Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Второй закон Ньютона, Законы сохранения энергии, Сила Архимеда, Сила трения, Физика

Экзамен в школу СУНЦ при МГУ, досрочный, 1 апреля 2017

Задачи эти решал мой ученик, который поступает в СУНЦ МГУ, на экзамене в олимпиадной школе при СУНЦ, которая проходила на весенних каникулах.

Задача 1. Тяжелый металлический шар с полостью внутри весит в воздухе P_1=528 Н, а в воде P_2=442 Н. Какой объем полости внутри шара? Плотность материала шара равна \rho=8800 кг/м^3, плотность воды равна \rho_0=1000 кг/м^3.

Вес тела в воде меньше, чем в воздухе, на величину силы Архимеда:

    \[P_2=P_1-F_A=P_1-\rho_0 g V_f\]

Откуда фактический объем тела равен

    \[V_f=\frac{P_1-P_2}{\rho_0 g}=\frac{528-442}{10^4}=8,6\cdot10^{-3}\]

С другой стороны, объем должен был бы быть равен

    \[V=\frac{m}{\rho}=\frac{P_1}{\rho g}=\frac{528}{10\cdot8800}=6\cdot10^{-3}\]

Объем полости равен

    \[V_{pol}=V_f-V=2,6\cdot10^{-3}\]

Ответ: 2,6 дм^3.

Задача 2. Санки массой m=6 кг  начинают съезжать со снежной горки, у которой угол наклона к горизонту равен \alpha=30^{\circ}. Пройдя по склону путь S=40 м, сани приобрели скорость \upsilon=10 м/с. Вычислите количество теплоты, которое выделилось при трении о снег.

Санки обладали потенциальной энергией, и она перешла в кинетическую энергию санок, а также в тепло:

    \[mgh=\frac{m\upsilon^2}{2}+Q\]

    \[Q= mgh-\frac{m\upsilon^2}{2}= mgS\sin{\alpha}-\frac{m\upsilon^2}{2}=6\cdot10\cdot40\cdot0,5-\frac{10^2\cdot6}{2}=1200-300=900\]

Ответ: 900 Дж.

Задача 3. Истребитель совершает в воздухе «мертвую петлю» радиусом 250 м. В кабине сидит пилот массой m=80 кг. Найдите скорость самолета, если в нижней точке петли летчик давит на сидение с силой F=8000 Н.

Внизу «петли» на пилота действуют сила тяжести и центростреи=мительная сила (сила инерции):

    \[F=mg+m a_n=mg+\frac{m \upsilon^2}{R}\]

Откуда скорость самолета равна:

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{RF}{m}-Rg}=\sqrt{\frac{250\cdot8000}{80}-2500}=150\]

Ответ: 150 м/с.

Задача 4. Если к бруску массой m=20 кг, находящемуся на горизонтальной поверхности, приложить силу F=200 Н, направленную вниз под углом \alpha к горизонту, то он будет двигаться равномерно. С каким ускорением будет двигаться тот же брусок, если приложить к нему эту силу, но направленную вверх под тем же углом к горизонту? Считать движение поступательным, \sin{\alpha}=0,6.

Сила реакции опоры может быть получена нами как сумма (из проекций сил на вертикальную ось)

    \[N=F\sin{\alpha}+mg\]

Сила трения, как известно, это

    \[F_{tr}=\mu N\]

Или

    \[F_{tr}=\mu (F\sin{\alpha}+mg)\]

С другой стороны, из проекций сил на горизонтальную ось можем записать:

    \[F_{tr}=F\cos{\alpha}\]

Приравняем:

    \[F\cos{\alpha}=\mu (F\sin{\alpha}+mg)\]

Откуда

    \[\mu=\frac{ F\cos{\alpha}}{ F\sin{\alpha}+mg }=\frac{ 200\cdot0,8}{ 200\cdot0,6+200 }=0,5\]

Теперь будем тянуть брусок, направляя силу вверх. Уравнение для проекций сил на вертикальную ось будет выглядеть так:

    \[N=mg- F\sin{\alpha}\]

А на горизонтальную ось:

    \[ma= F\cos{\alpha}-\mu(mg- F\sin{\alpha})\]

Откуда ускорение бруска

    \[a=\frac{ F\cos{\alpha}}{m}-\mu g +\frac{\mu F\sin{\alpha} }{m}=\frac{ 200\cdot0,8}{20}-5 +\frac{100\cdot0,6 }{20}=6\]

Ответ: 6 м/с^2.

Задача 5. Улитка ползет по минутной стрелке башенных часов Главного здания МГУ, двигаясь равнозамедленно относительно нее по направлению к центру часов. Ровно в 12.37 она находилась на расстоянии r_1=360 см  от центра, а в 12.52 она останавливается относительно стрелки, не доходя до центра. Модуль перемещения улитки относительно башни оказывается равным \Delta r=450 см. В системе отсчета, связанной со стрелкой, найдите путь улитки S, а также ее среднюю скорость \upsilon за этот промежуток времени.

Прошло 15 минут между началом и концом наблюдения за улиткой. За это время стрелка часов переместилась на угол 90^{\circ}. Поэтому перемещение улитки – гипотенуза треугольника, а путь – катет. Тогда второй катет S – это расстояние от оси стрелки до месторасположения улитки.

    \[S=\sqrt{450^2-360^2}=270\]

То есть улитка проползла 90 см, и сделела это за четверть часа – ее скорость равна

    \[\upsilon=\frac{0,9}{15\cdot60}=0,001\]

Ответ: 0,001 м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *