Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение под углом к горизонту, Олимпиадная физика

Экстремальные параметры полета

Статья является продолжением двух первых статей «Геометрический подход к баллистическим задачам кинематики», «Геометрический подход к баллистическим задачам кинематики»-2«Геометрический подход к баллистическим задачам кинематики»-3.

Теория.

Теория

Площадь треугольника скоростей можно записать как

   

С другой стороны, его площадь можно записать как

   

С другой стороны, дальность полета равна

   

Тогда, если , то дальность полета максимальна. Но если синус угла равен 1, то начальная и конечная скорости перпендикулярны друг другу.

А если векторы перпендикулярны, то вектор начальной скорости направлен по биссектрисе угла между вертикалью и вектором перемещения.

Задача 20. С высоты над поверхностью земли со скоростью бросают камень. Под каким углом к горизонту его следует бросить, чтобы дальность полета камня была наибольшей? Определить дальность полета камня. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решить задачу в общем случае, а также в частном для м, м/с, .

К задаче 20

Воспользуемся тем, что

   

Здесь

   

Так как дальность наибольшая, то вектор начальной скорости перпендикулярен вектору конечной. Следовательно, вектор начальной скорости направлен по биссектрисе угла между вертикалью и вектором перемещения.

Тогда

   

Определяем :

   

Ответ: , .

Задача 21. С высоты над поверхностью земли под углом к горизонту бросают камень. С какой наименьшей скоростью следует бросить камень, чтобы дальность полета составила ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

К задаче 21

Скорости и связаны. Если бросить с минимальной скоростью, скорость падения также будет минимальна.

   

Так как дальность максимальна при угле между скоростями, равном , то, следовательно, векторы скоростей начальной и конечной должны быть перпендикулярны. Следовательно, начальная  скорость  должна быть направлена по биссектрисе угла между вертикалью и вектором перемещения.

   

   

Решим это уравнение:

   

   

   

   

Ответ: .

Задача 22. С какой наименьшей скоростью следует бросить камень с горизонтальной поверхности земли, чтобы он смог перелететь через тонкую вертикальную стену высотой ? Бросок осуществляется с расстояния от стены. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Точку броска знаем. Надо выбрать изо всех возможных траекторий (все они параболы) такой, который нельзя улучшить. Траектория должна касаться стены, причем не в своей верхней точке. Неверно, что минимуму энергии при броске будет соответствовать минимум конечной скорости. Нужно учитывать, что на модуль скорости влияют обе ее составляющие: и вертикальная, и горизонтальная.

К задаче 22

Дальше эта задача превращается в задачу 21. Бросить нужно по биссектрисе угла между вертикалью и перемещением. Это приведет к перпендикулярности начальной и конечной скоростей.

   

Так что ответ у задачи тот же, что и у 21, но с «плюсом» вместо «минуса»:

Ответ: .

Задача 23. С какой наименьшей скоростью следует бросить камень с горизонтальной поверхности земли, чтобы он смог перелететь через тонкую вертикальную стену высотой ? Место броска можно выбрать произвольно. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Так как место броска можно выбрать произвольно, то выберем его у подножия стены и будем бросать камень вертикально вверх.

Ответ: .

Задача 24. С какой наименьшей скоростью следует бросить камень с горизонтальной поверхности земли, чтобы он смог перелететь через дом высотой и шириной ? Место броска можно выбрать произвольно слева от дома. Сопротивление воздуха не учитывать.

Нужно выбрать оптимальную траекторию полета. Сначала убедимся в том, что это будет парабола, обе ветви которой касаются верхних углов крыши дома. Рассмотрим рисунок. Если бросить камень так, как показано, то если отступить назад, рыжая траектория может подвинуться вслед за нами и снова не будет касаться углов крыши дома, а то есть, не будет оптимальной. Когда подойти-отойти уже будет нельзя, тогда траектория оптимальна – при двух касаниях.

К задаче 24

Затем из серии таких парабол нужно снова произвести выбор оптимальной. Какая же из них оптимальна? Известно, что наибольшая дальность полета тела с горизонтального уровня на тот же самый уровень достигается, когда скорость броска направлена под углом к горизонтали. То есть скорость в точке, соответствующей левому углу дома, должна быть направлена под углом к крыше.

   

Тогда

   

А этой минимальной скорости будет соответствовать минимальная начальная скорость:

   

Ответ: .

Задача 25. С какой наименьшей скоростью следует бросить камень с горизонтальной поверхности земли, чтобы он смог перелететь через дом с покатой крышей? Ближайшая стена имеет высоту  , задняя стена – высоту . Ширина дома равна  .  Место броска можно выбрать произвольно слева от дома. Сопротивление воздуха не учитывать.

К задаче 25

Снова надо бросать с такого места и с такой скоростью, чтобы траектория в двух местах коснулась крыши. По аналогии с предыдущей задачей и решенными ранее, вектор должен быть направлен по биссектрисе угла между вертикалью и перемещением, а крыша в данном случае и есть перемещение. Минимум этой скорости соответствует минимуму начальной.

   

Из задачи 22

   

   

Ответ: .

Комментариев - 3

  • Алексей
    |

    Здравствуйте. Подскажите , пожалуйста, как получается 2 формула сверху в 20 задаче.И по-моему у вас ошибка в 1 формуле вычисления площади треугольника скоростей.Там не угол альфа, а угол целиком между вектором V0 и V

    Ответить
    • Анна
      |

      2-я сверху – формула “без времени”. А насчет угла отвечу так. Там идет дополнительное построение до параллелограмма. Параллелограмм, как известно, разбивается диагоналями на равные по площади половины. И углы его, прилежащие к одной стороне, дополняют друг друга до 180 градусов, а значит, имеют равные синусы. То есть там считают не в лоб площадь треугольника скоростей, а в обход, как половину площади указанного параллелограмма, построенного на двух векторах скоростей. Так что все правильно.

      Ответить
      • Алексей
        |

        Спасибо

        Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *