Движение тела, брошеного под углом к горизонту

При решении задач с телом, брошенным под углом к горизонту, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело сначала взлетает, а потом падает, и движение в вертикальной плоскости является сначала равнозамедленным, а потом равноускоренным. Кроме того, помогает то, что в высшей точке полета вертикальная составляющая скорости тела обращается в ноль. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.

Задача 1. Два тела брошены под углом $\alpha$ и $90^{\circ}-\alpha}$ к горизонту с одинаковой начальной скоростью. Найти отношение дальностей полета тел и максимальных высот подъема.

Для первого тела максимальная высота подъема:

$H_1=\frac{gt_1^2}{2}$

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю:

$\upsilon_y= \upsilon_0 \sin{\alpha}-gt_1=0$

Время полета тела до апогея:

$t_1=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}$

Тогда максимальная высота:

$H_1=\frac{gt_1^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2{\alpha}}{2g}$

Аналогично для второго тела:

$H_2=\frac{gt_2^2}{2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin^2(90^{\circ}-\alpha)}{2g}$

Таким образом, отношение высот подъема равно:

$\frac{H_1}{H_2}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\sin^2(90^{\circ}-\alpha)}$

$\frac{H_1}{H_2}=\frac{\sin^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}}=\operatorname{tg^2}{\alpha}$

Теперь займемся дальностями полетов тел. Тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью в течение времени $2t_1$ и пролетит в итоге $S_{x1}=\upsilon_x\cdot 2t_1$ , где $\upsilon_x=\upsilon_0\cdot \cos{\alpha}$ :

$S_{x1}=\upsilon_x\cdot 2t_1=\upsilon_0\cdot \cos{\alpha}\cdot\frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2\alpha}}{g}$

Аналогично для второго тела:

$S_{x2}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2(90-\alpha)}}{g}=\frac{\upsilon_0^2 \sin{2\alpha}}}{g}$

Определим отношение длин полетов:

$\frac{ S_{x1}}{ S_{x2}}=1$

Ответ: $\frac{H_1}{H_2}=\operatorname{tg^2}{\alpha}$ , $\frac{ S_{x1}}{ S_{x2}}=1$ .

Задача 2. Какой начальной скоростью $\upsilon_0$ должна обладать сигнальная ракета, выпущенная под углом $45^{\circ}$ к горизонту, чтобы она вспыхнула в наивысшей точке своей траектории? Время горения запала ракеты 6 с.

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю:

$\upsilon_y= \upsilon_0 \sin{\alpha}-gt=0$

Отсюда можно определить скорость:

$\upsilon_0=\frac {gt}{\sin{\alpha}} =\frac{10\cdot6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=85$

Ответ: 85 м/с

Задача 3. Два тела брошены с земли под углами $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ к горизонту из одной точки. Каково отношение сообщенных им начальных скоростей $\left(\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}\right)$ , если тела упали на землю также в одной точке?

К задаче 3

Время полета первого тела до верхней точки:

$\upsilon_{y1}= \upsilon_1 \sin{\alpha}-gt_1=0$

$t_1= \frac{\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}$

Полное время полета:

$2t_1= \frac{2\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}$

Вертикальная составляющая скорости тела:

$\upsilon_{y1}= \upsilon_1 \sin{\alpha}$

Горизонтальная составляющая:

$\upsilon_{x1}= \upsilon_1 \cos{\alpha}$

Дальность полета тела:

$S_{1x}=\upsilon_{x1}\cdot 2t_1=\upsilon_1 \cos{\alpha}\frac{2\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_1^2\sin{2\alpha}}{g}$

Аналогично для второго тела:

Время полета второго тела до верхней точки:

$\upsilon_{y2}= \upsilon_2 \sin{\beta}-gt_2=0$

$t_2= \frac{\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}$

Полное время полета:

$2t_2= \frac{2\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}$

Вертикальная составляющая скорости тела:

$\upsilon_{y2}= \upsilon_2 \sin{\beta}$

Горизонтальная составляющая:

$\upsilon_{x2}= \upsilon_2 \cos{\beta}$

Дальность полета тела:

$S_{2x}=\upsilon_{x2}\cdot 2t_2=\upsilon_2 \cos{\beta}\frac{2\upsilon_2 \sin{\beta}}{g}=\frac{\upsilon_2^2 \sin{2\beta}}{g}$

Возьмем отношение дальностей и приравняем к 1, так как тела шлепнулись в одном месте:

$\frac{ S_{1x}}{ S_{2x}}=1$

$\frac{\frac{\upsilon_1^2 \sin{2\alpha}}{g}}{\frac{\upsilon_2^2 sin{2\beta}}{g}}=1$

$\frac{\upsilon_1^2 }{\upsilon_2^2}=\frac{\sin{2\beta}}{ \sin{2\alpha}}$

$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{\sin{2\beta}}{ \sin{2\alpha}}}$

Подставим числа:

$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{\sin{90^{\circ}}}{ \sin{60^{\circ}}}}$

$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

$\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}}=1,07$

Ответ: $\frac{\upsilon_1 }{\upsilon_2}=1,07$ .

Задача 4. Мальчик бросает мяч со скоростью $\upsilon_0=10$ м/с под углом в $45^{\circ}$ в сторону стены, стоя на расстоянии 4 м от нее. На каком расстоянии от стены должен встать мальчик, чтобы поймать мяч? Удар мяча о стенку считать абсолютно упругим.

К задаче 4

Сначала выясним, в каком месте траектории находился мяч, когда ударился о стенку: был ли он на первой ее половине, или же он уже прошел точку максимального подъема? От этого зависит угол, под которым мяч подлетел к стенке, а раз удар абсолютно упругий, значит, мячик и отскочил под этим же углом. Поэтому сначала найдем середину траектории мяча, как если бы стенки не было.

Время полета мяча до верхней точки:

$\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=0$

$t= \frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}$

Вертикальная составляющая скорости мяча:

$\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}$

Горизонтальная составляющая:

$\upsilon_x= \upsilon \cos{\alpha}$

Дальность полета мяча до верхней точки траектории:

$S_x=\upsilon_x\cdot t=\upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2g}=\frac{100}{20}=5$

Итак, мячик не долетел до верхней точки траектории, теперь можно изобразить стенку и траекторию полета мяча:

Отскок мяча

Из рисунка видно, что, поскольку угол падения равен углу отражения, то траектория отскока мячика будет полностью повторять его траекторию полета без стенки, только в виде отражения:

Как мы выяснили ранее, мячику лететь до верхней точки траектории 5 м, значит, всего он пролетел бы 10 метров, но стенка помешала. Траектория оказалась разбита ею на два куска: 4 и 6 м, 4 до стенки, и 6 – после отскока. Таким образом, мальчику надо отступить на 2 метра, чтобы поймать мяч.

Ответ: отступить на 2 м, расстояние от стены – 6 м.

Задача 5. Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом $60^{\circ}$ к горизонту. Найти координаты точек траектории тела, в которых вектор скорости составляет с горизонтом угол $\beta=45^{\circ}$ , если начало координат – точка бросания тела?

Горизонтальная составляющая скорости тела сохраняется постоянной на всем пути, она равна $\upsilon_x= \upsilon \cos{\alpha}$ . Скорость будет составлять угол в $45^{\circ}$ с горизонтом только тогда, когда вертикальная составляющая скорости будет равна горизонтальной составляющей по модулю, так как скорость может составлять с горизонтом как положительный, так и отрицательный угол – когда тело уже прошло верхнюю точку траектории и снижается. То есть подходящих нам точек траектории у тела 2: на взлете и при падении.

К задаче 5

Тогда:

$\upsilon_y= \upsilon \sin{\alpha}-gt=\upsilon \cos{\alpha}$

Это произойдет в момент времени, равный:

$t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}$

Очевидно, что координата тела по оси $y$ не будет отличаться для обеих точек. Найдем ее:

$y=S_y=\upsilon_y t-\frac{gt^2}{2}=\upsilon \sin{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}-\frac{1}{g^2}\cdot\upsilon^2 (\sin{\alpha}-\cos{\alpha})^2=$

$=\frac{\upsilon^2(2\sin^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\sin{\alpha})}{2g}-\frac{\upsilon^2(\sin{\alpha}-\cos{\alpha})^2}{2g}=$

$=\frac{\upsilon^2(2\sin^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\sin^2{\alpha}+2\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}=\frac{\upsilon^2(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}$

Координату по оси $x$ первой точки (на взлете) найдем, подставив известное время в формулу движения с постоянной скоростью:

$x_1=S_{x1}=\upsilon_x t=\upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}-\upsilon \cos{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}$

Координата второй точки по оси $x$ получится, если найденное только что расстояние вычесть из полного пути, пройденного телом – ведь точки расположены на траектории симметрично. Полный путь тело пройдет за полное время движения, а оно равно удвоенному времени взлета:

$2t_{vzl}= \frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}$

$S=\upsilon_x 2t_{vzl}=\upsilon \cos{\alpha} \frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2\sin{2\alpha}}{g}$

Тогда искомая координата:

$x_2=S- S_{x1}=\frac{\upsilon^2\sin{2\alpha}}{g}-\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}$

$x_2=\frac{\upsilon^2(\sin{2\alpha}}-\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{\upsilon^2 (\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}$

Теперь давайте все это посчитаем:

$y=\frac{\upsilon^2(\sin^2{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{2g}=\frac{400\cdot\frac{1}{2}}{20}=10$

$x_1=\frac{\upsilon^2(\cos{\alpha}\sin{\alpha}-\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{400(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{4})}{10}=10(\sqrt{3}-1)=10\cdot0,73=7,3$

$x_2=\frac{\upsilon^2 (\cos{\alpha}\sin{\alpha}+\cos^2{\alpha})}{g}=\frac{400(\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{4})}{10}=10(\sqrt{3}+1)=10\cdot2,73=27,3$

Ответ: $y_1=y_2=10$ м, $x_1=7,3$ м, $x_2=27,3$ м.

Задача 6. С вершины горы бросают камень под углом $\alpha=30^{\circ}$ к горизонту. Определить начальную скорость камня, если он упал на расстоянии 20 м от точки бросания. Угол наклона горы к горизонту также $\beta=30^{\circ}$ .

К задаче 6

Удобно ввести систему координат так, чтобы ось $x$ совпадала со склоном горы, а ось $y$ была бы направлена перпендикулярно склону. Тогда, в такой системе координат, тело будет двигаться с ускорением как по оси $x$ , так и по оси $y$ . Начальная скорость тела будет направлена под углом $\alpha+\beta$ к склону, и ее можно разложить на составляющие:

$\upsilon_{0x}= \upsilon_0 \cos(\alpha+\beta )$

$\upsilon_{0y}= \upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )$

Таким же образом разложим и ускорение свободного падения:

$g_x= g \cos(\alpha+\beta )$

$g_y=g \sin(\alpha+\beta )$

Когда тело доберется до верхней точки траектории, его вертикальная составляющая скорости обратится в ноль:

$\upsilon_{y}= \upsilon_{0y}-g_yt=0$

$\upsilon_{y}= \upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )- g \sin(\alpha+\beta )t=0$

Откуда найдем время полета до верхней точки:

$t=\frac{\upsilon_0 \sin(\alpha+\beta )}{ g \sin(\alpha+\beta )}$

$t=\frac{\upsilon_0}{g}$

Полное время полета – вдвое больше:

$t_p=2t=\frac{2\upsilon_0}{g}$

За полное время тело, двигаясь равноускоренно, пролетит вдоль оси $x$ расстояние:

$l=\upsilon_{0x}t_p+\frac{g_xt_p^2}{2}$

$l=\upsilon_0 \cos(\alpha+\beta)}\frac{2\upsilon_0}{g}+\frac{ g \cos(\alpha+\beta)}\cdot4\upsilon_0^2}{2g^2}=\frac{2\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}+\frac{2\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}=\frac{4\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}$

По условию $l=20$ , поэтому

$\frac{4\upsilon_0^2\cos(\alpha+\beta )}{g}=20$

$\frac{4\upsilon_0^2\cos{60^{\circ}}}{10}=20$

$\upsilon_0^2=100$

$\upsilon_0=10$

Ответ: $\upsilon_0=10$ м/с

Задача 7. Из пушки выпустили последовательно 2 снаряда со скоростью $\upsilon_0=250$ м/с: первый – под углом $\alpha_1=60^{\circ}$ к горизонту, второй – под углом $\alpha_2=45^{\circ}$ (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

К задаче 7

Чтобы снаряды столкнулись в воздухе, а произойти это может только на второй половине траектории при заданных углах, нужно, чтобы были равны координаты снарядов по оси $x$ и по оси $y$ .

Раскладываем скорости по осям:

$\upsilon_{1x}= \upsilon_0 \cos{\alpha}$