Электромагнитные колебания

[latexpage]

Сегодня рассматриваем несколько задач на электромагнитные колебания.

Задача 1. В колебательном контуре емкость конденсатора $C=8\cdot 10^{-9}$ Ф, индуктивность катушки $L=2\cdot 10^{-3}$ Гн. В процессе гармонических колебаний максимальный ток в контуре $I=1,2\cdot 10^{-3}$ А. Определите максимальный заряд $Q$ конденсатора.

Решение. Энергию можно двумя способами записать:

$$\frac{LI_m^2}{2}=\frac{CU_m^2}{2}$$

Откуда

$$U_m=I_m\sqrt{\frac{L}{C}}= 1,2\cdot 10^{-3}\sqrt{\frac{2\cdot 10^{-3}}{8\cdot 10^{-9}}}=0,6$$

$$q_m=CU_m=8\cdot 10^{-9}\cdot 0,6=4,8\cdot 10^{-9}$$

Ответ: 4,8 мкКл.

Задача 2. Найдите период $T$ колебаний заряда конденсатора в $LC-$контуре, если амплитуда колебаний заряда конденсатора $Q=5\cdot 10^{-9}$ Кл, а амплитуда тока в контуре $I_m=31,4$ мкА.

Решение. Пусть заряд изменяется по закону

$$q=Q\sin (\omega t)$$

Тогда ток – производная от заряда:

$$I=I_m\cos (\omega t)=Q\omega \cos (\omega t)$$

Откуда

$$\omega=\frac{I_m}{Q}=\frac{2\pi}{T}$$

$$T=\frac{ 2\pi Q }{ I_m }=\frac{ 2\pi \cdot  5\cdot 10^{-9}}{ 31,4\cdot 10^{-6}}=10^{-3}$$

Ответ: 1 мс

Задача 3. Конденсатор емкостью $C=660$ пФ заряжен до напряжения $U=100$ В и переключен на катушку индуктивности $L=75$ мГн. Определите частоту и амплитуду колебаний тока в контуре.

Решение. Частота будет равна

$$\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{75\cdot10^{-3}\cdot 660\cdot 10^{-12}}}=23\cdot10^{3}$$

Амплитуда колебаний тока в контуре:

$$I_m=U_m\sqrt{\frac{C}{L}}= 100\sqrt{\frac{660\cdot 10^{-12}}{75\cdot 10^{-3}}}=9,4\cdot10^{-5}$$

Ответ: $\nu=23\cdot10^{3}$ Гц, $I_m=9,4\cdot10^{-5}$ А.

Задача 4. Конденсатор емкостью $C=10^{-6}$ Ф зарядили до некоторого напряжения и подключили к катушке индуктивностью $L=0,9$ мГн. Через какое наименьшее время $\tau$ энергия электрического поля в конденсаторе будет в $n=3$ раза меньше энергии электрического поля в катушке.

Решение. Так как можно записать, что

$$\frac{CU^2}{2}=\frac{CU^2}{8}+\frac{LI^2}{2}$$

Иными словами, энергия конденсатора в 4 раза меньше, чем полная энергия, изначально запасенная в контуре. А это означает, что напряжение на конденсаторе меньше в 2 раза, чем первоначальное. Поскольку напряжение меняется гармонически, оно станет вдвое меньше через время, равное $\frac{T}{6}$:

$$U=U_m\cos \omega t$$

$$\frac{U_m}{2}= U_m\cos \omega t$$

$$\cos \omega t=\frac{1}{2}$$

$$\omega t=\frac{\pi}{3}$$

$$\frac{2\pi}{T}\cdot  t=\frac{\pi}{3}$$

$$\frac{ t}{T}  =\frac{1}{6}$$

$$t=\frac{T}{6}=\frac{2\pi\sqrt{LC}}{6}=\frac{6,28\cdot \sqrt{0,9\cdot10^{-3}\cdot 10^{-6}}}{6}=3,14\cdot10^{-5}$$

Ответ: $3,1\cdot10^{-5}$

Задача 5. В последовательном $RLC$-контуре индуктивность катушки $L=28$ мкГн, сопротивление резистора $R=1$ Ом, емкость конденсатора $C=2240$ пФ. Какую среднюю мощность $P$  надо подводить к контуру, чтобы в нем поддерживались незатухающие колебания, при которых амплитуда напряжения на конденсаторе $U=5$ В?

Решение.

Мощность потерь можно определить как

$$P=I_d^2 R$$

Где $I_d$ – действующее значение тока, меньшее в $\sqrt{2}$ раз, чем амплитудное. Определим амплитудное значение тока

$$\frac{CU^2}{2}=\frac{LI_m^2}{2}$$

$$ I_m^2=\frac{ CU^2}{L}$$

Тогда

$$ I_d^2=\frac{ CU^2}{2L}$$

А потери равны

$$P=\frac{ CU^2}{2L}R=\frac{ 2240\cdot 10^{-12}\cdot 5^2\cdot 1}{2\cdot 28\cdot 10^{-6}}=10^{-3}$$

Ответ: 1 мВт

Задача 6. В последовательном $RLC$-контуре за один период свободных колебаний в тепло переходит $\delta =1$% энергии, запасенной в контуре к началу периода. Найдите сопротивление $R$, если $L=80$ мГн, и $C=1$ мкФ.

Решение. Аналогично предыдущей задаче, потери

$$W= I_d^2RT = 0,01\frac{ CU^2}{2} $$

Откуда

$$R= \frac{0,01 CU^2}{2 I_d^2T }=\frac{ 0,01CU^2\cdot 2L}{2 CU^2\cdot 2\pi \sqrt{LC}}$$

$$R=\frac{0,01}{2\pi}\cdot \sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{0,01}{6,28}\cdot \sqrt{\frac{80\cdot10^{-3}}{10^{-6}}}=0,45$$

Ответ: 0,45 Ом.