Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Движение тела под углом к горизонту: сложные задачи

[latexpage]

Задачи такого плана могут встретиться в ЕГЭ по физике под номерами 24 и 28. Для их решения нужно не только помнить кинематические формулы, но и понимать тему “относительность движения”, уметь правильно (и разумно) раскладывать вектора скоростей на проекции.

Задача 1. Два камня одновременно брошены из одной точки с равными скоростями $\upsilon_0=10$ м/с под углами $\alpha_1=30^{\circ}$ и $\alpha_2=60^{\circ}$ к горизонту, причем движение происходит во взаимно перпендикулярных плоскостях. Чему равен модуль скорости $\upsilon$ второго камня относительно первого в любой момент движения?

Траектории камней в плоскостях

Пусть движение первого тела происходит в плоскости $XOY$, а второго – в плоскости $XOZ$. Тогда вверх оба тела двигаются по оси $Y$, а поступательное движение у первого тела – вдоль оси $X$, а у второго – вдоль $Z$. Разложим скорости каждого из камней по осям:
$$\upsilon_{1x}=\upsilon_0 \cos{\alpha_1}$$
$$\upsilon_{1y}=\upsilon_0 \sin{\alpha_1}$$
Второе тело:
$$\upsilon_{2z}=\upsilon_0 \cos{\alpha_2}$$
$$\upsilon_{2y}=\upsilon_0 \sin{\alpha_2}$$

Разложение скоростей по осям

Теперь определяем скорость второго тела относительно первого. Скорость тела относительно земли складывается из скорости системы отсчета и скорости тела в этой системе, поэтому скорость второго тела относительно первого есть векторная разность скорости второго (скорость относительно земли)  и первого тел (скорость системы отсчета):
$${\upsilon_{21xz}}^2={\upsilon_{1x}}^2+{\upsilon_{2z}}^2$$
$${\upsilon_{21xz}}^2={\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_1}+{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_2}$$
$$\upsilon_{21y}=\upsilon_{2y}-\upsilon_{1y}$$
$${\upsilon_{21}}^2={\upsilon_{21xz}}^2+{\upsilon_{21y}}^2$$
$$\upsilon_{21}=\sqrt{{\upsilon_{21xz}}^2+{\upsilon_{21y}}^2}$$
$$\upsilon_{21}=\sqrt{{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_1}+{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_2}+(\upsilon_{2y}-\upsilon_{1y})^2}$$
$$\upsilon_{21}=\sqrt{{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_1}+{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_2}+(\upsilon_0 \sin{\alpha_2}-\upsilon_0 \sin{\alpha_1})^2}$$
$$\upsilon_{21}=\sqrt{{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_1}+{\upsilon_0}^2 \cos^2{\alpha_2}+{\upsilon_0}^2 \sin^2{\alpha_2}-2{\upsilon_0}^2 \sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2}+{\upsilon_0}^2 \sin^2{\alpha_1}}$$

Вычитание векторов

$$\upsilon_{21}=\upsilon_0\sqrt{\cos^2{\alpha_1}+ \cos^2{\alpha_2}+ \sin^2{\alpha_2}-2\sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2}+\sin^2{\alpha_1}}$$
$$\upsilon_{21}=\upsilon_0\sqrt{2-2\sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2}}$$
$$\upsilon_{21}=\upsilon_0\sqrt{2(1-\sin{\alpha_1}\sin{\alpha_2})}$$
Можно и числа подставить:
$$\upsilon_{21}=10\sqrt{2(1-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2})}$$
$$\upsilon_{21}=10\sqrt{2(1-\frac{\sqrt{3}}{4})}=10,65$$
Ответ: 10,65 м/с

 

Задача 2. Шарик свободно падает на наклонную плоскость с высоты $h=2$ м и упруго отскакивает от нее. На каком расстоянии $s$ от места падения он второй раз ударится о плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha=30^{\circ}$.

К задачам 2 и 3

Падая, шарик приобретает скорость:
$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$
Так как удар упругий, то угол падения равен углу отражения, и скорость сохраняет свое значение. Так как угол наклона плоскости к горизонту $\alpha=30^{\circ}$, то шарик падает на нее под углом $\beta=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$, и отскочит он тоже под углом $60^{\circ}$ (к плоскости).
Далее введем систему координат такую, что ось $x$ направлена вдоль плоскости, а ось $y$ – перпендикулярно к плоскости, и будем считать движение шарика по обеим осям равноускоренным. Почему? Потому, что на шарик действует ускорение свободного падения, и направлено оно вниз, следовательно, его направление отлично от направлений осей выбранной нами системы координат его вектор можно разложить по осям, что мы и сделаем:
$$g_x=g \sin{\alpha}$$
$$g_y=g \cos{\alpha}$$
Скорость шарика, с которой он отскочил, считаем начальной и также раскладываем по осям:
$$\upsilon_x=\upsilon\sin{\alpha}$$
$$\upsilon_y=\upsilon\cos{\alpha}$$
Тогда координата $x$ шарика (движение равноускоренное с начальной скоростью):
$$x=\upsilon_x t_{poln}+\frac{g_x t_{poln}^2}{2}$$
Координата $y$ шарика (по этой оси движение сначала равнозамедленное, потом равноускоренное):
$$y=\upsilon_y t_{poln}-\frac{g_y t_{poln}^2}{2}$$
Определим время полета до наивысшей точки, там составляющая скорости $\upsilon_y$ обратится в ноль:
$$\upsilon_{y1}=\upsilon_y –g_y t=\upsilon\cos{\alpha}- g \cos{\alpha} t=0$$
Откуда и найдем время:
$$t=\frac{\upsilon\cos{\alpha}}{ g \cos{\alpha}}=\frac{\upsilon }{g}=\frac{\sqrt{2gh}}{g}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
Не забудем, что от наивысшей точки полета до приземления пройдет ровно столько же времени, поэтому полное время движения после отскока равно:
$$t_{poln}=2t=\sqrt{\frac{8h}{g}}$$
Определяем теперь место второго удара – координату $x$:
$$x=\upsilon\sin{\alpha}\sqrt{\frac{8h}{g}}+\frac{ g \sin{\alpha}\frac{8h}{g}}{2}=$$ $$=\sqrt{2gh}\sin{\alpha}\sqrt{\frac{8h}{g}}+4h\sin{\alpha}=4h\sin{\alpha}+4h\sin{\alpha}=8h\sin{\alpha}$$
Подставим числа:
$$x=8 h\sin{\alpha}=8\cdot2\cdot \frac{1}{2}=8$$
Ответ: 8 м.

 

Задача 3. Мяч падает вертикально с высоты $h=1$ м на наклонную доску. Расстояние между точками первого и второго удара мяча о доску $s=4$ м. Удар абсолютно упругий. Определить угол наклона $\alpha$ доски к горизонту.
Это задача, обратная предыдущей. Но все же приведу решение:
Падая, шарик приобретает скорость:
$$\upsilon=\sqrt{2gh}$$
Так как удар упругий, то угол падения равен углу отражения, и скорость сохраняет свое значение.
Далее введем систему координат такую, что ось $x$ направлена вдоль плоскости, а ось $y$ – перпендикулярно к плоскости, и будем считать движение шарика по обеим осям равноускоренным. Почему? Потому, что на шарик действует ускорение свободного падения, и направлено оно вниз, следовательно, его направление отлично от направлений осей выбранной нами системы координат его вектор можно разложить по осям:
$$g_x=g \sin{\alpha}$$
$$g_y=g \cos{\alpha}$$
Скорость шарика, с которой он отскочил, считаем начальной и также раскладываем по осям:
$$\upsilon_x=\upsilon\sin{\alpha}$$
$$\upsilon_y=\upsilon\cos{\alpha}$$
Тогда координата $x$ шарика (движение равноускоренное с начальной скоростью):
$$x=\upsilon_x t_{poln}+\frac{g_x t_{poln}^2}{2}$$
Координата $y$ шарика (по этой оси движение сначала равнозамедленное, потом равноускоренное):
$$y=\upsilon_y t_{poln}-\frac{g_y t_{poln}^2}{2}$$
Определим время полета до наивысшей точки, там составляющая скорости $\upsilon_y$ обратится в ноль:
$$\upsilon_{y1}=\upsilon_y –g_y t=\upsilon\cos{\alpha}- g \cos{\alpha}t=0$$
Откуда и найдем время:
$$t=\frac{\upsilon\cos{\alpha}}{ g \cos{\alpha}}=\frac{\upsilon }{g}=\frac{\sqrt{2gh}}{g}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
Полное время полета вдвое больше:
$$t_{poln}=2t=\sqrt{\frac{8h}{g}}$$
Определяем теперь место второго удара – координату $x$:
$$x=\upsilon\sin{\alpha}\sqrt{\frac{8h}{g}}+\frac{ g \sin{\alpha}\frac{8h}{g}}{2}=$$ $$=\sqrt{2gh}\sin{\alpha}\sqrt{\frac{8h}{g}}+4h\sin{\alpha}=4h\sin{\alpha}+4h\sin{\alpha}=8h\sin{\alpha}$$
Из полученного равенства находим $\sin{\alpha}$:
$$\sin{\alpha}=\frac{x}{8h}$$
Подставим числа:
$$\sin{\alpha}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$
$$\alpha=30^{\circ}$$
Ответ: $\alpha=30^{\circ}$.

Задача 4. Мяч бросают вверх вдоль наклонной плоскости под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. За время полета вертикальная составляющая его скорости по модулю стала меньше на $\eta_1=10$%. Когда мяч бросили с прежнего места с той же начальной скоростью, но под другим углом, вертикальная составляющая его скорости за время полета уменьшилась на $\eta_2=20$%, а мяч пролетел расстояние, измеренное вдоль горизонтали, в $n=1,5$ раза меньшее, чем в первом случае. Под каким углом к горизонту бросили мяч во второй раз? Считать, что в обоих случаях вершина траектории мяча находится над наклонной плоскостью.

К задаче 4

Введем систему координат, причем здесь неудобно направлять ось $x$ вдоль плоскости. Если так поступить, то становится неизвестным угол к плоскости, под которым был произведен бросок. Поэтому ось $x$ направим горизонтально, ось $y$ – вертикально. Разложим начальную скорость мяча по осям:
$$\upsilon_x=\upsilon\cos {\alpha}$$
$$\upsilon_y=\upsilon \sin {\alpha}$$
Время полета до верхней точки траектории найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости:
$$\upsilon_{y1}=\upsilon_y-gt_{vzl}=\upsilon\sin {\alpha}-gt_{vzl}=0$$
Откуда время полета мяча вверх:
$$t_{vzl}=\frac{\upsilon\sin {\alpha}}{g}$$
Вниз он летел меньшее время, так как его вертикальная оставляющая стала равна $0,9\upsilon_y$, определим время полета вниз $t_{pad}$:
$$\upsilon_{yk}=0,9\upsilon_y =\upsilon_{y1}+gt_{pad}$$
$$0,9\upsilon_y =gt_{pad}$$
$$ t_{pad}=\frac{0,9\upsilon_y }{g}=\frac{0,9\upsilon\sin {\alpha}}{g}$$
Полное время движения тела:
$$t_{poln}= t_{vzl}+ t_{pad}=\frac{\upsilon\sin {\alpha}}{g}+\frac{0,9\upsilon\sin {\alpha}}{g}=\frac{1,9\upsilon\sin {\alpha}}{g}$$
За такое время тело может пролететь по горизонтали расстояние:
$$S_x=\upsilon_x \cdot t_{poln}=\upsilon\cos {\alpha}\frac{1,9\upsilon\sin {\alpha}}{g}=\frac{1,9\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2g}$$
Теперь рассмотрим второй бросок.
Разложим начальную скорость мяча по осям:
$$\upsilon_{x2}=\upsilon\cos {\beta}$$
$$\upsilon_{y2}=\upsilon \sin {\beta}$$
Время полета до верхней точки траектории найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости:
$$\upsilon_{y2k}=\upsilon_{y2}-gt_{vzl2}=\upsilon\sin {\beta}-gt_{vzl2}=0$$
Откуда время полета мяча вверх:
$$t_{vzl2}=\frac{\upsilon\sin {\beta}}{g}$$
Вниз он летел меньшее время, так как его вертикальная оставляющая стала равна $0,8\upsilon_{y2}$, определим время полета вниз $t_{pad2}$:
$$\upsilon_{y2k}=0,8\upsilon_{y2} =\upsilon_{y21}+gt_{pad2}$$
$$0,8\upsilon_{y2} =gt_{pad2}$$
$$ t_{pad2}=\frac{0,2\upsilon_{y2} }{g}=\frac{0,8\upsilon\sin {\beta}}{g}$$
Полное время движения мяча:
$$t_{poln2}= t_{vzl2}+ t_{pad2}=\frac{1,8\upsilon\sin {\beta}}{g}$$
За такое время мяч может пролететь по горизонтали расстояние:
$$S_{x2}=\upsilon_{x2} \cdot t_{poln2}=\upsilon\cos {\beta}\frac{1,8\upsilon\sin {\beta}}{g}=\frac{1,8\upsilon^2 \sin{2\beta}}{2g}$$
Так как треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны, то расстояния, которые пролетит мяч в первом и втором случае, то есть гипотенузы, относятся также, как и катеты данных треугольников $S_{x1}$ и $S_{x2}$.
Поэтому разделим $S_{x1}$ на $S_{x2}$:
$$\frac{ S_{x1}}{ S_{x2}}=n=\frac{\frac{1,9\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2g}}{\frac{1,8\upsilon^2 \sin{2\beta}}{2g}}$$
$$n=\frac{1,9\sin{2\alpha}}{1,8\sin{2\beta}}$$
Отсюда
$$ \sin{2\beta} =\frac{1,9\sin{2\alpha}}{1,8 n}$$
$$2\beta =\arcsin\left(\frac{1,9\sin{2\alpha}}{1,8 n}\right)$$
$$\beta =\frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{1,9\sin{2\alpha}}{1,8 n}\right)$$
Подставив числа, получим $\beta =18,8^{\circ}$.
Ответ: $\beta =18,8^{\circ}$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *