Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение с постоянной скоростью

Движение точки на плоскости

В этой статье понадобится различать такие понятия, как модуль средней скорости и средняя путевая скорость. Модуль средней скорости – это средняя скорость по перемещению, то есть частное от деления модуля перемещения на время. Средняя путевая скорость – это частное от деления всего пути, пройденного телом, на время.

Задача 1. Тело совершает два последовательных, одинаковых по модулю перемещения со скоростью \upsilon_1=20 м/с под углом \alpha=60^{\circ} и со скоростью \upsilon_2=40 м/с под углом \beta=120^{\circ} к оси X. Найти модуль средней скорости и среднюю путевую скорость.

Сначала определимся с тем, что необходимо найти в этой задаче. Модуль средней скорости – это средняя скорость по перемещению, то есть частное от деления модуля перемещения на время. Средняя путевая скорость – это частное от деления всего пути, пройденного телом, на время. То есть необходимо узнать путь, перемещение и время, за которое оно произошло. Обозначим длину отрезка, на которую переместилось тело, за a. Тогда можем сделать рисунок:

Задача 1

Определим сначала среднюю путевую скорость.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{2a}{t_1+t_2}=\frac{2a}{\frac{a}{\upsilon_1}+\frac{a}{\upsilon_2}}=\frac{2\upsilon_1\upsilon_2}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{2\cdot 20\cdot 40}{60}=27\]

Теперь по рисунку найдем перемещение, тогда сможем найти и среднюю скорость по перемещению \upsilon_p. Из рисунка видно, что перемещение равно L=2b, а длина отрезка b=a\cos(90-\alpha)=a\sin{\alpha}.

Тогда

    \[\upsilon_p=\frac{L}{t}=\frac{2a\sin{\alpha}}{t_1+t_2}=\frac{2a\sin{\alpha}}{\frac{a}{\upsilon_1}+\frac{a}{\upsilon_2}}=\frac{2\upsilon_1\upsilon_2\sin{\alpha}}{\upsilon_1+\upsilon_2}=\frac{2\cdot 20\cdot 40\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{60}=23\]

Ответ: модуль средней скорости равен 23 м/с, а средняя путевая скорость равна 27 м/с.

Задача 2. По прямому шоссе со скоростью \upsilon_1=16 м/с движется автобус. Человек находится на расстоянии a=60 м от шоссе и на расстоянии b=400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек со скоростью \upsilon_2=4 м/с, чтобы выйти к какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше него?

Будем рассуждать, сделав рисунок.

Задача 2

Необходимо, чтобы время движения человека и автобуса были бы равны. Но этого условия мало, необходимо еще добавить условие на расстояние между человеком и автобусом.

    \[t_a=t\]

    \[\frac{L}{\upsilon_1}=\frac{l}{\upsilon_2}\]

    \[\frac{L}{16}=\frac{l}{4}\]

Или L=4l. Здесь L – расстояние, которое пройдет автобус, а l – расстояние, которое пробежит человек. Обозначим расстояние от автобуса до точки A за x.

    \[x=\sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{400^2-60^2}=\sqrt{156400}=395,5\]

Человек может выбрать направление движения: прямиком к точке А, навстречу автобусу, к точке В, или к точке С. Очевидно, что он бы затратил 15 секунд на то, чтобы добежать до A. Автобусу на это понадобится почти вдвое больше времени. Точка А удовлетворяет условию задачи.

Если человек будет бежать в направлении B, то он будет двигаться по гипотенузе прямоугольного треугольника FABFB. Тогда FB=l,

    \[l=\sqrt{a^2+(x-L)^2}\]

    \[l=\sqrt{a^2+(x-4l)^2}\]

    \[l^2=a^2+x^2-8xl+16l^2\]

    \[15l^2-8xl +a^2+x^2=0\]

    \[15l^2-8xl +b^2=0\]

Имеем квадратное уравнение относительно l, решим его.

    \[D=64\cdot395,5^2-4\cdot 15\cdot400^2=641^2\]

    \[l_{1,2}=\frac{3164 \pm 641}{30}\]

    \[l_1=84,1\]

    \[l_2=127\]

Итак, мы получили, что человек может бежать к точке В, и тогда его путь должен быть равен 84 м, а бежать он должен почти под углом 45^{\circ} к перпендикуляру FA и к шоссе, или он может бежать к точке C, тогда его путь составит 127 метров, а бежать надо будет почти под углом 30^{\circ} к шоссе. И также он может двигаться к любой точке шоссе, заключенной между точками B и C, но тогда автобуса придется подождать.

Задача 3. Две точки двигаются по осям X и Y. В момент времени t_0=0 точка 1 находилась на расстоянии l_1=10 см, а точка 2 на расстоянии l_2=5 см от начала координат. Первая точка движется со скоростью \upsilon_1=2 см/с, а вторая – со скоростью \upsilon_2=4 см/с. Встретятся ли они? Если нет, то какое наименьшее расстояние будет между точками?

Пусть первая точка движется вниз по оси y, а вторая – влево по оси x. Тогда уравнение движения первой будет:

    \[y=y_0-\upsilon_y t\]

А уравнение движения второй –

    \[x=x_0-\upsilon_x t\]

Так как точки  движутся по катетам треугольника, то расстояние между ними – его гипотенуза. Следовательно, нам надо найти минимум длины этой гипотенузы. Запишем ее уравнение:

    \[l^2=x^2+y^2\]

    \[l^2=(x_0-\upsilon_x t )^2 +(y_0-\upsilon_y t )^2\]

Раскроем скобки:

    \[l^2=x_0^2-2x_0\upsilon_x t +\upsilon_x^2 t^2 + y_0^2-2y_0\upsilon_y t +\upsilon_y^2 t^2\]

Объединим подобные относительно t слагаемые:

    \[l^2=(\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2)t^2 -t(2x_0\upsilon_x + 2y_0\upsilon_y )+ y_0^2 + x_0^2\]

Видно, что в правой части равенства имеем квадратичную зависимость относительно t, причем парабола расположена ветвями вверх и минимум будет достигнут в вершине, поэтому найдем вершинку этой параболы:

    \[t_{min}=\frac{-b}{2a}=\frac{2x_0\upsilon_x + 2y_0\upsilon_y  }{2(\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2)}\]

Определив время, сможем найти и минимальное расстояние:

    \[t_{min}=\frac{2\cdot20 + 2\cdot20}{2(4^2+2^2)}=\frac{80}{40}=2\]

Мы получили время в секундах. Теперь определим минимальное расстояние:

    \[l=\sqrt{(\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2)t^2 -t(2x_0\upsilon_x + 2y_0\upsilon_y )+ y_0^2 + x_0^2}\]

    \[l=\sqrt{80  -2\cdot80  +100+25}=\sqrt{45}=6,7\]

Ответ: минимальное расстояние – 6,7 см, точки максимально сблизятся через 2 с.

 

Задача 4. Прямая, образующая угол \alpha=30^{\circ} с положительным направлением оси X, движется со скоростью \upsilon. С какой скоростью движется точка пересечения этой прямой с осью Y?

Задача 4

Пусть точка, принадлежащая прямой, движется со скоростью u. Тогда \upsilon=u\cos{\alpha}. Следовательно,

    \[u=\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}\]

Точка, движущаяся по оси Y, имеет скорость c,

    \[c=u \sin{\alpha}=\frac{\upsilon}{\cos{\alpha}}\sin{\alpha}=\upsilon \operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon }{\sqrt{3}}\]

Ответ: \frac{\upsilon }{\sqrt{3}}.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *