Экономические задачи: дифференцированный платеж с нарушенной схемой.

[latexpage]

Решим несколько задач на кредиты. Первые две – с нарушенной схемой, а третья – просто интересная задача с двумя известными выплатами. Схема – дифференцированный платеж. Поэтому таблицу к каждой задаче рекомендую составлять.

Задача 1. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

а) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

б) Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.

в) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число млн рублей.

Решение. Сначала составим таблицу, которая поможет определить выплаты.

Рассчитаем все выплаты: первая – $0,55S$, вторая – $0,475S$, третья – $0,5S$. Теперь можно начать отвечать на вопросы.

а) Чтобы найти наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей, нужно взять наименьшую выплату, и потребовать, чтобы она была больше 5 млн.

$$0,475S>5$$

$$S>\frac{5}{0,475}=10,52$$

Таким образом, $S$ – целое число, большее 10,5 – это 11.

б) Чтобы найти наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей, нужно найти разницу между наибольшей и наименьшей выплатами, и потребовать, чтобы она была меньше 1 млн:

$$0,55S-0,475S=0,075S<1$$

$$S<\frac{1}{0,075}=13,33$$

Таким образом, $S$ – целое число, меньшее 13,3 – это 13.

в) Чтобы ответить на третий вопрос задачи, нужно представить наши выплаты обыкновенными дробями:

$$0,55S=\frac{55S}{100}=\frac{11}{20}$$

$$0,475S=\frac{475S}{1000}=\frac{19}{40}$$

$$0,5S=\frac{5S}{10}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{22}{40}; \frac{19}{40}; \frac{20S}{40}$$

Наибольший знаменатель – 40, пусть $S=40$, тогда все выплаты будут целым числом миллионов – 22, 19 и 20.

Ответ: а) 11;  б) 13;  в) 40.

Задача 2. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

Составим таблицу:

Составим уравнение:

$$804=12\cdot50+S-600+0,02(S+S-50+S-100+S-150+…+S-600)$$

$$804=S+0,02(13S-50-100-150-…-600)$$

$$804=S+0,02(13S-\frac{50+600}{2}\cdot 12)$$

$$804=S+0,26S-0,02\frac{50+600}{2}\cdot 12)$$

$$804=1,26S-78$$

$$882=1,26S$$

$$S=700$$

Ответ: взяли 700 тыс.

Задача 3. 15-го января планируется взять кредит в банке в размере $S$  рублей на $n$ месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину $A$ меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

Найдите $n$, $S$, $A$, $D$ – общую сумму выплат после погашения кредита, если известно, что четвертая выплата составила 17700, а девятая – 16200 р.

Составим таблицу:

Запишем четвертую выплату:

$$(S-3A)\cdot 0,02+A=17700$$

И девятую:

$$(S-8A)\cdot 0,02+A=16200$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$0,02(8A-3A)=1500$$

$$A=15000$$

Тогда

$$(S-3A) \cdot 0,02=2700$$

$$S=\frac{2700}{0,02}+3A=135000+45000=180000$$

$$n=12$$

Наконец, осталось определить, сколько всего было выплачено банку:

$$D=180+0,02(180+165+…15)=180+0,02\cdot\frac{180+15}{2}\cdot12=203,4$$

Ответ: $n=12$, $A=15000$, $S=180000$, $D=203,4$.