[latexpage]
Решим несколько задач на кредиты. Первые две – с нарушенной схемой, а третья – просто интересная задача с двумя известными выплатами. Схема – дифференцированный платеж. Поэтому таблицу к каждой задаче рекомендую составлять.
Задача 1. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S – целое число. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
а) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.
б) Найдите наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей.
в) Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число млн рублей.
Решение. Сначала составим таблицу, которая поможет определить выплаты.
Долг | Процент | Платеж | |
1 | S | 0,25S | 0,25S+0,3S |
2 | 0,7S | 0,25*0,7S | 0,25*0,7S+0,3S |
3 | 0,4S | 0,25*0,4S | 0,25*0,4S+0,4S |
Рассчитаем все выплаты: первая – $0,55S$, вторая – $0,475S$, третья – $0,5S$. Теперь можно начать отвечать на вопросы.
а) Чтобы найти наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей, нужно взять наименьшую выплату, и потребовать, чтобы она была больше 5 млн.
$$0,475S>5$$
$$S>\frac{5}{0,475}=10,52$$
Таким образом, $S$ – целое число, большее 10,5 – это 11.
б) Чтобы найти наибольшее значение S, при котором разница между наибольшей и наименьшей выплатами будет меньше 1 млн рублей, нужно найти разницу между наибольшей и наименьшей выплатами, и потребовать, чтобы она была меньше 1 млн:
$$0,55S-0,475S=0,075S<1$$
$$S<\frac{1}{0,075}=13,33$$
Таким образом, $S$ – целое число, меньшее 13,3 – это 13.
в) Чтобы ответить на третий вопрос задачи, нужно представить наши выплаты обыкновенными дробями:
$$0,55S=\frac{55S}{100}=\frac{11}{20}$$
$$0,475S=\frac{475S}{1000}=\frac{19}{40}$$
$$0,5S=\frac{5S}{10}$$
Приведем к общему знаменателю:
$$\frac{22}{40}; \frac{19}{40}; \frac{20S}{40}$$
Наибольший знаменатель – 40, пусть $S=40$, тогда все выплаты будут целым числом миллионов – 22, 19 и 20.
Ответ: а) 11; б) 13; в) 40.
Задача 2. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 13 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 12-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 13-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 804 тысячи рублей?
Составим таблицу:
Долг | Проценты | Платеж | |
1 | S | 0,02S | 0,02S+50 |
2 | S-50 | 0,02(S-50) | 0,02(S-50)+50 |
3 | S-100 | 0,02(S-100) | 0,02(S-100)+50 |
... | ... | ... | ... |
12 | S-550 | 0,02(S-550) | 0,02(S-550)+50 |
13 | S-600 | 0,02(S-600) | 0,02(S-600)+S-600 |
Составим уравнение:
$$804=12\cdot50+S-600+0,02(S+S-50+S-100+S-150+…+S-600)$$
$$804=S+0,02(13S-50-100-150-…-600)$$
$$804=S+0,02(13S-\frac{50+600}{2}\cdot 12)$$
$$804=S+0,26S-0,02\frac{50+600}{2}\cdot 12)$$
$$804=1,26S-78$$
$$882=1,26S$$
$$S=700$$
Ответ: взяли 700 тыс.
Задача 3. 15-го января планируется взять кредит в банке в размере $S$ рублей на $n$ месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину $A$ меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
Найдите $n$, $S$, $A$, $D$ – общую сумму выплат после погашения кредита, если известно, что четвертая выплата составила 17700, а девятая – 16200 р.
Составим таблицу:
1 | S | 0,02S | 0,02S+A |
2 | S-A | 0,02(S-A) | 0,02(S-A)+A |
3 | S-2A | 0,02(S-2A) | 0,02(S-2A)+A |
4 | S-3A | 0,02(S-3A) | 0,02(S-3A)+A |
... | ... | ... | ... |
Запишем четвертую выплату:
$$(S-3A)\cdot 0,02+A=17700$$
И девятую:
$$(S-8A)\cdot 0,02+A=16200$$
Вычтем из первого уравнения второе:
$$0,02(8A-3A)=1500$$
$$A=15000$$
Тогда
$$(S-3A) \cdot 0,02=2700$$
$$S=\frac{2700}{0,02}+3A=135000+45000=180000$$
$$n=12$$
Наконец, осталось определить, сколько всего было выплачено банку:
$$D=180+0,02(180+165+…15)=180+0,02\cdot\frac{180+15}{2}\cdot12=203,4$$
Ответ: $n=12$, $A=15000$, $S=180000$, $D=203,4$.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...