Движение заряженных частиц в магнитном поле

[latexpage]

Порешаем сегодня задачки про электроны, влетающие в магнитное поле. Начнем,  как всегда, с простого, потом возьмемся за более «продвинутые»  задачи.

Задача 1. Точечный заряд $q=10^{-5}$ Кл влетает со скоростью $\upsilon_0=5$ м/с в однородное магнитное поле. Вектор скорости заряда и вектор индукции магнитного поля взаимно перпендикулярны. Найти величину и направление силы, действующей на заряд. Индукция магнитного поля $B=2$ Тл.

Сила, действующая на заряд в магнитном поле, определяется выражением

$$F=q\upsilon B \sin{\alpha}$$

Так как направление скорости  и индукции перпендикулярны, то $\sin{\alpha}=1$, поэтому

$$F= q\upsilon B=10^{-5} \cdot5 \cdot2=10^{-4}$$

Ответ: $F=10^{-4}$ Н

Задача 2. Точечный заряд $q=2\cdot 10^{-5}$ Кл влетает со скоростью $\upsilon_0=5$ м/с в однородное магнитное поле с индукцией $B=2$ Тл.  Вектор скорости заряда и вектор индукции магнитного поля составляют $45^{\circ}$. Найти величину и направление силы, действующей на заряд.

Сила, действующая на заряд в магнитном поле, определяется выражением

$$F=q\upsilon B \sin{\alpha}=2\cdot 10^{-5} \cdot5 \cdot2 \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cdot10^{-4}$$

Ответ: $F=1,41\cdot 10^{-4}$ Н

Задача 3. Протон движется со скоростью $\upsilon=10^6$ м/с перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией $B=1$ Тл. Найти силу, действующую на протон, и радиус окружности, по которой он движется.

Сила будет равна:

$$F= q\upsilon B=1,6\cdot 10^{-19} \cdot10^6 \cdot1=1,6\cdot10^{-13}$$

Радиус окружности найдем из формулы для центростремительного ускорения:

$$\frac{F}{m}=\frac{\upsilon^2}{R}$$

$$R=\frac{m\upsilon^2}{F}=\frac{1,7\cdot10^{-27}\cdot10^12}{1,6\cdot10^{-13}}=0.01$$

Ответ: $F=1,6\cdot10^{-13}$ Н, $R=0.01$ м.

Задача 4. Частица массой $m=6\cdot10^{-12}$ кг и зарядом  $q=3\cdot 10^{-10}$ Кл движется в однородном магнитном поле с индукцией $B=10$ Тл. Кинетическая энергия частицы $E_k=10^{-6}$ Дж. Какой путь пройдет частица за время, в течение которого ее скорость изменит направление на $180^{\circ}$? Магнитное поле перпендикулярно скорости частицы.

Кинетическая энергия частицы равна:

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

Откуда скорость:

$$\upsilon^2=\frac{2E_k}{m}$$

$$\upsilon=\sqrt{\frac{2E_k}{m}}$$

Тогда сила, действующая в поле на частицу, равна:

$$F= q\upsilon B= \frac{m\upsilon^2}{R}$$

$$R=\frac{m\upsilon}{qB}=\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2E_k}{m}}=\frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}$$

Так как скорость должна изменить направление на противоположное, то понятно, что, двигаясь по окружности, частица должна пройти полкруга, и тогда скорость ее будет иметь противоположное направление.

Тогда

$$S=\pi R= \pi \frac{\sqrt{2mE_k}}{qB}=3,14\cdot \frac{\sqrt{2\cdot6\cdot10^{-12}\cdot10^{-6}}}{3\cdot10^{-10}\cdot10}=3.62$$

Ответ: $S=3,63$ м

Задача 5. В магнитном поле, индукция которого 2 мТл, по винтовой линии радиусом $R=2$ см и шагом $h=5$ см движется электрон. Определить его скорость.

Скорость электрона будет иметь две составляющие: во-первых, поступательная составляющая: скорость движения вперед,  во-вторых, скорость, направленная по касательной и обеспечивающая движение электрона по окружности. Начнем с движения по окружности. На электрон действует сила:

$$F= q\upsilon_g B=\frac{m \upsilon_g^2}{R}$$

$$\upsilon_g=\frac{qBR}{m}$$

С такой скоростью электрон будет преодолевать окружность длиной $2 \pi R$ за время $t$:
$$t=\frac{2 \pi R}{\upsilon_g}=\frac{2 \pi Rm}{qBR}=\frac{2 \pi m}{qB}$$

За время прохождения полного круга электрон продвигается вперед на шаг винтовой линии $h$:

$$h=\upsilon_v t$$

$$\upsilon_v=\frac{h}{t}=\frac{hqB}{2 \pi m}$$

Так как обе составляющие скорости взаимно перпендикулярны, то определить скорость электрона поможет теорема Пифагора:

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_g^2 +\upsilon_v^2 }=\sqrt{\frac{q^2B^2R^2}{m^2}+\frac{h^2q^2B^2}{4 \pi^2 m^2}}=\frac{qB}{2 \pi m}\sqrt{(2\pi R)^2+h^2}$$

Подставим  числа:

$$\upsilon=\frac{1,6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{-3}}{2\cdot 3,14 \cdot9,1\cdot10^{-31}}\sqrt{4\cdot9,86\cdot4\cdot10^{-4}+25\cdot10^{-4}}=7,57\cdot10^6$$

Ответ: $\upsilon=7,57\cdot10^6$

Задача 6. Электрон ускоряется однородным  электрическим полем, напряженность которого $E=1,6$ кВ/м . Пройдя в электрическом поле некоторый путь, он влетает в однородное магнитное поле и начинает двигаться по окружности радиусом $R=2$ мм. Какой путь прошел электрон в электрическом поле? Индукция магнитного поля $B=0,03$ Тл. Начальная скорость электрона – нулевая.

В электрическом поле электрон ускорился, и в итоге приобрел некоторую скорость, которую можно найти, зная радиус. А если узнаем скорость, то сможем определить и путь электрона.

С одной стороны,

$$F=q\upsilon B$$

С другой стороны,

$$F=\frac{m \upsilon^2}{R}$$

Тогда, приравнивая, имеем:

$$qB=\frac{m\upsilon}{R}$$

$$\upsilon=\frac{qBR}{m}$$

Для определения пути при равноускоренном движении можно воспользоваться формулой:

$$\upsilon^2-\upsilon_0^2=2aS$$

$$S=\frac{\upsilon^2}{2a}=\frac{q^2B^2R^2}{2m^2a}$$

Ускорение найдем из соотношения:

$$am=Eq$$

$$a=\frac{Eq}{m}$$

Тогда:

$$S=\frac{q^2B^2R^2m}{2m^2Eq}=\frac{qB^2R^2}{2mE}$$

Подставим числа:

$$S=\frac{1,6\cdot10^{-19}\cdot(0,03)^2\cdot(0,002)^2}{2\cdot9,1\cdot10^{-31}\cdot1,6\cdot10^3}=0,198$$

Ответ: 19,8 см.