Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Экономическая задача с неизвестным сроком хранения вклада

Задача. Виктор Михайлович положил в банк 96000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5%, то 10% годовых, а за последний год начислили 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равным 160083 рублей. Сколько лет пролежал вклад в банке?

Задача несложная. Итак, сколько-то лет, пусть n,  начислялись пять процентов. Это \frac{5}{100}.

То есть после начисления процентов вклад A увеличивается в \left(1+\frac{5}{100}\right) раза, всего n раз. Тогда после этих лет на счету сумма станет равной  A\left(1+\frac{5}{100}\right)^n.

Cколько-то лет, пусть m,  начислялись десять процентов. Это \frac{10}{100}. Тогда вклад будет увеличиваться в  \left(1+\frac{10}{100}\right)  раз, и по истечении этих лет сумма станет равной A\left(1+\frac{5}{100}\right)^n\left(1+\frac{10}{100}\right)^m.

После этого вклад еще вырос, так как начислили 25%, то есть он еще вырос в \left(1+\frac{25}{100}\right) раза.

Тогда

    \[96000\left(1+\frac{5}{100}\right)^n\left(1+\frac{10}{100}\right)^m \cdot 1,25=160083\]

    \[96000\left(\frac{105}{100}\right)^n\left(\frac{110}{100}\right)^m \cdot \frac{125}{100}=160083\]

    \[960\left(\frac{105}{100}\right)^n\left(\frac{11}{10}\right)^m \cdot 125=160083\]

    \[\frac{3^n \cdot 7^n \cdot 5^n \cdot 11^m}{10^{2n} \cdot 10^m}=\frac{160083}{960 \cdot 125}\]

    \[\frac{3^n \cdot 7^n \cdot 5^n \cdot 11^m}{10^{2n} \cdot 10^m}=\frac{3^3 \cdot 7^2 \cdot 11^2}{3 \cdot 2^6 \cdot 5^4}\]

    \[\frac{3^n \cdot 7^n \cdot 11^m}{10^n \cdot 10^m \cdot 2^n}=\frac{3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2}{2^2 \cdot 10^4}\]

Видим из сравнения степеней, что n=2, m=2, следовательно, ответ 5:  m+n+1=5 (не забудем тот один год, когда начислялись 25%).

Ответ: 5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *