Еще две цепи в резонансе

Задачи, как обычно, принес студент. Они “родом” из нашего Ленинградского Политеха.

Задача 1. В цепи на рисунке $U_1=125$ В, $U_L=100$ B, $\omega L=50$ Ом, $\frac{1}{\omega C_2}=100$ Ом. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток $I_1$ , напряжение $U$ , мощность $P$ . Построить векторную диаграмму.

Схема к задаче 1

Решение. Так как известно напряжение на индуктивности, точно таким же оно будет и на $C_2$ – ведь они включены параллельно. Тогда ток через индуктивность

$I_2=\frac{U_L}{\omega L}=\frac{100}{50}=2$

А ток в емкости

$I_3=\frac{U_L}{\frac{1}{\omega C_2}}=\frac{100}{100}=1$

Если изобразить напряжение $U_L$ , то ток в индуктивности отстает от вектора $U_L$ на $90^{\circ}$ , а вектор тока в емкости – наоборот, опережает. Своим студентам я придумала подсказку:

«Каждый студент, запомни твердо!

От этого твой зависит зачет:

В емкости ток опережает,

А в индуктивности – отстает!»

Изобразим наши соображения на диаграмме:

Начало построения векторной диаграммы.

По первому закону Кирхгофа

$I_2+I_3=I_1$

Поэтому $I_1=1$ А, и направлен вертикально вниз.

Так как в цепи резонанс, то входное напряжение $U$ тоже направлено вертикально вниз – оно совпадает с током $I_1$ . С другой стороны, $U$ – сумма векторов $U_1$ и $U_L$ . Значит, можно восстановить вектор $U_1$ . Кроме того, вектор напряжения на резисторе совпадает с $I_1$ , а вектор напряжения $U_{C_1}$ отстает от этого тока на $90^{\circ}$ . А ведь вектор $U_1$ – сумма векторов $U_{C_1}$ и $U_R$ . Так, по шагам, мы восстановили всю диаграмму:

Полная векторная диаграмма

$U=U_R$

$U_{C_1}=U_L=100$

$U_R=\sqrt{U_1^2-U_{C_1}^2}=\sqrt{125^2-100^2}=75$

$R=\frac{U_R}{I_1}=\frac{75}{1}=75$

$P=I_1^2R=75$

(Считаем данные значения токов действующими).

Ответ: $U=75$ В, $I_1=1$ А, $P=75$ Вт.

Задача 2. В цепи на рисунке $U_{L_1}=141$ В, $I_2=I_3=10$ А, $\omega L_1=10$ Ом. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток $I_1$ , ток $I_4$ , напряжение $U$ , мощность $P$ . Построить векторную диаграмму.

Схема к задаче 2

Решение. Нам дано напряжение на индуктивности, поэтому можно точно сказать, каков ток $I_1$ :

$I_1=\frac{U_{L_1}}{\omega L_1}=\frac{141}{10}=14,1$

Так как в цепи резонанс, то напряжение $U$ совпадает с током $I_1$ . А оно в свою очередь – сумма напряжений $U_{L_1}$ и $U_R$ . Но $U_{L_1}$ – опережает ток $I_1$ на $90^{\circ}$ . Начинаем построение диаграммы:

Начало построения векторной диаграммы

Можно теперь восстановить вектор $U_R$ . Ток $I_3$ с ним вовпадет по направлению, а ток $I_2$ – отстанет на $90^{\circ}$ .

Продолжение построения

Сумма токов $I_2$ , $I_3$ , $I_4$ должна давать вектор $I_1$ . Вектор тока $I_4$ опережает напряжение $U_R$ на $90^{\circ}$ . Восстанавливаем вектор тока $I_4$ :

Полная диаграмма

Так, с помощью векторной диаграммы, мы можем узнать не только направления векторов, но и величины токов и напряжений: поскольку $I_1=14,1$ , а $I_2=10$ , то угол между этими векторами непременно $45^{\circ}$ . Поэтому и между $I_1$ и $I_4$ – тоже $45^{\circ}$ . Значит,

$I_4=20$

Вектор $U_R$ совпадает с вектором $I_3$ , то есть между ним и $U$ – $45^{\circ}$ . Тогда длина вектора $U_R$ равна 200, поскольку его проекция – вектор $U_{L_1}=141$ В. Таким образом, и вектор $U=141$ В. Следовательно, $R=20$ Ом, $\omega L_2=20$ Ом, $\frac{1}{\omega C}=10$ Ом.