Еще одна задача про трех велосипедистов

[latexpage]

Задача попалась в сборнике “ОГЭ 2018. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов под ред. И.В. Ященко”. Задача хорошо решается графически – и я предлагаю вам освоить этот метод.

Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 21 км/ч. Через час после него со скоростью 15 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час – третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

Построим график движения первого велосипедиста:

Рисунок 1

Теперь добавим к нему второго. Наклон прямой должен быть меньше, так как второй велосипедист едет медленнее.

Рисунок 2

Наконец, еще через час выезжает третий и тогда наш график выглядит так:

Рисунок 3

Давайте обозначим время, за которое третий догнал второго, за $t$. На рисунке показаны пара подобных треугольников. Это треугольники $ABC$ и $ADE$, залитые бежевым цветом. Для них запишем отношение сходственных сторон:

$$\frac{DE}{BC}=\frac{H}{h}$$
Где $H$ – высота большего, она будет равна 9ч, а $h=t$ – высота меньшего. Длина отрезка $BC$ равна 15 км – столько успел проехать второй велосипедист за час. Длину отрезка $DE$ давайте определим: это расстояние, пройденное первым велосипедистом за $(11+t)$ часов, уменьшенное на расстояние, пройденное вторым за $(10+t)$ часов:

$$DE=(11+t)\upsilon_1-(10+t)\upsilon_2=(11+t)\cdot21+(10+t)\cdot15=6t+81$$

Тогда

$$\frac{6t+81}{15}=\frac{9}{t}$$
$$45=(2t+27)t$$

$$2t^2+27t-45=0$$

Положительный корень – $t=1,5$. Тогда второй велосипедист до встречи с третьим двигался 2,5 часа и проехал $2,5\cdot15=37,5$ км, а третий это же расстояние преодолел за 1,5 часа, значит, его скорость равна

$$\upsilon_3=\frac{37,5}{1,5}=25$$

Ответ: 25 км/ч.