Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Движение тела под углом к горизонту: сложные задачи

Задачи такого плана могут встретиться в ЕГЭ по физике под номерами 24 и 28. Для их решения нужно не только помнить кинематические формулы, но и понимать тему “относительность движения”, уметь правильно (и разумно) раскладывать вектора скоростей на проекции.

Задача 1. Два камня одновременно брошены из одной точки с равными скоростями \upsilon_0=10 м/с под углами \alpha_1=30^{\circ} и \alpha_2=60^{\circ} к горизонту, причем движение происходит во взаимно перпендикулярных плоскостях. Чему равен модуль скорости \upsilon второго камня относительно первого в любой момент движения?

Траектории камней в плоскостях

Пусть движение первого тела происходит в плоскости XOY, а второго – в плоскости XOZ. Тогда вверх оба тела двигаются по оси Y, а поступательное движение у первого тела – вдоль оси X, а у второго – вдоль Z. Разложим скорости каждого из камней по осям:

    \[\upsilon_{1x}=\upsilon_0 \cos{\alpha_1}\]

    \[\upsilon_{1y}=\upsilon_0 \sin{\alpha_1}\]

Второе тело:

    \[\upsilon_{2z}=\upsilon_0 \cos{\alpha_2}\]

    \[\upsilon_{2y}=\upsilon_0 \sin{\alpha_2}\]

Разложение скоростей по осям

Теперь определяем скорость второго тела относительно первого. Скорость тела относительно земли складывается из скорости системы отсчета и скорости тела в этой системе, поэтому скорость второго тела относительно первого есть векторная разность скорости второго (скорость относительно земли)  и первого тел (скорость системы отсчета):

    \[{\upsilon_{21xz}}^2={\upsilon_{1x}}^2+{\upsilon_{2z}}^2\]

    \[{\upsilon_{21xz}}^2={\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_1}+{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_2}\]

    \[\upsilon_{21y}=\upsilon_{2y}-\upsilon_{1y}\]

    \[{\upsilon_{21}}^2={\upsilon_{21xz}}^2+{\upsilon_{21y}}^2\]

    \[\upsilon_{21}=\sqrt{{\upsilon_{21xz}}^2+{\upsilon_{21y}}^2}\]

    \[\upsilon_{21}=\sqrt{{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_1}+{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_2}+(\upsilon_{2y}-\upsilon_{1y})^2}\]

    \[\upsilon_{21}=\sqrt{{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_1}+{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_2}+(\upsilon_0 \sin{\alpha_2}-\upsilon_0 \sin{\alpha_1})^2}\]

    \[\upsilon_{21}=\sqrt{{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_1}+{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_2}+{\upsilon_0}^2 \sin^2{\alpha_2}-2{\upsilon_0}^2 \sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2}+{\upsilon_0}^2 \sin^2{\alpha_1}}\]

Вычитание векторов

    \[\upsilon_{21}=\upsilon_0\sqrt{\cos^2{\alpha_1}+ \cos^2{\alpha_2}+ \sin^2{\alpha_2}-2\sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2}+\sin^2{\alpha_1}}\]

    \[\upsilon_{21}=\upsilon_0\sqrt{2-2\sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2}}\]

    \[\upsilon_{21}=\upsilon_0\sqrt{2(1-\sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2})}\]

Можно и числа подставить:

    \[\upsilon_{21}=10\sqrt{2(1-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2})}\]

    \[\upsilon_{21}=10\sqrt{2(1-\frac{\sqrt{3}}{4})}=10,65\]

Ответ: 10,65 м/с

 

Задача 2. Шарик свободно падает на наклонную плоскость с высоты h=2 м и упруго отскакивает от нее. На каком расстоянии s от места падения он второй раз ударится о плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту равен \alpha=30^{\circ}.

К задачам 2 и 3

Падая, шарик приобретает скорость:

    \[\upsilon=\sqrt{2gh}\]

Так как удар упругий, то угол падения равен углу отражения, и скорость сохраняет свое значение. Так как угол наклона плоскости к горизонту \alpha=30^{\circ}, то шарик падает на нее под углом \beta=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}, и отскочит он тоже под углом 60^{\circ} (к плоскости).
Далее введем систему координат такую, что ось x направлена вдоль плоскости, а ось y – перпендикулярно к плоскости, и будем считать движение шарика по обеим осям равноускоренным. Почему? Потому, что на шарик действует ускорение свободного падения, и направлено оно вниз, следовательно, его направление отлично от направлений осей выбранной нами системы координат его вектор можно разложить по осям, что мы и сделаем:

    \[g_x=g \sin{\alpha}\]

    \[g_y=g \cos{\alpha}\]

Скорость шарика, с которой он отскочил, считаем начальной и также раскладываем по осям:

    \[\upsilon_x=\upsilon\sin{\alpha}\]

    \[\upsilon_y=\upsilon\cos{\alpha}\]

Тогда координата x шарика (движение равноускоренное с начальной скоростью):

    \[x=\upsilon_x t_{poln}+\frac{g_x t_{poln}^2}{2}\]

Координата y шарика (по этой оси движение сначала равнозамедленное, потом равноускоренное):

    \[y=\upsilon_y t_{poln}-\frac{g_y t_{poln}^2}{2}\]

Определим время полета до наивысшей точки, там составляющая скорости \upsilon_y обратится в ноль:

    \[\upsilon_{y1}=\upsilon_y -g_y t=\upsilon\cos{\alpha}- g \cos{\alpha} t=0\]

Откуда и найдем время:

    \[t=\frac{\upsilon\cos{\alpha}}{ g \cos{\alpha}}=\frac{\upsilon }{g}=\frac{\sqrt{2gh}}{g}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Не забудем, что от наивысшей точки полета до приземления пройдет ровно столько же времени, поэтому полное время движения после отскока равно:

    \[t_{poln}=2t=\sqrt{\frac{8h}{g}}\]

Определяем теперь место второго удара – координату x:

    \[x=\upsilon\sin{\alpha}\sqrt{\frac{8h}{g}}+\frac{ g \sin{\alpha}\frac{8h}{g}}{2}=\]

    \[=\sqrt{2gh}\sin{\alpha}\sqrt{\frac{8h}{g}}+4h\sin{\alpha}=4h\sin{\alpha}+4h\sin{\alpha}=8h\sin{\alpha}\]

Подставим числа:

    \[x=8 h\sin{\alpha}=8\cdot2\cdot \frac{1}{2}=8\]

Ответ: 8 м.

 

Задача 3. Мяч падает вертикально с высоты h=1 м на наклонную доску. Расстояние между точками первого и второго удара мяча о доску s=4 м. Удар абсолютно упругий. Определить угол наклона \alpha доски к горизонту.
Это задача, обратная предыдущей. Но все же приведу решение:
Падая, шарик приобретает скорость:

    \[\upsilon=\sqrt{2gh}\]

Так как удар упругий, то угол падения равен углу отражения, и скорость сохраняет свое значение.
Далее введем систему координат такую, что ось x направлена вдоль плоскости, а ось y – перпендикулярно к плоскости, и будем считать движение шарика по обеим осям равноускоренным. Почему? Потому, что на шарик действует ускорение свободного падения, и направлено оно вниз, следовательно, его направление отлично от направлений осей выбранной нами системы координат его вектор можно разложить по осям:

    \[g_x=g \sin{\alpha}\]

    \[g_y=g \cos{\alpha}\]

Скорость шарика, с которой он отскочил, считаем начальной и также раскладываем по осям:

    \[\upsilon_x=\upsilon\sin{\alpha}\]

    \[\upsilon_y=\upsilon\cos{\alpha}\]

Тогда координата x шарика (движение равноускоренное с начальной скоростью):

    \[x=\upsilon_x t_{poln}+\frac{g_x t_{poln}^2}{2}\]

Координата y шарика (по этой оси движение сначала равнозамедленное, потом равноускоренное):

    \[y=\upsilon_y t_{poln}-\frac{g_y t_{poln}^2}{2}\]

Определим время полета до наивысшей точки, там составляющая скорости \upsilon_y обратится в ноль:

    \[\upsilon_{y1}=\upsilon_y -g_y t=\upsilon\cos{\alpha}- g \cos{\alpha}t=0\]

Откуда и найдем время:

    \[t=\frac{\upsilon\cos{\alpha}}{ g \cos{\alpha}}=\frac{\upsilon }{g}=\frac{\sqrt{2gh}}{g}=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Полное время полета вдвое больше:

    \[t_{poln}=2t=\sqrt{\frac{8h}{g}}\]

Определяем теперь место второго удара – координату x:

    \[x=\upsilon\sin{\alpha}\sqrt{\frac{8h}{g}}+\frac{ g \sin{\alpha}\frac{8h}{g}}{2}=\]

    \[=\sqrt{2gh}\sin{\alpha}\sqrt{\frac{8h}{g}}+4h\sin{\alpha}=4h\sin{\alpha}+4h\sin{\alpha}=8h\sin{\alpha}\]

Из полученного равенства находим \sin{\alpha}:

    \[\sin{\alpha}=\frac{x}{8h}\]

Подставим числа:

    \[\sin{\alpha}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\]

    \[\alpha=30^{\circ}\]

Ответ: \alpha=30^{\circ}.

Задача 4. Мяч бросают вверх вдоль наклонной плоскости под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту. За время полета вертикальная составляющая его скорости по модулю стала меньше на \eta_1=10%. Когда мяч бросили с прежнего места с той же начальной скоростью, но под другим углом, вертикальная составляющая его скорости за время полета уменьшилась на \eta_2=20%, а мяч пролетел расстояние, измеренное вдоль горизонтали, в n=1,5 раза меньшее, чем в первом случае. Под каким углом к горизонту бросили мяч во второй раз? Считать, что в обоих случаях вершина траектории мяча находится над наклонной плоскостью.

К задаче 4

Введем систему координат, причем здесь неудобно направлять ось x вдоль плоскости. Если так поступить, то становится неизвестным угол к плоскости, под которым был произведен бросок. Поэтому ось x направим горизонтально, ось y – вертикально. Разложим начальную скорость мяча по осям:

    \[\upsilon_x=\upsilon\cos {\alpha}\]

    \[\upsilon_y=\upsilon \sin {\alpha}\]

Время полета до верхней точки траектории найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости:

    \[\upsilon_{y1}=\upsilon_y-gt_{vzl}=\upsilon\sin {\alpha}-gt_{vzl}=0\]

Откуда время полета мяча вверх:

    \[t_{vzl}=\frac{\upsilon\sin {\alpha}}{g}\]

Вниз он летел меньшее время, так как его вертикальная оставляющая стала равна 0,9\upsilon_y, определим время полета вниз t_{pad}:

    \[\upsilon_{yk}=0,9\upsilon_y =\upsilon_{y1}+gt_{pad}\]

    \[0,9\upsilon_y =gt_{pad}\]

    \[t_{pad}=\frac{0,9\upsilon_y }{g}=\frac{0,9\upsilon\sin {\alpha}}{g}\]

Полное время движения тела:

    \[t_{poln}= t_{vzl}+ t_{pad}=\frac{\upsilon\sin {\alpha}}{g}+\frac{0,9\upsilon\sin {\alpha}}{g}=\frac{1,9\upsilon\sin {\alpha}}{g}\]

За такое время тело может пролететь по горизонтали расстояние:

    \[S_x=\upsilon_x \cdot t_{poln}=\upsilon\cos {\alpha}\frac{1,9\upsilon\sin {\alpha}}{g}=\frac{1,9\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2g}\]

Теперь рассмотрим второй бросок.
Разложим начальную скорость мяча по осям:

    \[\upsilon_{x2}=\upsilon\cos {\beta}\]

    \[\upsilon_{y2}=\upsilon \sin {\beta}\]

Время полета до верхней точки траектории найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости:

    \[\upsilon_{y2k}=\upsilon_{y2}-gt_{vzl2}=\upsilon\sin {\beta}-gt_{vzl2}=0\]

Откуда время полета мяча вверх:

    \[t_{vzl2}=\frac{\upsilon\sin {\beta}}{g}\]

Вниз он летел меньшее время, так как его вертикальная оставляющая стала равна 0,8\upsilon_{y2}, определим время полета вниз t_{pad2}:

    \[\upsilon_{y2k}=0,8\upsilon_{y2} =\upsilon_{y21}+gt_{pad2}\]

    \[0,8\upsilon_{y2} =gt_{pad2}\]

    \[t_{pad2}=\frac{0,2\upsilon_{y2} }{g}=\frac{0,8\upsilon\sin {\beta}}{g}\]

Полное время движения мяча:

    \[t_{poln2}= t_{vzl2}+ t_{pad2}=\frac{1,8\upsilon\sin {\beta}}{g}\]

За такое время мяч может пролететь по горизонтали расстояние:

    \[S_{x2}=\upsilon_{x2} \cdot t_{poln2}=\upsilon\cos {\beta}\frac{1,8\upsilon\sin {\beta}}{g}=\frac{1,8\upsilon^2 \sin{2\beta}}{2g}\]

Так как треугольники ABC и AB_1C_1 подобны, то расстояния, которые пролетит мяч в первом и втором случае, то есть гипотенузы, относятся также, как и катеты данных треугольников S_{x1} и S_{x2}.
Поэтому разделим S_{x1} на S_{x2}:

    \[\frac{ S_{x1}}{ S_{x2}}=n=\frac{\frac{1,9\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2g}}{\frac{1,8\upsilon^2 \sin{2\beta}}{2g}}\]

    \[n=\frac{1,9\sin{2\alpha}}{1,8\sin{2\beta}}\]

Отсюда

    \[\sin{2\beta} =\frac{1,9\sin{2\alpha}}{1,8 n}\]

    \[2\beta =\arcsin\left(\frac{1,9\sin{2\alpha}}{1,8 n}\right)\]

    \[\beta =\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{1,9\sin{2\alpha}}{1,8 n}\right)\]

Подставив числа, получим \beta =18,8^{\circ}.
Ответ: \beta =18,8^{\circ}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *