Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Движение тела, брошеного под углом к горизонту

При решении задач с телом, брошенным под углом к горизонту, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело сначала взлетает, а потом падает, и движение в вертикальной плоскости является сначала равнозамедленным, а потом равноускоренным. Кроме того, помогает то, что в высшей точке полета вертикальная составляющая скорости тела обращается в ноль. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.

Задача 1. Два тела брошены под углом \alpha и 90^{\circ}-\alpha} к горизонту с одинаковой начальной скоростью. Найти отношение дальностей полета тел и максимальных высот подъема.

Для первого тела максимальная высота подъема:

    \[H_1=\frac{gt_1^2}{2}\]

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна  нулю:

    \[\upsilon_y= \upsilon_0 \sin{\alpha}-gt_1=0\]

Время полета тела до апогея:

    \[t_1=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}\]

Тогда максимальная высота:

    \[H_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}\]

Аналогично для второго тела:

    \[H_2=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2(90^{\circ}-\alpha)}{2g}\]

Таким образом, отношение высот подъема равно:

    \[\frac{H_1}{H_2}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2(90^{\circ}-\alpha)}\]

    \[\frac{H_1}{H_2}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}=\operatorname{tg^2}{\alpha}\]

Теперь займемся дальностями полетов тел. Тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью в течение времени 2t_1 и пролетит в итоге  S_{x1}=\upsilon_x\cdot 2t_1, где \upsilon_x=\upsilon_0\cdot \cos{\alpha}:

    \[S_{x1}=\upsilon_x\cdot 2t_1=\upsilon_0\cdot \cos{\alpha}\cdot\frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2\alpha}}{g}\]

Аналогично для второго тела:

    \[S_{x2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2(90-\alpha)}}{g}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2\alpha}}}{g}\]

Определим отношение длин полетов:

    \[\frac{ S_{x1}}{ S_{x2}}=1\]

Ответ: \frac{H_1}{H_2}=\operatorname{tg^2}{\alpha}, \frac{ S_{x1}}{ S_{x2}}=1.

 

Задача 2. Какой начальной скоростью \upsilon_0 должна обладать сигнальная ракета, выпущенная под углом 45^{\circ} к горизонту, чтобы она вспыхнула в наивысшей точке своей траектории? Время горения запала ракеты 6 с.

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна  нулю:

    \[\upsilon_y= \upsilon_0 \sin{\alpha}-gt=0\]

Отсюда можно определить скорость:

    \[\upsilon_0=\frac {gt}{\sin{\alpha}} =\frac{10\cdot6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=85\]

Ответ: 85 м/с

 

Задача 3. Два тела брошены с земли под углами 30^{\circ} и 45^{\circ} к горизонту из одной точки. Каково отношение сообщенных им начальных скоростей \left(\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}\right), если тела упали на землю также в одной точке?

К задаче 3

Время полета первого тела до верхней точки:

    \[\upsilon_{y1}= \upsilon_1 \sin{\alpha}-gt_1=0\]

    \[t_1= \frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}\]

Полное время полета:

    \[2t_1= \frac{2\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}\]

Вертикальная составляющая скорости тела:

    \[\upsilon_{y1}= \upsilon_1 \sin{\alpha}\]

Горизонтальная составляющая:

    \[\upsilon_{x1}= \upsilon_1 \cos{\alpha}\]

Дальность полета тела:

    \[S_{1x}=\upsilon_{x1}\cdot 2t_1=\upsilon_1 \cos{\alpha}\frac{2\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_1^2\sin{2\alpha}}{g}\]

Аналогично для второго тела:

Время полета второго тела до верхней точки:

    \[\upsilon_{y2}= \upsilon_2 \sin{\beta}-gt_2=0\]

    \[t_2= \frac{\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}\]

Полное время полета:

    \[2t_2= \frac{2\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}\]

Вертикальная составляющая скорости тела:

    \[\upsilon_{y2}= \upsilon_2 \sin{\beta}\]

Горизонтальная составляющая:

    \[\upsilon_{x2}= \upsilon_2 \cos{\beta}\]

Дальность полета тела:

    \[S_{2x}=\upsilon_{x2}\cdot 2t_2=\upsilon_2 \cos{\beta}\frac{2\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}=\frac{\upsilon_2^2 \sin{2\beta}}{g}\]

Возьмем отношение дальностей и приравняем к 1, так как тела шлепнулись в одном месте:

    \[\frac{ S_{1x}}{ S_{2x}}=1\]

    \[\frac{\frac{\upsilon_1^2 \sin{2\alpha}}{g}}{\frac{\upsilon_2^2 sin{2\beta}}{g}}=1\]

    \[\frac{\upsilon_1^2 }{\upsilon_2^2}=\frac{\sin{2\beta}}{ \sin{2\alpha}}\]

    \[\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{\sin{2\beta}}{ \sin{2\alpha}}}\]

Подставим числа:

    \[\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{\sin{90^{\circ}}}{ \sin{60^{\circ}}}}\]

    \[\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\]

    \[\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}=1,07\]

Ответ: \frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=1,07.

Задача 4. Мальчик бросает мяч со скоростью \upsilon_0=10 м/с под углом в 45^{\circ} в сторону стены, стоя на расстоянии 4 м от нее. На каком расстоянии от стены должен встать мальчик, чтобы поймать мяч? Удар мяча о стенку считать абсолютно упругим.

К задаче 4

Сначала выясним, в каком месте траектории находился мяч, когда ударился о стенку: был ли он на первой ее половине, или же он уже прошел точку максимального подъема? От этого зависит угол, под которым мяч подлетел к стенке, а раз удар абсолютно упругий, значит, мячик и отскочил под этим же углом. Поэтому сначала найдем середину траектории мяча, как если бы стенки не было.

Время полета мяча до верхней точки:

    \[\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=0\]

    \[t= \frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}\]

Вертикальная составляющая скорости мяча:

    \[\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}\]

Горизонтальная составляющая:

    \[\upsilon_x= \upsilon \cos{\alpha}\]

Дальность полета мяча до верхней точки траектории:

    \[S_x=\upsilon_x\cdot t=\upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2g}=\frac{100}{20}=5\]

Итак, мячик не долетел до верхней точки траектории, теперь можно изобразить стенку и траекторию полета мяча:

Отскок мяча

Из рисунка видно, что, поскольку угол падения равен углу отражения, то траектория отскока мячика будет полностью повторять его траекторию полета без стенки, только в виде отражения:

Как мы выяснили ранее, мячику лететь до верхней точки траектории 5 м, значит, всего он пролетел бы 10 метров, но стенка помешала. Траектория оказалась разбита ею на два куска: 4 и 6 м, 4 до стенки, и 6 – после отскока. Таким образом, мальчику надо отступить на 2 метра, чтобы поймать мяч.

Ответ: отступить на 2 м, расстояние от стены  – 6 м.

 

Задача 5. Тело брошено со скоростью 20 м/с  под углом 60^{\circ} к горизонту. Найти координаты точек траектории тела, в которых вектор скорости составляет с горизонтом угол \beta=45^{\circ}, если начало координат – точка бросания тела?

Горизонтальная составляющая скорости тела сохраняется постоянной на всем пути, она равна \upsilon_x= \upsilon \cos{\alpha}. Скорость будет составлять угол в 45^{\circ} с горизонтом только тогда, когда вертикальная составляющая скорости будет равна горизонтальной составляющей по модулю, так как скорость может составлять с горизонтом как положительный, так и отрицательный угол – когда тело уже прошло верхнюю точку траектории и снижается. То есть подходящих нам точек траектории у тела 2: на взлете и при падении.

К задаче 5

Тогда:

    \[\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=\upsilon \cos{\alpha}\]

Это произойдет в момент времени, равный:

    \[t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}\]

Очевидно, что координата тела по оси y не будет отличаться для обеих точек. Найдем ее:

    \[y=S_y=\upsilon_y t-\frac{gt^2}{2}=\upsilon \sin{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}-\frac{1}{g^2}\cdot\upsilon^2 (\sin{\alpha}-\cos{\alpha})^2=\]

    \[=\frac{\upsilon^2(2\sin^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\sin{\alpha})}{2g}-\frac{\upsilon^2(\sin{\alpha}-\cos{\alpha})^2}{2g}=\]

    \[=\frac{\upsilon^2(2\sin^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\sin^2{\alpha}+2\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}=\frac{\upsilon^2(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}\]

Координату по оси x первой точки (на взлете) найдем, подставив известное время в формулу движения с постоянной скоростью:

    \[x_1=S_{x1}=\upsilon_x t=\upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}\]

Координата второй точки по оси x получится, если найденное только что расстояние вычесть из полного пути, пройденного  телом – ведь точки расположены на траектории симметрично. Полный путь тело пройдет за полное время движения, а оно равно удвоенному времени взлета:

    \[2t_{vzl}= \frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}\]

    \[S=\upsilon_x 2t_{vzl}=\upsilon \cos{\alpha} \frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2\sin{2\alpha}}{g}\]

Тогда искомая координата:

    \[x_2=S- S_{x1}=\frac{\upsilon^2\sin{2\alpha}}{g}-\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}\]

    \[x_2=\frac{\upsilon^2(\sin{2\alpha}}-\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{\upsilon^2 (\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}\]

Теперь давайте все это посчитаем:

    \[y=\frac{\upsilon^2(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}=\frac{400\cdot\frac{1}{2}}{20}=10\]

    \[x_1=\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{400(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{4})}{10}=10(\sqrt{3}-1)=10\cdot0,73=7,3\]

    \[x_2=\frac{\upsilon^2 (\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{400(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4})}{10}=10(\sqrt{3}+1)=10\cdot2,73=27,3\]

Ответ: y_1=y_2=10 м, x_1=7,3 м, x_2=27,3 м.

 

Задача 6. С вершины горы бросают камень под углом \alpha=30^{\circ} к горизонту.  Определить начальную скорость камня, если он упал на расстоянии 20 м от точки бросания. Угол наклона горы к горизонту также \beta=30^{\circ}.

К задаче 6

Удобно ввести систему координат так, чтобы ось x совпадала со склоном горы, а ось y была бы направлена перпендикулярно склону. Тогда, в такой системе координат, тело будет двигаться с ускорением как по оси x, так и по оси y. Начальная скорость тела будет направлена под углом \alpha+\beta к склону, и ее можно разложить на составляющие:

    \[\upsilon_{0x}= \upsilon_0 \cos(\alpha+\beta )\]

    \[\upsilon_{0y}= \upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )\]

Таким же образом разложим и ускорение свободного падения:

    \[g_x= g \cos(\alpha+\beta )\]

    \[g_y=g \sin(\alpha+\beta )\]

Когда тело доберется до верхней точки траектории, его вертикальная составляющая скорости обратится в ноль:

    \[\upsilon_{y}= \upsilon_{0y}-g_yt=0\]

    \[\upsilon_{y}= \upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )- g \sin(\alpha+\beta )t=0\]

Откуда найдем время полета до верхней точки:

    \[t=\frac{\upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )}{ g \sin(\alpha+\beta )}\]

    \[t=\frac{\upsilon_0}{g}\]

Полное время полета – вдвое больше:

    \[t_p=2t=\frac{2\upsilon_0}{g}\]

За полное время тело, двигаясь равноускоренно, пролетит вдоль оси x расстояние:

    \[l=\upsilon_{0x}t_p+\frac{g_xt_p^2}{2}\]

    \[l=\upsilon_0 \cos(\alpha+\beta)}\frac{2\upsilon_0}{g}+\frac{ g \cos(\alpha+\beta)}\cdot4\upsilon_0^2}{2g^2}=\frac{2\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}+\frac{2\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}=\frac{4\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}\]

По условию l=20, поэтому

    \[\frac{4\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}=20\]

    \[\frac{4\upsilon_0^2\cos{60^{\circ}}}{10}=20\]

    \[\upsilon_0^2=100\]

    \[\upsilon_0=10\]

Ответ: \upsilon_0=10 м/с

 

Задача 7. Из пушки выпустили последовательно 2 снаряда со скоростью \upsilon_0=250 м/с: первый – под углом \alpha_1=60^{\circ} к горизонту, второй – под углом \alpha_2=45^{\circ} (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

К задаче 7

Чтобы снаряды столкнулись в воздухе, а произойти это может только на второй половине траектории при заданных углах, нужно, чтобы были равны координаты снарядов по оси x и по  оси y.

Раскладываем скорости по осям:

    \[\upsilon_{1x}= \upsilon_0 \cos{\alpha}\]

    \[\upsilon_{1y}= \upsilon_0 \sin{\alpha}\]

    \[\upsilon_{2x}= \upsilon_0 \cos{\beta }\]

    \[\upsilon_{2y}= \upsilon_0 \sin{\beta }\]

Из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости получаем половинку времени полета первого снаряда:

    \[\upsilon_{1v}= \upsilon_0 \sin{\alpha}-gt_1=0\]

    \[t_1=\frac{\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}\]

Полное время полета первого снаряда:

    \[2t_1=\frac{2\upsilon_0\sin{\alpha}}{g}\]

Полное время полета второго снаряда:

    \[2t_2=\frac{2\upsilon_0\sin{\beta}}{g}\]

Снаряды будут лететь по оси x с постоянной скоростью, и пролетят

Первый:

    \[S_{x1}=\upsilon_{1x} 2t_1\]

Второй:

    \[S_{x2}=\upsilon_{2x} 2t_2\]

Так как их координаты равны, то приравняем:

    \[S_{x1}= S_{x2}\]

    \[\upsilon_{1x} 2t_1=\upsilon_{2x} 2t_2\]

    \[\upsilon_0 \cos{\alpha} t_1=\upsilon_0 \cos{\beta }t_2\]

Откуда получаем соотношение:

    \[\frac{t_1}{t_2}=\frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\]

    \[\frac{t_1}{t_2}=\sqrt{2}\]

По оси y первый снаряд пролетит:

    \[S_{y1}=\upsilon_{1y}t_1-\frac{gt_1^2}{2}\]

Второй снаряд пролетит:

    \[S_{y2}=\upsilon_{2y}t_2-\frac{gt_2^2}{2}\]

Приравняем:

    \[S_{y1}= S_{y2}\]

    \[\upsilon_{1y}t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_{2y}t_2-\frac{gt_2^2}{2}\]

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha}t_1-\frac{gt_1^2}{2}=\upsilon_0 \sin{\beta}t_2-\frac{gt_2^2}{2}\]

Заменим t_1 на \sqrt{2}t_2:

    \[\upsilon_0 \sin{\alpha}\sqrt{2}t_2-gt_2^2=\upsilon_0 \sin{\beta}t_2-\frac{gt_2^2}{2}\]

    \[\upsilon_0 t_2(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})=\frac{gt_2^2}{2}\]

Сокращаем:

    \[\upsilon_0(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})=\frac{gt_2}{2}\]

Получим время t_2:

    \[t_2=\frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})}{g}\]

Отсюда время t_1:

    \[t_1=\frac{2\sqrt{2}\upsilon_0(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})}{g}\]

И разность времен:

    \[t_1-t_2=(\sqrt{2}-1) \frac{2\upsilon_0(\sin{\alpha}\sqrt{2}-\sin{\beta})}{g}\]

    \[t_1-t_2=(0,41) \frac{2\cdot250(\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})}{g}=10,56\]

Ответ: 10,56 с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *