Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Движение под углом к горизонту

Движение тела под углом к горизонту: сложные задачи


Задача 1. Два камня одновременно брошены из одной точки с равными скоростями м/с под углами и к горизонту, причем движение происходит во взаимно перпендикулярных плоскостях. Чему равен модуль скорости второго камня относительно первого в любой момент движения?

Траектории камней в плоскостях

Пусть движение первого тела происходит в плоскости , а второго – в плоскости . Тогда вверх оба тела двигаются по оси , а поступательное движение у первого тела – вдоль оси , а у второго – вдоль . Разложим скорости каждого из камней по осям:

   

   

Второе тело:

   

   

Разложение скоростей по осям

Теперь определяем скорость второго тела относительно первого. Скорость тела относительно земли складывается из скорости системы отсчета и скорости тела в этой системе, поэтому скорость второго тела относительно первого есть векторная разность скорости второго (скорость относительно земли)  и первого тел (скорость системы отсчета):

   

   

   

   

   

   

   

   

Вычитание векторов

   

   

   

Можно и числа подставить:

   

   

Ответ: 10,65 м/с

 

Задача 2. Шарик свободно падает на наклонную плоскость с высоты м и упруго отскакивает от нее. На каком расстоянии от места падения он второй раз ударится о плоскость? Угол наклона плоскости к горизонту равен .

К задачам 2 и 3

Падая, шарик приобретает скорость:

   

Так как удар упругий, то угол падения равен углу отражения, и скорость сохраняет свое значение. Так как угол наклона плоскости к горизонту , то шарик падает на нее под углом , и отскочит он тоже под углом (к плоскости).
Далее введем систему координат такую, что ось направлена вдоль плоскости, а ось – перпендикулярно к плоскости, и будем считать движение шарика по обеим осям равноускоренным. Почему? Потому, что на шарик действует ускорение свободного падения, и направлено оно вниз, следовательно, его направление отлично от направлений осей выбранной нами системы координат его вектор можно разложить по осям, что мы и сделаем:

   

   

Скорость шарика, с которой он отскочил, считаем начальной и также раскладываем по осям:

   

   

Тогда координата шарика (движение равноускоренное с начальной скоростью):

   

Координата шарика (по этой оси движение сначала равнозамедленное, потом равноускоренное):

   

Определим время полета до наивысшей точки, там составляющая скорости обратится в ноль:

   

Откуда и найдем время:

   

Не забудем, что от наивысшей точки полета до приземления пройдет ровно столько же времени, поэтому полное время движения после отскока равно:

   

Определяем теперь место второго удара – координату :

   

   

Подставим числа:

   

Ответ: 8 м.

 

Задача 3. Мяч падает вертикально с высоты м на наклонную доску. Расстояние между точками первого и второго удара мяча о доску м. Удар абсолютно упругий. Определить угол наклона доски к горизонту.
Это задача, обратная предыдущей. Но все же приведу решение:
Падая, шарик приобретает скорость:

   

Так как удар упругий, то угол падения равен углу отражения, и скорость сохраняет свое значение.
Далее введем систему координат такую, что ось направлена вдоль плоскости, а ось – перпендикулярно к плоскости, и будем считать движение шарика по обеим осям равноускоренным. Почему? Потому, что на шарик действует ускорение свободного падения, и направлено оно вниз, следовательно, его направление отлично от направлений осей выбранной нами системы координат его вектор можно разложить по осям:

   

   

Скорость шарика, с которой он отскочил, считаем начальной и также раскладываем по осям:

   

   

Тогда координата шарика (движение равноускоренное с начальной скоростью):

   

Координата шарика (по этой оси движение сначала равнозамедленное, потом равноускоренное):

   

Определим время полета до наивысшей точки, там составляющая скорости обратится в ноль:

   

Откуда и найдем время:

   

Полное время полета вдвое больше:

   

Определяем теперь место второго удара – координату :

   

   

Из полученного равенства находим :

   

Подставим числа:

   

   

Ответ: .

Задача 4. Мяч бросают вверх вдоль наклонной плоскости под углом к горизонту. За время полета вертикальная составляющая его скорости по модулю стала меньше на %. Когда мяч бросили с прежнего места с той же начальной скоростью, но под другим углом, вертикальная составляющая его скорости за время полета уменьшилась на %, а мяч пролетел расстояние, измеренное вдоль горизонтали, в раза меньшее, чем в первом случае. Под каким углом к горизонту бросили с\мяч во второй раз? Считать, что в обоих случаях вершина траектории мяча находится над наклонной плоскостью.

К задаче 4

Введем систему координат, причем здесь неудобно направлять ось вдоль плоскости. Если так поступить, то становится неизвестным угол к плоскости, под которым был произведен бросок. Поэтому ось направим горизонтально, ось – вертикально. Разложим начальную скорость мяча по осям:

   

   

Время полета до верхней точки траектории найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости:

   

Откуда время полета мяча вверх:

   

Вниз он летел меньшее время, так как его вертикальная оставляющая стала равна , определим время полета вниз :

   

   

   

Полное время движения тела:

   

За такое время тело может пролететь по горизонтали расстояние:

   

Теперь рассмотрим второй бросок.
Разложим начальную скорость мяча по осям:

   

   

Время полета до верхней точки траектории найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости:

   

Откуда время полета мяча вверх:

   

Вниз он летел меньшее время, так как его вертикальная оставляющая стала равна , определим время полета вниз :

   

   

   

Полное время движения мяча:

   

За такое время мяч может пролететь по горизонтали расстояние:

   

Так как треугольники и подобны, то расстояния, которые пролетит мяч в первом и втором случае, то есть гипотенузы, относятся также, как и катеты данных треугольников и .
Поэтому разделим на :

   

   

Отсюда

   

   

   

Подставив числа, получим .
Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *