее составленным уравнениям по второму закону:

$$2T-ma_1=Ma_1$$

$$T=\frac{(m+M)a_1}{2}$$

$$mg-\mu m a_1-\frac{m+M}{2}a_1=m\cdot 2a_1$$

$$a_1=\frac{mg}{\mu m+\frac{M}{2}+\frac{5m}{2}}$$

Ответ: $a_1=\frac{mg}{\mu m+\frac{M}{2}+\frac{5m}{2}}$