Экономические задачи: дифференцированный платеж с нарушенной схемой.

Решим несколько задач на кредиты. Первые две – с нарушенной схемой, а третья – просто интересная задача с двумя известными выплатами. Схема – дифференцированный платеж. Поэтому таблицу к каждой задаче рекомендую составлять.

Задача 1. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

17new_решения

а) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

б) Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.

в) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число млн рублей.

Решение. Сначала составим таблицу, которая поможет определить выплаты.

	Долг	Процент	Платеж
1	S	0,25S	0,25S+0,3S
2	0,7S	0,25*0,7S	0,25*0,7S+0,3S
3	0,4S	0,25*0,4S	0,25*0,4S+0,4S

Рассчитаем все выплаты: первая – $0,55S$ , вторая – $0,475S$ , третья – $0,5S$ . Теперь можно начать отвечать на вопросы.

а) Чтобы найти наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей, нужно взять наименьшую выплату, и потребовать, чтобы она была больше 5 млн.

$0,475S>5$

$S>\frac{5}{0,475}=10,52$

Таким образом, $S$ – целое число, большее 10,5 – это 11.

б) Чтобы найти наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей, нужно найти разницу между наибольшей и наименьшей выплатами, и потребовать, чтобы она была меньше 1 млн:

$0,55S-0,475S=0,075S<1$

$S<\frac{1}{0,075}=13,33$

Таким образом, $S$ – целое число, меньшее 13,3 – это 13.

в) Чтобы ответить на третий вопрос задачи, нужно представить наши выплаты обыкновенными дробями:

$0,55S=\frac{55S}{100}=\frac{11}{20}$

$0,475S=\frac{475S}{1000}=\frac{19}{40}$

$0,5S=\frac{5S}{10}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{22}{40}; \frac{19}{40}; \frac{20S}{40}$

Наибольший знаменатель – 40, пусть $S=40$ , тогда все выплаты будут целым числом миллионов – 22, 19 и 20.

Ответ: а) 11; б) 13; в) 40.

Задача 2. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?

Составим таблицу:

	Долг	Проценты	Платеж
1	S	0,02S	0,02S+50
2	S-50	0,02(S-50)	0,02(S-50)+50
3	S-100	0,02(S-100)	0,02(S-100)+50
...	...	...	...
12	S-550	0,02(S-550)	0,02(S-550)+50
13	S-600	0,02(S-600)	0,02(S-600)+S-600

Составим уравнение:

$804=12\cdot50+S-600+0,02(S+S-50+S-100+S-150+…+S-600)$

$804=S+0,02(13S-50-100-150-…-600)$

$804=S+0,02(13S-\frac{50+600}{2}\cdot 12)$

$804=S+0,26S-0,02\frac{50+600}{2}\cdot 12)$

$804=1,26S-78$

$882=1,26S$

$S=700$

Ответ: взяли 700 тыс.

Задача 3. 15-го января планируется взять кредит в банке в размере $S$ рублей на $n$ месяцев. Условия возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину $A$ меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

Найдите $n$ , $S$ , $A$ , $D$ – общую сумму выплат после погашения кредита, если известно, что четвертая выплата составила 17700, а девятая – 16200 р.