Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания

Сегодня рассматриваем несколько задач на электромагнитные колебания.

Задача 1. В колебательном контуре емкость конденсатора C=8\cdot 10^{-9} Ф, индуктивность катушки L=2\cdot 10^{-3} Гн. В процессе гармонических колебаний максимальный ток в контуре I=1,2\cdot 10^{-3} А. Определите максимальный заряд Q конденсатора.

Решение. Энергию можно двумя способами записать:

    \[\frac{LI_m^2}{2}=\frac{CU_m^2}{2}\]

Откуда

    \[U_m=I_m\sqrt{\frac{L}{C}}= 1,2\cdot 10^{-3}\sqrt{\frac{2\cdot 10^{-3}}{8\cdot 10^{-9}}}=0,6\]

    \[q_m=CU_m=8\cdot 10^{-9}\cdot 0,6=4,8\cdot 10^{-9}\]

Ответ: 4,8 мкКл.

Задача 2. Найдите период T колебаний заряда конденсатора в LC-контуре, если амплитуда колебаний заряда конденсатора Q=5\cdot 10^{-9} Кл, а амплитуда тока в контуре I_m=31,4 мкА.

Решение. Пусть заряд изменяется по закону

    \[q=Q\sin (\omega t)\]

Тогда ток – производная от заряда:

    \[I=I_m\cos (\omega t)=Q\omega \cos (\omega t)\]

Откуда

    \[\omega=\frac{I_m}{Q}=\frac{2\pi}{T}\]

    \[T=\frac{ 2\pi Q }{ I_m }=\frac{ 2\pi \cdot  5\cdot 10^{-9}}{ 31,4\cdot 10^{-6}}=10^{-3}\]

Ответ: 1 мс

Задача 3. Конденсатор емкостью C=660 пФ заряжен до напряжения U=100 В и переключен на катушку индуктивности L=75 мГн. Определите частоту и амплитуду колебаний тока в контуре.

Решение. Частота будет равна

    \[\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{75\cdot10^{-3}\cdot 660\cdot 10^{-12}}}=23\cdot10^{3}\]

Амплитуда колебаний тока в контуре:

    \[I_m=U_m\sqrt{\frac{C}{L}}= 100\sqrt{\frac{660\cdot 10^{-12}}{75\cdot 10^{-3}}}=9,4\cdot10^{-5}\]

Ответ: \nu=23\cdot10^{3} Гц, I_m=9,4\cdot10^{-5} А.

Задача 4. Конденсатор емкостью C=10^{-6} Ф зарядили до некоторого напряжения и подключили к катушке индуктивностью L=0,9 мГн. Через какое наименьшее время \tau энергия электрического поля в конденсаторе будет в n=3 раза меньше энергии электрического поля в катушке.

Решение. Так как можно записать, что

    \[\frac{CU^2}{2}=\frac{CU^2}{8}+\frac{LI^2}{2}\]

Иными словами, энергия конденсатора в 4 раза меньше, чем полная энергия, изначально запасенная в контуре. А это означает, что напряжение на конденсаторе меньше в 2 раза, чем первоначальное. Поскольку напряжение меняется гармонически, оно станет вдвое меньше через время, равное \frac{T}{6}:

    \[U=U_m\cos \omega t\]

    \[\frac{U_m}{2}= U_m\cos \omega t\]

    \[\cos \omega t=\frac{1}{2}\]

    \[\omega t=\frac{\pi}{3}\]

    \[\frac{2\pi}{T}\cdot  t=\frac{\pi}{3}\]

    \[\frac{ t}{T}  =\frac{1}{6}\]

    \[t=\frac{T}{6}=\frac{2\pi\sqrt{LC}}{6}=\frac{6,28\cdot \sqrt{0,9\cdot10^{-3}\cdot 10^{-6}}}{6}=3,14\cdot10^{-5}\]

Ответ: 3,1\cdot10^{-5}

Задача 5. В последовательном RLC-контуре индуктивность катушки L=28 мкГн, сопротивление резистора R=1 Ом, емкость конденсатора C=2240 пФ. Какую среднюю мощность P  надо подводить к контуру, чтобы в нем поддерживались незатухающие колебания, при которых амплитуда напряжения на конденсаторе U=5 В?

Решение.

Мощность потерь можно определить как

    \[P=I_d^2 R\]

Где I_d – действующее значение тока, меньшее в \sqrt{2} раз, чем амплитудное. Определим амплитудное значение тока

    \[\frac{CU^2}{2}=\frac{LI_m^2}{2}\]

    \[I_m^2=\frac{ CU^2}{L}\]

Тогда

    \[I_d^2=\frac{ CU^2}{2L}\]

А потери равны

    \[P=\frac{ CU^2}{2L}R=\frac{ 2240\cdot 10^{-12}\cdot 5^2\cdot 1}{2\cdot 28\cdot 10^{-6}}=10^{-3}\]

Ответ: 1 мВт

Задача 6. В последовательном RLC-контуре за один период свободных колебаний в тепло переходит \delta =1% энергии, запасенной в контуре к началу периода. Найдите сопротивление R, если L=80 мГн, и C=1 мкФ.

Решение. Аналогично предыдущей задаче, потери

    \[W= I_d^2RT = 0,01\frac{ CU^2}{2}\]

Откуда

    \[R= \frac{0,01 CU^2}{2 I_d^2T }=\frac{ 0,01CU^2\cdot 2L}{2 CU^2\cdot 2\pi \sqrt{LC}}\]

    \[R=\frac{0,01}{2\pi}\cdot \sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{0,01}{6,28}\cdot \sqrt{\frac{80\cdot10^{-3}}{10^{-6}}}=0,45\]

Ответ: 0,45 Ом.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *