Экономические задачи с нарушенной схемой – 1

[latexpage]

Задачи на кредиты по схемам научились уже решать буквально все. Кто-то понял схему, «прочувствовал» ее, кто-то выучил порядок действий. Поэтому на экзамене ЕГЭ сейчас задач, решаемых по схемам (дифференцированного платежа или аннуитета) уже и не встретишь. Обязательно или присутствуют обе схемы, или схема нарушена. Сейчас стали актуальными задачи именно с нарушенной схемой. Поэтому  я предлагаю целую серию задач, после решения которых вы поймете, что вам по плечу ЛЮБАЯ экономическая задача. Обещаю, что если вы одолеете эту серию статей, то решать 17-е задачи вы будете буквально «на щелк пальцами». Задачи авторские: автор Ирина Евгеньевна Самохина.

Задача 1. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 1240 тыс. рублей на ($n+2$) месяца. Условия его возврата таковы:

– 1 числа каждого месяца долг возрастает на 1,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15 числа первые два месяца долг должен уменьшиться на 220 тыс. рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15 число предыдущего месяца на $a$ тысяч рублей.

Найдите $n$, если всего было выплачено банку 1519,9 тыс. рублей.

Составим таблицу. В первом столбце будет сумма, которую мы должны банку, во втором – начисленные на нее проценты, в третьем – платеж этого месяца.

Таблица к первой задаче

Так как нам известна сумма всех выплат банку, то нужно собрать вместе все платежи, то есть сложить все суммы последнего столбца. Тогда

$$2\cdot 220+18,6+15,3+n\cdot a+0,015a\left(n+(n-1)+(n-2)+…+1\right)=1519,9$$

Заметим, что, когда мы остались должны банку 800 тыс., мы эту сумму выплачиваем равными долями по $a$ рублей. То есть произведение $na=800$ тыс. Тогда

$$800+0,015a\left(n+(n-1)+(n-2)+…+1\right)=1046$$

$$0,015a\left(n+(n-1)+(n-2)+…+1\right)=246$$

$$ 0,015a\left(n+(n-1)+(n-2)+…+1\right)=246$$

$$0,015a \cdot\frac{n+1}{2}\cdot n=246$$

$$800\cdot 0,015\frac{n+1}{2}=246$$

$$12\frac{n+1}{2}=246$$

$$ n+1=\frac{246}{6}=41$$

$$n=40$$

Ответ: $n=40$.

Задача 2. 15 декабря планируется взять кредит в банке на 1750 тыс. рублей на 28 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1 числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15 числа первые три месяца долг должен уменьшиться на $a$ тыс. рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15 число предыдущего месяца на $b$ тысяч рублей.

Найдите $a$, если всего было выплачено банку 1925 тыс. рублей.

Составим таблицу. В первом столбце будет сумма, которую мы должны банку, во втором – начисленные на нее проценты, в третьем – платеж этого месяца.

Таблица ко второй задаче

Так как нам известна сумма всех выплат банку, то нужно собрать вместе все платежи, то есть сложить все суммы последнего столбца. Тогда

$$1750\cdot 0,01+a+(1750-a)\cdot0,01+a+(1750-2a)\cdot 0,01+a+25b+0,01\left(25b+24b+23b+…+b\right)=1925$$

$$17,5+a+17,5-0,01a+17,5-0,02a+a+25b+0,01\frac{25b+b}{2}\cdot25=1925$$

$$3a-0,03a+25b+0,01\cdot13b\cdot25=1872,5$$

Но $25b=1750-3a$, поэтому

$$3a-0,03a +1750-3a+0,01\cdot13\cdot(1750-3a)=1872,5$$

Получили уравнение относительно $a$:

$$-0,03a +0,01\cdot13\cdot(1750-3a)=122,5$$

$$0,42a =105$$

$$a=250$$

Ответ: $a=250$ тыс