Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Электромагнитные колебания

Электромагнитный контур

[latexpage]

В статье предлагаю стартовые задачи на колебания в электро-магнитном контуре. Научимся определять различные параметры контура, записывать временные зависимости токов и напряжений в нем.

Задача 1.  Какой емкости конденсатор нужно включить в колебательный контур с катушкой индуктивности $L=0,76$ Гн чтобы получить в нем электрические колебания звуковой частоты $\nu =400$ Гц?

Определим по частоте угловую частоту:

$$\omega=2 \pi \nu$$

С другой стороны,

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Тогда

$$2 \pi \nu=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

$$4 \pi^2 \nu^2=\frac{1}{LC}$$

Откуда

$$C=\frac{1}{4 \pi^2 \nu^2L}=\frac{1}{4 \pi^2 \cdot 400^2\cdot0,76}=2,1\cdot10^{-7}$$

Ответ: $C=0,21$ мкФ.

Задача 2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью $L=2,5 \cdot 10^{-6}$ Гн и двух конденсаторов, соединенных между собой параллельно, емкостью $C=5\cdot 10^{-3}$ мкФ каждый.  Определить период электрических колебаний в контуре.

При параллельном соединении емкости конденсаторов складываются, таким образом, получим эквивалентный конденсатор.

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{LC}=2\pi \sqrt{ 2,5 \cdot 10^{-6}\cdot10\cdot 10^{-9}=10\cdot10^{-7}$$

Ответ: 1 мкс.

Задача 3. В колебательном контуре период собственных колебаний $\nu_1=30$ кГц, при замене конденсатора частота стала $\nu_2=40$ кГц. Какой будет частота колебаний в контуре а) при параллельном соединении обоих конденсаторов; б) при последовательном соединении?

Пока будем работать с угловой частотой. Тогда можно записать, что

$$\omega_1=\frac{1}{\sqrt{LC_1}}$$

$$\omega_2=\frac{1}{\sqrt{LC_2}}$$

Следовательно,

$$C_1=\frac{1}{L\omega_1^2}$$

$$C_2=\frac{1}{L\omega_2^2}$$

Теперь соединяем конденсаторы параллельно:

$$C_3=C_1+C_2=\frac{1}{L\omega_1^2}+\frac{1}{L\omega_2^2}$$

$$C_3=\frac{1}{L}\cdot\frac{\omega_1^2+\omega_2^2}{\omega_1^2\omega_2^2}$$

Определяем угловую частоту в этом случае:

$$\omega_3=\frac{\omega_1\omega_2}{\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}}$$

А при последовательном соединении емкость:

$$\frac{1}{C_4}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$$

$$C_4=\frac{C_1C_2}{ C_1+C_2}$$

Угловая частота для этого случая:

$$\omega_4=\sqrt{\frac{C_1+C_2}{LC_1C_2}}=\sqrt{\frac{L^2\omega_1^2\omega_2^2(\omega_1^2+\omega_2^2)}{ L^2\omega_1^2\omega_2^2}}=\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}$$

Ну и осталось найти соответствующие частоты:

$$\nu_3=\frac{\nu_1\nu_2}{\sqrt{\nu_1^2+\nu_2^2}}=\frac{30000\cdot 40000}{\sqrt{30000^2+40000^2} }=\frac{120000000}{5000}=24000$$

$$\nu_4=\sqrt{\nu_1^2+\nu_2^2}=50000$$

Ответ: $\nu_3=24$ кГц, $\nu_4=50$ кГц.

Задача 4. Найти частоту колебаний в контуре, состоящем из соленоида длиной $l=3$ см, площадью поперечного сечения $S_1=1$ см$^2$ и плоского воздушного конденсатора, площадь пластин которого $S_2=30$ см$^2$ и расстояние между ними $d=0,1$ см. Число витков соленоида $N=1000$.

Запишем формулу для частоты колебаний и подставим в нее емкость конденсатора и индуктивность катушки:

$$\nu=\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{\mu_0N^2S_1}{l}\cdot\frac{\varepsilon_0 S_2}{d}}}=\frac{1}{2\pi N}\cdot \sqrt{\frac{dl}{\varepsilon_0 \mu_0 S_1 S_2}}$$

$$\nu=\frac{1}{2000\pi }\cdot \sqrt{\frac{0,001\cdot0,03}{8,85\cdot10^{-12}\cdot1,26\cdot10^{-6}\cdot3\cdot10^{-3}}}=48\cdot10^4$$

Ответ: 0,48 МГц.

Задача 5. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью $L=0,5 $ Гн и конденсатора емкостью $C=0,5$ мкФ. Конденсатору сообщили заряд $Q=2,5\cdot10^{-6}$ Кл. Найти зависимость напряжения $u$ на обкладках конденсатора, силы тока $i$ в цепи, энергии электрического поля $W_e$ конденсатора и энергии магнитного поля $W_m$ катушки от времени. Сопротивлением катушки и проводов пренебречь.

Определяем угловую частоту:

$$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0,5 \cdot0,5\cdot10^{-6}}}=2000$$

Определяем амплитудное значение напряжения:

$$U_m=\frac{Q}{C}=\frac{2,5\cdot10^{-6}}{0,5\cdot10^{-6}}=5$$

Так как вначале конденсатор заряжен, то в нулевой момент времени на нем максимальное (амплитудное) значение напряжения, следовательно, напряжение будет меняться по закону косинуса:

$$u=U_m\cos \omega t=5\cos 2000t$$

Ток – производная напряжения, поэтому

$$i=C\frac{du}{dt}=0,5\cdot10^{-6}\cdot5\cdot 2000(-\sin 2000t)=-5\cdot10^{-3}\sin 2000t$$

Найдем зависимость энергии конденсатора от времени:

$$W_e=\frac{Cu^2}{2}=\frac{0,5\cdot10^{-6}\cdot25\cos^2 2000t}{2}=6,25\cdot10^{-6}\cos^2 2000t$$

Аналогично определим зависимость энергии магнитного поля:

$$W_m=\frac{Li^2}{2}=0,5\cdot25\cdot10^{-6}\sin^2 2000t=6,25\cdot10^{-6}\sin^2 2000t $$

Ответ: $u=5\cos 2000t$, $i=-5\cdot10^{-3}\sin 2000t$, $W_e=6,25\cdot10^{-6}\cos^2 2000t$, $W_m=6,25\cdot10^{-6}\sin^2 2000t $.

Задача 6. В колебательном контуре зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени представлена уравнением $u=10\cos(2000\pi t)$. Емкость конденсатора $C=2,6\cdot 10^{-8}$ Ф. Определить период электромагнитных колебаний, индуктивность контура, зависимость силы тока от времени, максимальную энергию электрического и магнитного поля в контуре.

Из записи напряжения «вытаскиваем» угловую частоту: $\omega=2000$ рад/с. Отсюда определяем период:

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2000\pi}=0,001$$

А также можем определить индуктивность:

$$L=\frac{1}{\omega^2 C}=\frac{1}{2000^2\cdot \pi^2\cdot2,6\cdot 10^{-8}}=0,97$$

Ток – производная напряжения:

$$i=C\frac{du}{dt}=2,6\cdot10^{-8}\cdot10\cdot 2000\pi (-\sin 2000\pi t)=-16,3\cdot10^{-4}\sin 2000 \pi t$$

Наконец, энергия:

$$W_e=\frac{Cu^2}{2}=\frac{2,6\cdot10^{-8}\cdot100\cos^2 2000 \pi t}{2}=1,3\cdot10^{-6}\cos^2 2000 \pi t$$

$$W_e_{max}=1,3\cdot10^{-6}$$

Такой же будет, очевидно, и энергия магнитного поля (по модулю).

Ответ: $T=1$ мс, $L=1$ Гн, $i=16,3\cdot10^{-4}\sin 2000 \pi t$, $W_e=W_m=1,3\cdot10^{-6}$ Дж.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *