Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Резонанс

Еще две цепи в резонансе

Задачи, как обычно, принес студент. Они “родом” из нашего Ленинградского Политеха.

Задача 1.  В цепи на рисунке U_1=125 В, U_L=100 B, \omega L=50 Ом, \frac{1}{\omega C_2}=100 Ом. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток I_1, напряжение U, мощность P. Построить векторную диаграмму.

Схема к задаче 1

Решение. Так как известно напряжение на индуктивности, точно таким же оно будет и на C_2 – ведь они включены параллельно. Тогда ток через индуктивность

    \[I_2=\frac{U_L}{\omega L}=\frac{100}{50}=2\]

А ток в емкости

    \[I_3=\frac{U_L}{\frac{1}{\omega C_2}}=\frac{100}{100}=1\]

Если изобразить напряжение U_L, то ток в индуктивности отстает от вектора U_L на 90^{\circ}, а вектор тока в емкости – наоборот, опережает. Своим студентам я придумала подсказку:

«Каждый студент, запомни твердо!

От этого твой зависит зачет:

В емкости ток опережает,

А в индуктивности – отстает!»

Изобразим наши соображения на диаграмме:

Начало построения векторной диаграммы.

 

По первому закону Кирхгофа

    \[I_2+I_3=I_1\]

Поэтому I_1=1 А, и направлен вертикально вниз.

Так как в цепи резонанс, то входное напряжение U тоже направлено вертикально вниз – оно совпадает с током I_1. С другой стороны, U – сумма векторов U_1 и U_L. Значит, можно восстановить вектор U_1. Кроме того, вектор напряжения на резисторе совпадает с I_1, а вектор напряжения U_{C_1} отстает от этого тока на 90^{\circ}. А ведь вектор U_1 – сумма векторов U_{C_1} и U_R. Так, по шагам, мы восстановили всю диаграмму:

Полная векторная диаграмма

    \[U=U_R\]

    \[U_{C_1}=U_L=100\]

    \[U_R=\sqrt{U_1^2-U_{C_1}^2}=\sqrt{125^2-100^2}=75\]

    \[R=\frac{U_R}{I_1}=\frac{75}{1}=75\]

    \[P=I_1^2R=75\]

(Считаем данные значения токов действующими).

Ответ: U=75 В, I_1=1 А, P=75 Вт.

 

Задача 2.  В цепи на рисунке U_{L_1}=141 В, I_2=I_3=10 А, \omega L_1=10 Ом. В цепи резонанс. Определить: напряжения на всех ветвях, ток I_1, ток I_4, напряжение U, мощность P. Построить векторную диаграмму.

Схема к задаче 2

Решение. Нам дано напряжение на индуктивности, поэтому можно точно сказать, каков ток I_1:

    \[I_1=\frac{U_{L_1}}{\omega L_1}=\frac{141}{10}=14,1\]

Так как в цепи резонанс, то напряжение U совпадает с током I_1. А оно в свою очередь – сумма напряжений U_{L_1} и U_R. Но U_{L_1} – опережает ток I_1 на 90^{\circ}. Начинаем построение диаграммы:

Начало построения векторной диаграммы

Можно теперь восстановить вектор U_R. Ток I_3 с ним вовпадет по направлению, а ток I_2 – отстанет на 90^{\circ}.

Продолжение построения

Сумма токов I_2, I_3, I_4 должна давать вектор I_1. Вектор тока I_4 опережает напряжение U_R на 90^{\circ}. Восстанавливаем вектор тока I_4:

Полная диаграмма

Так, с помощью векторной диаграммы, мы можем узнать не только направления векторов, но и величины токов и напряжений: поскольку I_1=14,1, а I_2=10, то угол между этими векторами непременно 45^{\circ}. Поэтому и между I_1 и I_4 – тоже 45^{\circ}. Значит,

    \[I_4=20\]

Вектор U_R совпадает с вектором I_3, то есть между ним и U45^{\circ}. Тогда длина вектора U_R равна 200, поскольку его проекция – вектор U_{L_1}=141 В. Таким образом, и вектор U=141 В. Следовательно, R=20 Ом, \omega L_2=20 Ом, \frac{1}{\omega C}=10 Ом.

    \[P=I_3^2R=100\cdot 20=200\]

Ответ: P=200 Вт, U=141 В, I_1=14,1, I_4=20 А.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *