Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение с постоянной скоростью

Движение точки на плоскости

В этой статье понадобится различать такие понятия, как модуль средней скорости и средняя путевая скорость. Модуль средней скорости – это средняя скорость по перемещению, то есть частное от деления модуля перемещения на время. Средняя путевая скорость – это частное от деления всего пути, пройденного телом, на время.

Задача 1. Тело совершает два последовательных, одинаковых по модулю перемещения со скоростью м/с под углом и со скоростью м/с под углом к оси . Найти модуль средней скорости и среднюю путевую скорость.

Сначала определимся с тем, что необходимо найти в этой задаче. Модуль средней скорости – это средняя скорость по перемещению, то есть частное от деления модуля перемещения на время. Средняя путевая скорость – это частное от деления всего пути, пройденного телом, на время. То есть необходимо узнать путь, перемещение и время, за которое оно произошло. Обозначим длину отрезка, на которую переместилось тело, за . Тогда можем сделать рисунок:

Задача 1

Определим сначала среднюю путевую скорость.

   

Теперь по рисунку найдем перемещение, тогда сможем найти и среднюю скорость по перемещению . Из рисунка видно, что перемещение равно , а длина отрезка .

Тогда

   

Ответ: модуль средней скорости равен 23 м/с, а средняя путевая скорость равна 27 м/с.

Задача 2. По прямому шоссе со скоростью м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии м от шоссе и на расстоянии м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек со скоростью м/с, чтобы выйти к какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше него?

Будем рассуждать, сделав рисунок.

Задача 2

Необходимо, чтобы время движения человека и автобуса были бы равны. Но этого условия мало, необходимо еще добавить условие на расстояние между человеком и автобусом.

   

   

   

Или . Здесь – расстояние, которое пройдет автобус, а – расстояние, которое пробежит человек. Обозначим расстояние от автобуса до точки за .

   

Человек может выбрать направление движения: прямиком к точке А, навстречу автобусу, к точке В, или к точке С. Очевидно, что он бы затратил 15 секунд на то, чтобы добежать до A. Автобусу на это понадобится почти вдвое больше времени. Точка А удовлетворяет условию задачи.

Если человек будет бежать в направлении B, то он будет двигаться по гипотенузе прямоугольного треугольника . Тогда ,

   

   

   

   

   

Имеем квадратное уравнение относительно , решим его.

   

   

   

   

Итак, мы получили, что человек может бежать к точке В, и тогда его путь должен быть равен 84 м, а бежать он должен почти под углом к перпендикуляру и к шоссе, или он может бежать к точке , тогда его путь составит 127 метров, а бежать надо будет почти под углом к шоссе. И также он может двигаться к любой точке шоссе, заключенной между точками и , но тогда автобуса придется подождать.

Задача 3. Две точки двигаются по осям и . В момент времени точка 1 находилась на расстоянии см, а точка 2 на расстоянии см от начала координат. Первая точка движется со скоростью см/с, а вторая – со скоростью см/с. Встретятся ли они? Если нет, то какое наименьшее расстояние будет между точками?

Пусть первая точка движется вниз по оси , а вторая – влево по оси . Тогда уравнение движения первой будет:

   

А уравнение движения второй –

   

Так как точки  движутся по катетам треугольника, то расстояние между ними – его гипотенуза. Следовательно, нам надо найти минимум длины этой гипотенузы. Запишем ее уравнение:

   

   

Раскроем скобки:

   

Объединим подобные относительно слагаемые:

   

Видно, что в правой части равенства имеем квадратичную зависимость относительно , причем парабола расположена ветвями вверх и минимум будет достигнут в вершине, поэтому найдем вершинку этой параболы:

   

Определив время, сможем найти и минимальное расстояние:

   

Мы получили время в секундах. Теперь определим минимальное расстояние:

   

   

Ответ: минимальное расстояние – 6,7 см, точки максимально сблизятся через 2 с.

 

Задача 4. Прямая, образующая угол с положительным направлением оси , движется со скоростью . С какой скоростью движется точка пересечения этой прямой с осью ?

Задача 4

Пусть точка, принадлежащая прямой, движется со скоростью . Тогда . Следовательно,

   

Точка, движущаяся по оси , имеет скорость ,

   

Ответ: .

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *