Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитное поле

Движение заряженных частиц в магнитном поле

Порешаем сегодня задачки про электроны, влетающие в магнитное поле. Начнем,  как всегда, с простого, потом возьмемся за более «продвинутые»  задачи.

 

Задача 1. Точечный заряд q=10^{-5} Кл влетает со скоростью \upsilon_0=5 м/с в однородное магнитное поле. Вектор скорости заряда и вектор индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны. Найти величину и направление силы, действующей на заряд. Индукция магнитного поля B=2 Тл.

Сила, действующая на заряд в магнитном поле, определяется выражением

    \[F=q\upsilon B \sin{\alpha}\]

Так как направление скорости  и индукции перпендикулярны, то \sin{\alpha}=1, поэтому

    \[F= q\upsilon B=10^{-5} \cdot5 \cdot2=10^{-4}\]

Ответ: F=10^{-4} Н

 

Задача 2. Точечный заряд q=2\cdot 10^{-5} Кл влетает со скоростью \upsilon_0=5 м/с в однородное магнитное поле с индукцией B=2 Тл.  Вектор скорости заряда и вектор индукции магнитного поля составляют 45^{\circ}. Найти величину и направление силы, действующей на заряд.

Сила, действующая на заряд в магнитном поле, определяется выражением

    \[F=q\upsilon B \sin{\alpha}=2\cdot 10^{-5} \cdot5 \cdot2 \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cdot10^{-4}\]

Ответ: F=1,41\cdot 10^{-4} Н

 

Задача 3. Протон движется со скоростью \upsilon=10^6 м/с перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией B=1 Тл. Найти силу, действующую на протон, и радиус окружности, по которой он движется.

Сила будет равна:

    \[F= q\upsilon B=1,6\cdot 10^{-19} \cdot10^6 \cdot1=1,6\cdot10^{-13}\]

Радиус окружности найдем из формулы для центростремительного ускорения:

    \[\frac{F}{m}=\frac{\upsilon^2}{R}\]

    \[R=\frac{m\upsilon^2}{F}=\frac{1,7\cdot10^{-27}\cdot10^12}{1,6\cdot10^{-13}}=0.01\]

Ответ: F=1,6\cdot10^{-13} Н, R=0.01 м.

 

Задача 4. Частица массой m=6\cdot10^{-12} кг и зарядом  q=3\cdot 10^{-10} Кл движется в однородном магнитном поле с индукцией B=10 Тл. Кинетическая энергия частицы E_k=10^{-6} Дж. Какой путь пройдет частица за время, в течение которого ее скорость изменит направление на 180^{\circ}? Магнитное поле перпендикулярно скорости частицы.

Кинетическая энергия частицы равна:

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

Откуда скорость:

    \[\upsilon^2=\frac{2E_k}{m}\]

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}\]

Тогда сила, действующая в поле на частицу, равна:

    \[F= q\upsilon B= \frac{m\upsilon^2}{R}\]

    \[R=\frac{m\upsilon}{qB}=\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2E_k}{m}}=\frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}\]

Так как скорость должна изменить направление на противоположное, то понятно, что, двигаясь по окружности, частица должна пройти полкруга, и тогда скорость ее будет иметь противоположное направление.

Тогда

    \[S=\pi R= \pi \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}=3,14\cdot \frac{\sqrt{2\cdot6\cdot10^{-12}\cdot10^{-6}}}{3\cdot10^{-10}\cdot10}=3.62\]

Ответ: S=3,63 м

 

Задача 5. В магнитном поле, индукция которого 2 мТл, по винтовой линии радиусом R=2 см и шагом h=5 см движется электрон. Определить его скорость.

Скорость электрона будет иметь две составляющие: во-первых, поступательная составляющая: скорость движения вперед,  во-вторых, скорость, направленная по касательной и обеспечивающая движение электрона по окружности. Начнем с движения по окружности. На электрон действует сила:

    \[F= q\upsilon_g B=\frac{m \upsilon_g^2}{R}\]

    \[\upsilon_g=\frac{qBR}{m}\]

С такой скоростью электрон будет преодолевать окружность длиной 2 \pi R за время t:

    \[t=\frac{2 \pi R}{\upsilon_g}=\frac{2 \pi Rm}{qBR}=\frac{2 \pi m}{qB}\]

За время прохождения полного круга электрон продвигается вперед на шаг винтовой линии h:

    \[h=\upsilon_v t\]

    \[\upsilon_v=\frac{h}{t}=\frac{hqB}{2 \pi m}\]

Так как обе составляющие скорости взаимно перпендикулярны, то определить скорость электрона поможет теорема Пифагора:

    \[\upsilon=\sqrt{\upsilon_g^2 +\upsilon_v^2 }=\sqrt{\frac{q^2B^2R^2}{m^2}+\frac{h^2q^2B^2}{4 \pi^2 m^2}}=\frac{qB}{2 \pi m}\sqrt{(2\pi R)^2+h^2}\]

Подставим  числа:

    \[\upsilon=\frac{1,6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{-3}}{2\cdot 3,14 \cdot9,1\cdot10^{-31}}\sqrt{4\cdot9,86\cdot4\cdot10^{-4}+25\cdot10^{-4}}=7,57\cdot10^6\]

Ответ: \upsilon=7,57\cdot10^6

 

Задача 6. Электрон ускоряется однородным  электрическим полем, напряженность которого E=1,6 кВ/м . Пройдя в электрическом поле некоторый путь, он влетает в однородное магнитное поле и начинает двигаться по окружности радиусом R=2 мм. Какой путь прошел электрон в электрическом поле? Индукция магнитного поля B=0,03 Тл. Начальная скорость электрона – нулевая.

В электрическом поле электрон ускорился, и в итоге приобрел некоторую скорость, которую можно найти, зная радиус. А если узнаем скорость, то сможем определить и путь электрона.

С одной стороны,

    \[F=q\upsilon B\]

С другой стороны,

    \[F=\frac{m \upsilon^2}{R}\]

Тогда, приравнивая, имеем:

    \[qB=\frac{m\upsilon}{R}\]

    \[\upsilon=\frac{qBR}{m}\]

Для определения пути при равноускоренном движении можно воспользоваться формулой:

    \[\upsilon^2-\upsilon_0^2=2aS\]

    \[S=\frac{\upsilon^2}{2a}=\frac{q^2B^2R^2}{2m^2a}\]

Ускорение найдем из соотношения:

    \[am=Eq\]

    \[a=\frac{Eq}{m}\]

Тогда:

    \[S=\frac{q^2B^2R^2m}{2m^2Eq}=\frac{qB^2R^2}{2mE}\]

Подставим числа:

    \[S=\frac{1,6\cdot10^{-19}\cdot(0,03)^2\cdot(0,002)^2}{2\cdot9,1\cdot10^{-31}\cdot1,6\cdot10^3}=0,198\]

Ответ: 19,8 см.

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *