Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Электростатика

Электростатика: взаимодействие зарядов


1. В вершинах равностороннего треугольника находятся одинаковые положительные заряды Q=2 нКл.  Какой отрицательный заряд надо поместить в центр треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы отталкивания положительных зарядов?


Для начала займемся геометрией. Надо бы определить расстояние, на которое будет удален наш отрицательный заряд от положительных. На рисунке это расстояние обозначено L. Понятно, что точка, в которой расположен отрицательный заряд, это центр вписанной и описанной окружностей – в правильном треугольнике они совпадают. Тонкие черные линии – это высоты, медианы и биссектрисы – они также совпадают у правильного треугольника. Длину этих линий определим по теореме Пифагора: H=sqrt{a^2-(a/2)^2}=sqrt{{3/4}a^2}={a/2}sqrt{3} – высота треугольника, она же медиана (если кто формулы для правильного треугольника забыл).

 

Задача 1

А медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому длина отрезка h: h={1/3}H=a/{2sqrt{3}} . Тогда по теореме Пифагора отрезок L: L=sqrt{a^2/4+a^2/12}=a/sqrt{3} – полдела сделано, расстояние нашли.

 

Теперь займемся силами взаимодействия зарядов. Синими стрелками показаны силы отталкивания между положительными зарядами. Давайте их вычислим:

 

F_1=F_2=k{{q_1q_2}/a^2}=kq^2/a^2

 

При складывании векторов таких двух сил образуется результирующая, она показана зеленой стрелкой. Она будет равна по длине сумме проекций синих стрелок на “зеленое” направление:

 

{1/2}F_rez=F_1cos{alpha}

 

Угол alpha равен 30circ – треугольник, образованный синими векторами – равнобедренный. Тогда:

 

{1/2}F_rez=F_1cos{30circ}={kq^2/a^2}*{sqrt{3}/2}

 

F_rez={kq^2/a^2}*sqrt{3}

 

Сила взаимодействия отрицательного и положительного зарядов равна:

 

F=k{{q_1Q}/(a/sqrt{3})^2}=3kqQ/a^2

 

Приравняв полученные силы, можем определить величину отрицательного заряда:

 

F=3kqQ/a^2=kq^2/a^2*sqrt{3} или

 

Q=q/sqrt{3}

 

Вычисляем: Q=2*10^{-9}/sqrt{3}=1,15*10^{-9}=1,15 нКл.

 

Ответ: 1,15 нКл




2. Два точечных заряда  Q_1=4 нКл и  Q_2=-2 нКл находятся на расстоянии 60 см друг от друга. Определите напряженность поля Е в точке, находящейся посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд положительный?


 

Определим напряженность поля, создаваемую положительным зарядом. Расстояние до точки между зарядами 30 см, это 0,3 м:

Задача 2

E_1={k*{delim{|}{Q_1}{|}}}/r^2={9*10^9*4*10^{-9}}/(0,3)^2=400 В/м

 

Определим напряженность поля, создаваемую отрицательным зарядом:

 

E_2={k*{delim{|}{Q_2}{|}}}/r^2={9*10^9*(-2)*10^{-9}}/(0,3)^2=200 В/м.

 

Рассмотрим рисунок, из которого видно, что оба вектора напряженностей направлены в одну сторону, так как вектор напряженности поля всегда направлен от положительного к отрицательному заряду, поэтому модуль результирующей напряженности поля:

 

E_1+E_2=400+200=600 В/м.

 

Ну и если второй заряд  положителен, тогда вектора напряженностей поля частично компенсируют друг друга, как показано на рисунке:

 

E_1+E_2=400-200=200 В/м.

 


3. Определите напряженность поля в точке А, находящейся на прямой, соединяющей заряды  Q_1=10 нКл и  Q_2=-8 нКл на расстоянии  r=8 см от отрицательного заряда. Расстояние между зарядами  l=20 см.


 

Точка, сразу заметим, может располагаться как между зарядами, так и вне системы зарядов, поэтому придется просчитать оба случая.

Задача 3

Первый – точка между зарядами. В этом случае оба вектора напряженности полей, созданных обоими зарядами, направлены вправо, и модули напряженностей полей сложатся:

 

E=E_1+E_2={k*{delim{|}{Q_1}{|}}}/{r_1}^2+{k*{delim{|}{Q_2}{|}}}/{r_2}^2, здесь r_1=0,12,  r_2=0,08. Тогда:

 

E=E_1+E_2={9*10^9*10*10^{-9}}/{0,12}^2+{9*10^9*8*10^{-9}}/{0,08}^2=1,75*10^4=17,5 кВ/м

 

Второй – точка правее зарядов. В этом случае оба вектора напряженности полей, созданных обоими зарядами, направлены к этой точке, то есть навстречу, и модули напряженностей полей вычтутся:

 

E=E_1-E_2={k*{delim{|}{Q_1}{|}}}/{r_3}^2-{k*{delim{|}{Q_2}{|}}}/{r_4}^2, здесь r_3=0,28,  r_2=0,08. Тогда:

 

E=E_1-E_2={9*10^9*10*10^{-9}}/{0,28}^2-{9*10^9*8*10^{-9}}/{0,08}^2=1,01*10^4=10,1 кВ/м


4. В вершинах квадрата со стороной 5 см находятся одинаковые положительные заряды  Q=2 нКл. Определите напряженность электростатического поля в центре квадрата и в середине одной из сторон.


 

С центром квадрата все ясно – вектора напряженностей направлены в противоположные стороны и компенсируют друг друга. Сложнее немного, если точка находится на середине стороны (второй случай). Однако и здесь два вектора напряженностей полей компенсируют друг друга – на рисунке они показаны зеленым цветом. Два других вектора напряженностей,  очевидно, сложатся. По рисунку найдем расстояние от дальних вершин квадрата до середины его противоположной стороны, в этом теорема Пифагора нам поможет:

Задача 4

 

L=sqrt{a^2/4+a^2}=a*{sqrt{5}}/2

 

Из этого же треугольника определим косинус угла  alpha как отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos(alpha)=a/{a*{sqrt{5}}/2}=2/sqrt{5}

 

Тогда суммарная напряженность поля равна:

 

E_rez=2E_1cos{alpha}=4E_1/sqrt{5}.

 

Найдем E_1

 

E_1={k*{delim{|}{Q}{|}}}/L^2={9*10^9*(2)*10^{-9}}/(0,0559)^2=5760 В/м, а результирующая

 

E_rez={4*E_1}/sqrt{5}={4*5760}/sqrt{5}=10300 В/м



Комментариев - 2

  • максим
    |

    Ответ не правильный
    Ошибка Е1 должна быть 5756 потому что L = 0,0559

    Ответить
    • Анна
      |

      Точно! Спасибо за внимательность!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *