Экономическая задача с неизвестным сроком хранения вклада

[latexpage]

Задача. Виктор Михайлович положил в банк 96000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5%, то 10% годовых, а за последний год начислили 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равным 160083 рублей. Сколько лет пролежал вклад в банке?

Задача несложная. Итак, сколько-то лет, пусть n,  начислялись пять процентов. Это $\frac{5}{100}$.

То есть после начисления процентов вклад A увеличивается в $\left(1+\frac{5}{100}\right)$ раза, всего $n$ раз. Тогда после этих лет на счету сумма станет равной  $A\left(1+\frac{5}{100}\right)^n$.

Cколько-то лет, пусть m,  начислялись десять процентов. Это $\frac{10}{100}$. Тогда вклад будет увеличиваться в  $\left(1+\frac{10}{100}\right)$  раз, и по истечении этих лет сумма станет равной $A\left(1+\frac{5}{100}\right)^n\left(1+\frac{10}{100}\right)^m$.

После этого вклад еще вырос, так как начислили 25%, то есть он еще вырос в $\left(1+\frac{25}{100}\right)$ раза.

Тогда

$$96000\left(1+\frac{5}{100}\right)^n\left(1+\frac{10}{100}\right)^m \cdot 1,25=160083$$

$$96000\left(\frac{105}{100}\right)^n\left(\frac{110}{100}\right)^m \cdot \frac{125}{100}=160083$$

$$960\left(\frac{105}{100}\right)^n\left(\frac{11}{10}\right)^m \cdot 125=160083$$

$$\frac{3^n \cdot 7^n \cdot 5^n \cdot 11^m}{10^{2n} \cdot 10^m}=\frac{160083}{960 \cdot 125}$$

$$\frac{3^n \cdot 7^n \cdot 5^n \cdot 11^m}{10^{2n} \cdot 10^m}=\frac{3^3 \cdot 7^2 \cdot 11^2}{3 \cdot 2^6 \cdot 5^4}$$

$$\frac{3^n \cdot 7^n \cdot 11^m}{10^n \cdot 10^m \cdot 2^n}=\frac{3^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2}{2^2 \cdot 10^4}$$

Видим из сравнения степеней, что $n=2$, $m=2$, следовательно, ответ 5:  $m+n+1=5$ (не забудем тот один год, когда начислялись 25%).

Ответ: 5