Еще две цепи в резонансе

[latexpage]

Задачи, как обычно, принес студент. Они “родом” из нашего Ленинградского Политеха.

Задача 1.  В цепи на рисунке $U_1=125$ В, $U_L=100$ B, $\omega L=50$ Ом, $\frac{1}{\omega C_2}=100$ Ом. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток $I_1$, напряжение $U$, мощность $P$. Построить векторную диаграмму.

Схема к задаче 1

Решение. Так как известно напряжение на индуктивности, точно таким же оно будет и на $C_2$ – ведь они включены параллельно. Тогда ток через индуктивность

$$I_2=\frac{U_L}{\omega L}=\frac{100}{50}=2$$

А ток в емкости

$$I_3=\frac{U_L}{\frac{1}{\omega C_2}}=\frac{100}{100}=1$$

Если изобразить напряжение $U_L$, то ток в индуктивности отстает от вектора $U_L$ на $90^{\circ}$, а вектор тока в емкости – наоборот, опережает. Своим студентам я придумала подсказку:

«Каждый студент, запомни твердо!

От этого твой зависит зачет:

В емкости ток опережает,

А в индуктивности – отстает!»

Изобразим наши соображения на диаграмме:

Начало построения векторной диаграммы.

По первому закону Кирхгофа

$$I_2+I_3=I_1$$

Поэтому $I_1=1$ А, и направлен вертикально вниз.

Так как в цепи резонанс, то входное напряжение $U$ тоже направлено вертикально вниз – оно совпадает с током $I_1$. С другой стороны, $U$ – сумма векторов $U_1$ и $U_L$. Значит, можно восстановить вектор $U_1$. Кроме того, вектор напряжения на резисторе совпадает с $I_1$, а вектор напряжения $U_{C_1}$ отстает от этого тока на $90^{\circ}$. А ведь вектор $U_1$ – сумма векторов $U_{C_1}$ и $U_R$. Так, по шагам, мы восстановили всю диаграмму:

Полная векторная диаграмма

$$U=U_R$$

$$ U_{C_1}=U_L=100$$

$$U_R=\sqrt{U_1^2-U_{C_1}^2}=\sqrt{125^2-100^2}=75$$

$$R=\frac{U_R}{I_1}=\frac{75}{1}=75$$

$$P=I_1^2R=75$$

(Считаем данные значения токов действующими).

Ответ: $U=75$ В, $I_1=1$ А, $P=75$ Вт.

Задача 2.  В цепи на рисунке $U_{L_1}=141$ В, $I_2=I_3=10$ А, $\omega L_1=10$ Ом. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток $I_1$, ток $I_4$, напряжение $U$, мощность $P$. Построить векторную диаграмму.

Схема к задаче 2

Решение. Нам дано напряжение на индуктивности, поэтому можно точно сказать, каков ток $I_1$:

$$I_1=\frac{U_{L_1}}{\omega L_1}=\frac{141}{10}=14,1$$

Так как в цепи резонанс, то напряжение $U$ совпадает с током $I_1$. А оно в свою очередь – сумма напряжений $U_{L_1}$ и $U_R$. Но $U_{L_1}$ – опережает ток $I_1$ на $90^{\circ}$. Начинаем построение диаграммы:

Начало построения векторной диаграммы

Можно теперь восстановить вектор $U_R$. Ток $I_3$ с ним вовпадет по направлению, а ток $I_2$ – отстанет на $90^{\circ}$.

Продолжение построения

Сумма токов $I_2$, $I_3$, $I_4$ должна давать вектор $I_1$. Вектор тока $I_4$ опережает напряжение $U_R$ на $90^{\circ}$. Восстанавливаем вектор тока $I_4$:

Полная диаграмма

Так, с помощью векторной диаграммы, мы можем узнать не только направления векторов, но и величины токов и напряжений: поскольку $I_1=14,1$, а $I_2=10$, то угол между этими векторами непременно $45^{\circ}$. Поэтому и между $I_1$ и $I_4$ – тоже $45^{\circ}$. Значит,

$$I_4=20$$

Вектор $U_R$ совпадает с вектором $I_3$, то есть между ним и $U$ – $45^{\circ}$. Тогда длина вектора $U_R$ равна 200, поскольку его проекция – вектор $U_{L_1}=141$ В. Таким образом, и вектор $U=141$ В. Следовательно, $R=20$ Ом, $\omega L_2=20$ Ом, $\frac{1}{\omega C}=10$ Ом.

$$P=I_3^2R=100\cdot 20=200$$

Ответ: $P=200$ Вт, $U=141$ В, $I_1=14,1$, $I_4=20$ А.